22.3 实际问题与二次函数 课时练习题2025-2026学年人教版 九年级数学上册

九年级数学上册人教版第22.3节《实际问题与二次函数》课时练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 3．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（    ） A．5元 B．10元 C．2元 D．6元 4．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 7．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 9．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x 10．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 12．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    13．行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，则在限速的高速公路上，该车的正常刹车距离最大为 ． 14．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案．现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点在轴上，，．若抛物线型拱门的跨度，拱高，则抛物线的函数表达式为 ． 15．如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 16．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 17．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本24元．当定价为 元能获得最大利润，最大利润是 元． 18．乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化． （1）与之间的函数解析式为 （写出自变量的取值范围）； （2）当 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 ． 三、解答题 19．如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 20．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米． 21．新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量（桶）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)试求每天销量y与x之间的函数表达式并直接写出x的取值范围； (2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 22．“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 23．某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米．    x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 24．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．    （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． 25．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件． (1)若商店每天销售这种小商品的利润要达到6000元, 则每件商品应降价多少元? (2)每件商品销售价是多少元时，商店每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 26．某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 27．在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《九年级数学上册人教版第22.3节《实际问题与二次函数》课时练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A B C C A B 1．B 【分析】根据题意求出矩形另一边长，根据矩形面积公式即可得到答案．读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B 2．B 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 3．A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每件需降价x元，则每件的利润为元，每天的销量为件，列出每天获得的利润为y与x的二次函数关系式，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设每件需降价x元，每天获得的利润为y， 则， ， 当时，y取最大值，最大值为3600， 即要使每天获得的利润最大，每件需降价5元， 故选A． 4．B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【详解】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查二次函数图像及性质，一次函数图像及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即：， ∴对称轴为：， ∴当时，小球呈下降趋势， 故A选项正确； ∵当小球水平运动2米时，， ∵斜坡可以用一次函数刻画，当时，， ∴当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为米， 故B选项不正确； ∵，解得：或， ∴小球落地点距点水平距离为7米， 故C选项正确； ∵当小球拋出高度达到8m时，即：，解得：， ∴小球距点水平距离为4m， 故D选项正确． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题，合理建立坐标系是解本题的关键． 【详解】建立如图所示坐标系，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为 抛物线过， 把代入 ， 两壁灯之间的水平距离为， 故选：C． 8．C 【详解】试题分析：令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1（舍去）． 所以运行的水平距离为4米．故选C． 考点：二次函数的应用． 9．A 【详解】解：一年后的本息和为500(1+x)，这也是第二年的本金， 所以两年后的本息和y=500(1+x)2. 故选A. 10．B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待系数法求出函数解析式是解题的关键. 设抛物线解析式为，用待系数法求出函数解析式，当汤面高度为时，代入解析式计算即可得到答案. 【详解】解：设抛物线解析式为， 根据题意得， ， ， 抛物线解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降cm时，汤面高度为， ， ， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：. 12．10 【分析】利用二次函数图象上顶点坐标特征可求出点N的坐标，利用对称性即可求出最高点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 13．21 【分析】依据题意，将代入，计算即可得出答案．本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． 【详解】解：由题意，在中， 当时，， 若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为． 故答案为：21． 14． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答中涉及待定系数法求解析式，函数图像上点的坐标确定，掌握待定系数法是解题的关键． 根据图象得到函数顶点坐标，设顶点式，代入原点即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，又墙长为米，从而可得，故，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为米， ∴． ∴． 又菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是， 即垂直于墙的边长为米时，可围成的菜园的最大面积是平方米． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 17． 201 【分析】此题重点考查二次函数的应用、二次函数的性质等知识，设每天利润为元，则，可知当时，，所以当每千克西瓜的售价为元时，每天的利润最大，最大利润是201元．正确地用代数式表示每千克西瓜的利润及每天的销售量是解题的关键． 【详解】解：设每千克售价为元，设每天利润为元， 根据题意得， ， 当时，， 答：当每千克西瓜的售价为元能获得最大利润，最大利润是元． 故答案为：，201． 18． 20 【分析】（1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案； （2）根据，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为， 则该三角形的面积； （2）∵， ∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是． 故答案为：（1）；（2）20，． 19．(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 20． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，． 水管的长度是． 21．(1)（） (2)销售单价定为元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，二次函数在销售问题中的应用，待定系数法； （1）设每天销量与之间的函数表达式为，将和代入求解即可； （2）等量关系式：总利润销售每桶消毒液的利润销售量，据此列出函数关系式，用二次函数性质求解即可； 掌握待定系数法，能找出等量关系式进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设每天销量与之间的函数表达式为，图象经过和，则有 ， 解得：， 每天销量与之间的函数表达式为（）； （2）解：设药店每天获得的利润为元，由题意得： ， ， ∴当时，， 答：销售单价定为元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润元． 22．每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解． 【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 23．(1)抛物线的表达式为 (2)喷泉的落水点距水枪的水平距离为米 【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． 【详解】（1）解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． （2）由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 24．（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值； （2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长． 【详解】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3． 将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）； （2）令x＝0，则y＝＝2.25． 故水管AB的长为2.25m．    25．（1）1元或5元；（2）10.5元，最大利润6400元 【分析】（1）设降价x元，根据题意可得到关于x的一元二次方程，即可解答本题； （2）根据题目中的数量关系可以得到y与x的函数关系，将函数关系式化为顶点式即可解答本题． 【详解】解：（1）设降价x元，由题意可得： （13.5-x-2.5）（500+100x）=6000       x1=1，x2=5，       ∴每件商品应降价1元或5元；    （2）设降价x元，利润为y元，依题意： y=（13.5-x-2.5）（500+100x），   整理得：y=100（-x2+6x+55）（0＜x≤11）, 化为顶点式:y=-100 (x-3)2+6400（0＜x≤11）, 当x=3时y取最大值，最大值是6400，   即降价3元时利润最大， ∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元． 故答案为（1）1元或5元；（2）10.5元，最大利润6400元． 26．(1) (2)利润不可能达到600元，理由见解析 (3)当（元/箱）时，销售利润最大值为450元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出，化简即可； （2）化简之后利用根的判别式求解即可； （3）先求出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的关系式为． （2）解：由， 化简得：， ，方程无解， 销售利润不可能达到600元． （3）解：设， ∵， 当（元/箱）时，销售利润最大值为450元． 27．任务一：；任务二：汽车超速行驶，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的其他应用，不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：依题意，设，再运用待定系数法进行求解，即可作答． 任务二：依题意，将代入，解得，再整理即可作答． 任务三： 结合得汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴，列出不等式组，整理得，解得，即可作答． 【详解】解：任务一：小红画出的大致图象是二次函数的图象， 设． 将代入， 得， ∴， 解得， 即y关于x的函数表达式为． 任务二：依题意，将代入， 得， 解得或（舍去） 则 ∴在事故发生时，汽车超速行驶． 任务三： ∴汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴， 由题意得， 整理得， ∴， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $