7.6用锐角三角函数解决问题（3课时）同步练习2025-2026学年苏科版九年级数学下册

姓名： 得分： 7.6用锐角三角函数解决问题 第 1 课时 与坡度和坡角有关的问题 一、选择题(每题6分，共30分) 1.一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为 ( ) A. 1: 2 2.如图所示为某商场大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m 米，坡度 则大厅两层之间的距离为 ( ) A. 米 B. 米 米 米 3.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树间的水平距离)为4m.如果在坡度为1: 的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两棵树间的坡面距离为 ( ) A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m 4.如图(单位：cm)，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm.现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长是 ( ) A. 210cm B. 120cm C. 504 cm D. 60cm 5.(德州中考)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由 37°减至30°，已知原楼梯长5米，调整后的楼梯约加长 参考数据： ( ) A. 6 米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 二、填空题(每题8分，共32分) 6.某水库大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB 的坡度为1：2.5，背水坡CD 的坡度为1:3,则迎水坡AB 的坡角 背水坡CD 的坡角(填“>”或“<”). 7.(无锡中考)已知一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100m所上升的高度为 m. 8.有一处斜坡如图所示，分为MO=NO=8m的两段，MO段的坡度为1：1，NO段的坡度为1： .若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15cm，则这一处斜坡最少需要建造的台阶数为 级(参考数据： 9.★如图所示为将一正方体货物沿坡面AB 装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度 BC为2.6m，斜坡AB的坡度为1：2.4.现把图中的货物沿斜坡继续向前平移，当货物的顶点 D 与点C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD 不能超过 m. 三、解答题(共38分) 10.★(18分)有一水果摊，其侧面示意图如图所示，AB、CD 分别是水果摊前挡板、后挡板，AB、CD 均与水平地面BC 垂直,AB=50cm,CD=140cm,，坡面 AD 是水果放置区，坡度i=1:2,，在后挡板CD 的正上方点E 处安装顶棚EF，DE=60cm,且 此时顶棚的另一端点 F 到前挡板AB 的水平距离(GB=60cm.求(参考数据 (1)水果放置区的水平宽度 BC； (2)顶棚端点 F 离地面的高度FG(精确到 1cm). 11.★★(20分)汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图，加固前大坝的背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30厘米，斜坡 AB 的坡度 加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度 整个工程共需土石多少立方米(计算土石的体积时忽略阶梯，结果保留根号)? 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 姓名： 得分： 第2课时 与旋转等有关的问题 一、选择题(每题8分，共32分) 1.如图，一个钟摆的摆长OA 为m米，当钟摆由最左侧摆至最右侧时，钟摆旋转的角度为40°，此时摆幅( 两端的距离)可以表示为 ( ) A. 2m· sin 20°米 B. 2m·tan20°米 C. m·sin40°米 D. m·tan40°米 2.如图，16兆瓦海上风电机组的机组叶片OA 长达到惊人的123米，叶片的旋转中心O离海平面垂直高度为h米，以旋转中心所在水平线为基准，叶片旋转角为( .当叶片OA 旋转时，叶片上点 A 离海平面的垂直高度可表示为 ( ) A. (h+123tanα)米 B. (h+123cosα)米 C. (h+123sinα)米 米 3.如图所示为一个地铁站入口的双翼闸机示意图，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，当双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与B 之间的距离为10cm.此时双翼的边缘AC、BD 与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°,则双翼的边缘AC、BD(AC=BD)的长为 ( ) C. 27cm D. 54cm 4.如图①所示为一个手机支架，如图②所示为其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，BC=8cm,AB=16cm.当AB、BC转动到∠BAE=60°,∠ABC=50°时,点C到AE 的距离是(结果精确到0.1cm，参考数据： ( ) A. 13.8cm B. 7.5cm C. 6.1cm D. 6.3cm 二、填空题(每题8分，共16分) 5.如图，某游乐场的大型摩天轮的半径是20m，摩天轮的中心距离地面20.5m，摩天轮旋转1周需要18 min.小明乘坐摩天轮从底部点A 处出发开始观光，已知点B 处距离地面10.5m，则小明第一次到达点 B 处需要 min. 6.★如图，钓鱼竿AC 长6m，露在水面上的渔线BC 长 现把钓鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线 B'C'长 ，则钓鱼竿转过的角度是 . 三、解答题(共52分) 7.(16分)如图①所示为某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，厢盖ADE 可以绕点A 按逆时针方向旋转，当旋转角为70°时，厢盖ADE 落在AD'E'的位置(如图②).已知AD=60厘米,DC=40厘米,求点D'到BC 的距离(参考数据： 8.★(18分)(乐山中考)如图，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA"，两次位置的高度差 PQ=h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度?如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由. 9. (18分)如图所示为某篮球架的侧面示意图，BE、CD、GF 为长度固定的支架，支架在A、D、G 处与立柱AH 连接(AH⊥MN,垂足为H),在B、C 处与篮板连接(BC 所在直线与MN 垂直)，EF 是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转,可以调节篮板的高度).已知AD=BC,DH=208cm,测得∠GAE=60°时,点C 离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,将∠GAE 由 60°调节为54°,点C 离地面的高度升高还是降低了?升高(或降低)了多少(参考数据： 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题 一、选择题(每题8分，共24分) 1.一座斜拉桥的示意图如图所示.为测量桥塔AB 的高，在桥下地面上点C 处测得桥塔最高点A 的仰角∠ACB=α,然后沿CB 方向移动20米到达点D 处(点C、D、B 在同一水平线上),并测出点A 的仰角∠ADB=45°.设桥塔AB 的高为x米，则下列关系式正确的是 () 2.如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向、距离灯塔60海里的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的点 B 处，这时轮船与小岛 A 的距离是 ( ) 海里 B. 60 海里 C. 120海里 海里 3.数学兴趣小组利用无人机测量教学楼的高度.如图，此时无人机在离地面30米的点 D 处，操控者站在点 A 处，无人机测得点 A 的俯角为 30°，测得教学楼楼顶点 C 的俯角为45°，操控者和教学楼BC 的距离为60米，则教学楼BC 的高度是 ( ) 米 米 米 米 二、填空题(每题8分，共16分) 4. 两幢建筑物AD和BC 的位置如图所示,其中DA⊥AB,CB⊥AB,AD=15m,BC=20m.AD 和 BC 之间有一景观池，某同学在点 D 处测得池中喷泉点 E 的俯角为42°，在点 C 处测得点E 的俯角为45°，点A、E、B在同一条直线上.两幢建筑物之间的距离AB 约为 m(结果精确到0.1m，参考数据：s 5. 如图,测得两幢大楼AB、CF 的间距BF=30m,CD=20m,从点C 处看点A 的俯角为45°,从点 D 处看点B 的俯角为30°,则AB 的高度为 m(结果保留根号). 三、解答题(共60分) 6.(18分)(临沂中考)如图，灯塔A 周围9 n mile内有暗礁.一艘渔船由东向西航行至点B处，测得灯塔A 在北偏西58°方向，继续航行6 n mile后到达点C 处，测得灯塔A 在西北方向.如果渔船不改变航线继续向西航行，那么是否有触礁的危险(参考数据： cc ? 7. ★(18分)(泸州中考)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的点A 处测得小岛C 在东北方向，该渔船由西向东航行一段时间后到达点 B，测得小岛C 在北偏西30°方向，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达点 D，这时测得小岛C 在北偏西60°方向.已知点 A、C相距30 n mile,求C、D 间的距离(结果保留根号). 8. (24分)(遵义中考)一种太阳能路灯是由灯杆和灯管支架两部分构成的.如图，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°.实践小组的同学们想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60°，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30°,测得AE=3m,EF=8m(A、E、F 三点在同一条直线上).求: (1)灯管支架底部距地面的高度AD 的长(结果保留根号)； (2)灯管支架CD 的长度(结果精确到0.1m，参考数据： 参考答案 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 7.6用锐角三角函数解决问题 第1课时 与坡度和坡角有关的问题 一、1. C 2. C 3. A 4. A 5. D 二、6. > 7. 10 8. 65解析:如图,过点O作OA⊥MP,OB⊥NP,垂足分别为A、B.∵ MO 段的坡度为1: 1,∴∠OMA=45°.∵ NO段的坡度为1: ,∴∠NOB=30°.在 Rt△MOA 中,∵∠OMA=45°,MO= 在Rt△ONB中,∵∠NOB=30°, 14 这一处斜坡最少需要建造的台阶数为65级. 9. 2.4 三、10.(1) 过点A 作AM⊥CD 于点M.∵ AB⊥CG,CD⊥CG,∴ ∠AMC=∠ABC =∠C = 90°.∴ 四边形 ABCM 是矩形.∴CM=AB=50cm,BC=AM.∵ CD=140cm,∴DM=CD-CM=90cm.∵ 坡度i=1:2,∴DMAM= .∴ AM=2DM=180cm.∴ BC=AM=180cm (2)过点E 作EN⊥FG 于点N,则易得四边形CENG 是矩形.∴ NG=CE=CD+DE=200cm,∠CEN=90°,EN=CG=BC+BG=240cm.∵ ∠CEF=108°,∴∠FEN=∠CEF-∠CEN=18°.∴ FN=EN·tan 18°≈240×0.32=76.8(cm).∴ FG=FN+GN=76.8+200≈277(cm) 11. 过点A 作AH⊥BC 于点H,过点E 作EG⊥BC 于点G,易得四边形EGHA 是矩形.∴EG=AH,GH=AE=2米.∵斜坡AB的坡度 即AHBH=1,∴BH=AH=30×30=900(厘米),900厘米=9米.∴BG=BH-GH=7米,EG=AH=9米.∵斜坡EF 的坡度 即 米. 米. (平方米).∴共需土石 立方米 第2课时 与旋转等有关的问题 一、1. A 2. C 3. D 4. D 二、5. 3 6. 15° 三、7. 如图,过点D'作D'G⊥BC于点G,交AD 于点H,则易得四边形AHGB、HDCG 为矩形,. DC=40厘米.由题意,得AD'=AD=60厘米， 在Rt△AD'H 中, (厘米).∴ D'G=D'H+HG=56.4+40=96.4(厘米).∴ 点 D'到BC的距离约为96.4厘米 8.能由题意，得 在Rt△OA'P中, 同理，OQ=OA"·cosβ=OA·cosβ.∵ PQ=OQ-OP=h,∴OA·cosβ-OA·cosα=h.∴ OA·(cosβ-cosα)=h.∴ OA=cosβ-cosα 9.如图,延长BC 与地面交于点K,过点D 作DQ⊥CK 于点Q,则由题意,得BK⊥MN.又∵ DQ⊥CK,AH⊥MN,∴易得四边形QKHD为矩形.∴ QK=DH=208 cm,CK=288 cm,AH∥BK.∴CQ=CK-QK =288-208=80(cm),∠GAE=∠ABQ. 又∵AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∴ AB∥CD.∴∠ABQ=∠DCQ.∴∠DCQ=∠ABQ =∠GAE. 当∠GAE = 60°时,则∠DCQ=∠ABQ=∠GAE=60°. 在 Rt△DCQ 中, 160cm.当∠GAE=54°时,则∠DCQ=∠ABQ=∠GAE=54°.在Rt△DCQ中,CQ=CD·cos54°≈160×0.6=96(cm).∵96>80,96-80=16(cm),∴点C 离地面的高度升高了,升高了16cm 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题 一、1. A 2. D 3. C 二、4. 36.7 5. (10 -10) 三、6.过点A 作AD⊥BC 于点 D.设AD=x n mile.由题意,得∠ABD=90°-58°=32°,∠ACD=45°,BC=6 n mile.在 Rt△ACD中 在Rt△ABD中,6+x,解得x=10.∵10>9,∴ 如果渔船不改变航线继续向西航行,没有触礁的危险 7. 如图,过点C作CH⊥AB 于点 H.由题意,得∠CAB=45°,AC=30n mile,∴易得 由题意,得∠CBH=60°, 过点 D 作DG⊥AB,交AB 的延长线于点G,则∠DBG=90°-60°=30°,∴∠BDG=90°-∠DBG=60°. .在 Rt△CBD 中, C、D间的距离为 8.(1) 在 Rt△DAE 中,∠AED=60°,AE=3m,∴ AD=AE· .灯管支架底部距地面的高度 AD 的长为 (2) 延长 FC 交 AB 于点 G. ∵ ∠DAE=90°,∠AFC=30°,∴∠DGC=90°-∠AFC=60°.∵∠GDC=60°,∴∠DCG=180°-∠GDC-∠DGC=60°.∴∠GDC=∠DCG=∠DGC.∴△DGC是等边三角形.∴ CD=DG.∵AE=3m,EF=8m,∴AF=AE+EF= 11 m. 在 Rt△AFG 中, ,灯管支架CD 的长度约为1.2m 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $