第五章 一元一次方程 单元测试题2025-2026学年人教版 七年级数学上册

七年级数学上册新人教版第五章《一元一次方程》单元测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 3．关于x的方程与有相同的解，则m等于（　　） A． B．2 C． D．3 4．研究下面解方程的过程： 去括号，得．① 移项，得，② 即．③ 两边都除以5，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．下列解方程的步骤正确的是（    ） A．方程去括号，得 B．方程移项，得 C．方程去分母，得 D．方程，两边都除以，得 6．第一种盐水溶液20千克，含盐，第二种盐水溶液含盐量，问需将第二种盐水溶液（ ）千克加入第一盐水溶液中，可得到的盐水溶液 A．10 B．12 C．15 D．20 7．一艘船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回到甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 10．为了培养同学们的团结协作精神和反思纠错能力．在学习一元一次方程的解法时，数学陈老师设计了一个接力游戏：甲、乙、丙、丁名同学每人完成一步，并进行相互间的纠错．如图是这个人合作完成解一元一次方程的过程，在这次接力过程中出现错误的同学是（   ） A．甲、乙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 二、填空题 11．方程，去括号得 ． 12．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 13．兔年春节之际，小文和几个同学要用自己的压岁钱为社区敬老院购买春节礼品，如果每人出80元，那么可剩余36元；如果每人出70元，那么还差14元．参加此次活动的共有 人． 14．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是 ． 15．在有理数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．如，则的解为 ． 16．若、为定值，关于的一次方程无论为何值时，它的解总是，则的值为 ． 17．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要8天，由乙工程队单独铺设需要12天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要 天可以铺好这条管线． 18．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 三、解答题 19．解方程 (1) (2) (3) (4) 20．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 21．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 22．能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？ 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 24．某车间有工人100名，每人每天平均可加工螺栓1800个或螺母2400个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？ 25．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 26．七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 27．学校计划组织七年级600名师生租车进行研学活动，现已知租车公司有32座和45座两种客车，1辆32座客车和2辆45座客车的租金共为2800元，每辆45座客车的租金刚好为每辆32座客车租金的1.25倍． (1)求每辆32座客车和每辆45座客车的租金各为多少元？ (2)若单独租用这两种车辆中的一种（全体师生都能乘坐，只有1辆车可能未坐满），各需多少元？ (3)若学校同时租用这两种客车共14辆（全体师生都能乘坐，只有1辆车可能未坐满），请直接写出两种客车各多少辆时，租车费用最少，并求出此时的租车费用． 28．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 29．枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《七年级数学上册新人教版第五章《一元一次方程》单元测试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A B D D D C A 1．B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是依据一元一次方程方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程．根据定义判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； D、，是整式的加减运算，故不是一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 3．B 【分析】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据解一元一次方程的一般步骤求出方程的解，代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵， 解得：， 把代入， 则， 解得，， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据去括号法则可知步骤①去括号时没有变号，据此可得答案． 【详解】解：观察解题过程可知最先出现错误的步骤是①，原因是方程右边再去括号时，没有变号， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则，等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程去括号，得，原步骤错误，不符合题意； B、方程移项，得，正确，符合题意； C、方程去分母，得，原步骤错误，不符合题意； D、方程，两边都除以，得，原步骤错误，不符合题意； 故选B． 6．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； 以盐水溶液中盐的质量为等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设将第二种盐水溶液x千克加入第一种盐水溶液中，可得到的盐水溶液， 由题意得：， 解得：， 即将第二种盐水溶液20千克加入第一种盐水溶液中，可得到的盐水溶液， 故选：D． 7．D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程．根据顺流速度船在静水中的速度水流速度，逆流速度船在静水中的速度水流速度，根据等量关系代入相应数据列出方程即可． 【详解】解：从甲到乙是顺流，速度为，时间为； 从乙到甲是逆流，速度为，时间为．总时间为， 所以可列方程， 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题中的程序图列方程解方程即可进行求解． 【详解】解：由题意知，， 解得， 若，解得， 若，解得， ∴满足条件的的值最多有2个． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 先分别求出两个方程的解，然后根据方程①的解比方程②的解小4，列出方程，然后即可求解． 【详解】解：对于方程①：， ∵ 当 时，两边同乘6得 ，即，矛盾， ∴ ，即， 对于方程②： 移项得： ∴ 由题意，方程①的解比方程②的解小4，即， ， ， 解得， 因此，的值为2； 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解答过程即可判断求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由解答过程可知，去分母时，方程右边没有同时乘以，去括号时没有变号， ∴这次接力过程中出现错误的同学是甲、乙， 故选：． 11． 【分析】本题考查解一元一次方程的去括号，根据去括号法则即可解答． 【详解】解：方程， 去括号得， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义即可得解． 【详解】解：是一元一次方程， ， ． 故答案为：． 13．5 【分析】设此次参加活动的共有x人，根据购买春节礼品的总钱数不变，可得方程，解之即可． 【详解】解：设此次参加活动的共有x人， 由题意可得：， 解得：， ∴此次参加活动的共有5人， 故答案为：5． 14．225 【分析】本题考查一元一次方程的求解以及相反数的应用。先解第一个方程得到的值，再根据“解互为相反数”得到第二个方程的解，代入后求出，最后计算的值． 【详解】解：解方程 因为两个方程的解互为相反数，所以关于的方程的解为 把代入方程解得： 将代入解得： 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了新定义运算，根据，可以求得题目中方程的解，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：， 故， ， 故答案为： ． 16．1 【分析】根据一元一次方程的解的定义及无论为何值时，它的解总是，确定出，，代入求解即可求出答案． 【详解】解：将代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知：， ∴，， ∴， 故答案为1 17． 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，工作总量工作效率工作时间的运用，解答时甲工程队完成的工作量乙工程队完成的工作量总工作量建立方程是关键． 【详解】解：设两个工程队从两端同时施工，需要天铺完， ， 解得：， 故答案为：． 18．12 【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论． 【详解】解：根据题意得：2斗升， 设可以换得的粝米为x升， 则， 解得：， 故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升． 故选：12． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．27 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 21． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 22．由不一定能得到；反过来，能从等式得到（；理由见解析 【分析】利用等式的性质2进行判断即可． 【详解】由不一定能得到． 因为当时，，根据等式的基本性质2，等式的两边不能同时除以0，此时不能得到． 当时，，此时， 根据等式的基本性质2，能得到． 反过来，能从等式得到（． 理由：由知，两边同时乘，得． 23．(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可； （2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得； ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． 24．应分配40人加工螺栓，60人加工螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分配问题，根据设定的配套关系，列出方程计算即可． 【详解】设分配x人加工螺栓，则加工螺母的为人． 根据题意列方程，得． 解得． ． 答：应分配40人加工螺栓，60人加工螺母． 25．(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 26．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 27．(1)每辆32座客车的租金为800元，每辆45座客车的租金为1000元． (2)若单独租用32座客车，需19辆，租金为元， 若单独租用45座客车，需14辆，租金为元． (3)租用2辆32座客车和12辆45座客车时，租车费用最少，此时租车费用为13600元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系是解题的关键． （1）设每辆座客车的租金为，每辆45座客车的租金各为，根据题意列出方程即可得到答案； （2）分别求出单独租用这两种车辆中的一种所需两数，即可得到答案； （3）根据题意找出所有方案，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆座客车的租金为，每辆45座客车的租金各为， 根据题意得， 解得， 元， 答：每辆32座客车的租金为800元，每辆45座客车的租金为1000元； （2）解：（辆），（辆）， 若单独租用座客车需要辆，所需租金（元）； （辆），（辆）， 若单独租用45座客车，需14辆，租金为元； （3）解：当租用辆座客车时，所需要的费用为元； 当租用辆座客车时，剩余师生人， 再租一辆32座客车，费用为（元） 当租用辆座客车时，剩余师生人， 再租两辆32座客车，费用为（元） 当租用辆座客车时，剩余师生人， 再租三辆32座客车，无法承载师生， 租用2辆32座客车和12辆45座客车时，租车费用最少，此时租车费用为13600元． 28．(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 29．(1)小时 (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $