四川省广元市实验中学初中部2025--2026学年上学期八年级期中数学试卷

八年级期中数学参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A C A D C B 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，下西每个小题都给出了四个答案,其中只有个是正确的，请在答题卷上将各题的正确答案标号所对应的方框涂黑．） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+2＜4，不能组成三角形； B、4+6＞8，能够组成三角形； C、5+6＜12，不能组成三角形； D、2+3＝5，不能组成三角形． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2．《国语•楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【解答】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 根据轴对称图形的定义可得：A、C、D均能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的识别，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（　　） A． B．4 C．3 D．不能确定 【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的周长相等可得出等式方程求出答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF全等， ∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1， 解得：x＝3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理． 4．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高度概念判断即可． 【解答】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 5．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 6．一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的60°角顶点重合，则∠BFD的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【分析】由三角形的外角性质得到∠BFD＝∠B+∠BCF＝75°． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠BCF＝45°， ∴∠BFD＝∠B+∠BCF＝75°． 故选：C． 【点评】本题考查等腰直角三角形，三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质得到∠BFD＝∠B+∠BCF． 7．若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【解答】解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简．熟练掌握以上知识点是关键． 8．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠OAB＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．55° C．45° D．25° 【分析】由作图过程可知，BE为∠ABN的平分线，可得．根据∠ABN＝∠AOB+∠OAB＝∠AOB+50°，可得．由题意得，则． 【解答】解：由作图过程可知，BE为∠ABN的平分线， ∴． ∵∠ABN＝∠AOB+∠OAB＝∠AOB+50°， ∴． ∵OG平分∠MON， ∴． ∵∠OPB＝∠PBN﹣∠BOP， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，掌握相关知识点是解题的关键． 9．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'BD＝27°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．27° B．59° C．79° D．69° 【分析】利用折叠的性质可得出∠ABE，∠CBD的度数，结合∠ABC＝∠ABE+∠C'BD+∠CBD可求出∠ABC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求出原三角形的∠C的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠ABE＝∠C'BD＝27°，∠CBD＝∠C'BD＝27°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠C'BD+∠CBD＝27°+27°+27°＝81°． 在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC＝81°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣20°﹣81°＝79°． 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换以及三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键． 10．如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN＝BM；②CD⊥EF；③△ECF是等边三角形；④DC平分∠ADB．其中正确的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由SAS可证△ACN≌△MCB，可得AN＝BM，故①正确；由ASA可证△ACE≌△MCF，可得CE＝CF，可证△ECF是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠MFC，可得∠CED+∠MFC＝180°，则可证DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故②错误；由全等三角形的性质可得S△ACN＝S△MCB，由面积公式可证CH＝CG，可得∠CDG＝∠CDH，故④正确． 【解答】解：∵△ACM、△BCN是等边三角形， ∴AC＝CM，∠ACM＝∠BCN＝60°，CN＝CB， ∴∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中， ， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴∠CMB＝∠CAN，AN＝BM， 故①正确； ∵∠ACM＝∠BCN＝60°， ∴∠MCN＝60°＝∠ACM， 在△ACE和△MCF中， ， ∴△ACE≌△MCF（ASA）， ∴CE＝CF， ∵∠ECF＝60°， ∴△ECF是等边三角形， 故③正确， ∵△ACE≌△MCF， ∴∠AEC＝∠MFC， ∵∠AEC+∠CED＝180°， ∴∠CED+∠MFC＝180°， ∴∠CED不一定等于∠CFM， ∴∠DEF不一定等于∠DFE， ∴DE不一定等于DF， 又∵CE＝CF， ∴CD不一定垂直平分EF， 故②错误； 如图，过点C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H， ∵△ACN≌△MCB， ∴S△ACN＝S△MCB， ∴， ∴CH＝CG， ∵CG⊥AN于G，CH⊥MB， ∴∠CDG＝∠CDH， ∴CD平分∠ADB， 故结论④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）把正确答案直接写在横线上. 11．（4分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带 　③　 去． 【分析】要认真观察图形，根据已知选择方法． 【解答】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定方法是关键． 12．（4分）若一个三角形三边长分别为2，5，x，则x的值可以为　4　 （写一个即可）． 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：5﹣2＜x＜5+2， 即：3＜x＜7， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 13．（4分）如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．若AC+BC＝10cm，则△DBC的周长为　10cm ． 【分析】根据线段垂直平分线性质知，DA＝DB．△DBC的周长＝BC+BD+DC＝BC+DA+DC＝BC+AC． 【解答】解：∵MN垂直平分AB， ∴DA＝DB． ∴△DBC的周长＝BC+BD+DC ＝BC+DA+DC＝BC+AC＝10cm． 故答案为：10cm． 【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，内容单一，属基础题． 14．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，点D为BC的中点，则AD的取值范围是 　0.5＜AD＜3.5　 ． 【分析】延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝3，在△ABE中，可得1＜AE＜7，即1＜2AD＜7；故0.5＜AD＜3.5． 【解答】解：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，如图： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∠ADC＝∠BDE，ED＝AD， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝3， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∵AB＝4，BE＝3， ∴1＜AE＜7，即1＜2AD＜7； ∴0.5＜AD＜3.5； ∴AD的取值范围是0.5＜AD＜3.5． 故答案为：0.5＜AD＜3.5． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是读懂题意，掌握“倍长中线法”． 15．（4分）如图所示，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB．若点A（7，0），则点B的坐标为 　（0，﹣3）　 ． 【分析】过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，根据点P（2，2），点A（7，0）得PC＝PD＝OC＝OD＝2，OA＝7，则AC＝5，证明Rt△PAC和Rt△PBD全等得AC＝BD＝5，则OB＝BD﹣OD＝3，由此可得点B的坐标． 【解答】解：过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，如图所示： ∴∠PDO＝∠PCO＝90°， ∵点P（2，2），点A（7，0）， ∴PC＝PD＝OC＝OD＝2，OA＝7， ∴AC＝OA﹣OC＝7﹣2＝5， 在Rt△PAC和Rt△PBD中， ， ∴Rt△PAC≌Rt△PBD（HL）， ∴AC＝BD＝5， ∴OB＝BD﹣OD＝5﹣2＝3， ∴点B的坐标是（0，﹣3）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形，理解点的坐标，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 16．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝α，∠ABC＝β，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 　α+β﹣90°　 （用含α、β的关系式表示）． 【分析】过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，判定AD为∠EAC的平分线，CD为∠ACF的平分线，即可得出∠DAC的度数． 【解答】解：如图，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点， 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴DE＝DF， 又∵∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠CAD＝∠EAD， ∴AD为∠EAC的平分线， ∴DE＝DG， ∴DG＝DF． ∴CD为∠ACF的平分线， ∵∠DCB＝α， ∴∠DCF＝180°﹣α， ∴∠ACF＝2∠DCF＝360°﹣2α， ∴∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝360°﹣2α﹣β， ∴∠CAE＝180°﹣（360°﹣2α﹣β）＝2α+β﹣180°， ∴∠DAC＝＝α+β﹣90°， 故答案为：α+β﹣90°． 【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等． 三、解答题（本大题共10题，共96分）解答时应写出必要的文字说明、演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷对应的位置上。 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据有理数的乘方、立方根、绝对值的性质计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1+（﹣8）×| ＝﹣1+（﹣1）﹣（﹣3）× ＝﹣2﹣（﹣1） ＝﹣2+1 ＝﹣1； （2）， ①×2，得10x﹣4y＝34③， ②+③，得13x＝39， 解得x＝3， 把x＝3代入①，得y＝﹣1， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解． 【分析】分别解出两个不等式的解集，再表示出其公共部分即可． 【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1， 解不等式＞，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 所以不等式组的整数解为0、1． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 19．（8分）（1）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9cm和12cm两部分，求该等腰三角形三边边长； （2）在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A＝3∠B﹣∠C，求∠B的度数． 【分析】（1）设腰长为xcm，底边长为ycm，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和12cm两部分，列方程解得即可． （2）先整理得到∠A+∠C＝3∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设腰长为xcm，底边长为ycm， 则或， 解得：或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 故等腰三角形的腰长为8cm、底边长为5cm或腰长为6cm、底边长为9cm． 答：等腰三角形三边边长为8cm，8cm，5cm或6cm，6cm，9cm． （2）∵∠A＝3∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝3∠B， 又∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴4∠B＝180°， ∴∠B＝45°． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝76°，∠C＝30°，求∠EAD的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝3，CE＝5，△ABD的周长比△ADC周长小9，求AC的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE； （2）根据三角形的中线的性质得到BD＝DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵∠B＝76°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣30°＝74°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣14°＝23°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝5， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝5， ∵△ABD的周长比△ADC周长小9， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝9， ∴AC+CD﹣BD+AD﹣AB﹣AD＝9， ∴AC﹣AB＝9﹣5＝4， ∴AC＝7． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 21．（8分）如图，AD∥BC，∠D＝∠B，DF＝BE． （1）求证：△ADF≌△CBE． （2）若AC＝17，CF＝3，求EF的长． 【分析】（1）由AAS可证△ADF≌△CBE； （2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，可得AE＝CF＝3，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）； （2）解：∵△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE， ∴AE＝CF， ∵AC＝17，CF＝3＝AE， ∴EF＝11． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 22．（10分）证明：全等三角形的对应角的角平分线相等．（要求：画图，写出已知、求证和证明过程．） 【分析】先画出图形，写出已知和求证，再写证明过程．证明线段相等，只需要证明这两个线段所在的两个三角形全等即可． 【解答】已知：如图，△ABC≌△DEF，BG，EH分别是∠ABC和∠DEF的平分线， 求证：BG＝EH． 证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，∠C＝∠F， ∵BG，EH分别是∠ABC和∠DEF的平分线， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠DEF， ∴∠1＝∠2， 在△BCG与△EFH中， ， ∴△BCG≌△EFH（ASA）， ∴BG＝EH． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明这两个线段所在的两个三角形全等． 23．（10分）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD，BE交于点F，且AD＝BD． （1）求证：BF＝AC； （2）若AF＝2，CD＝4，求△ABC的面积． 【分析】（1）先求得∠FBD＝∠CAD，再证明△FDB≌△CDA，即可得出结论； （2）根据△FDB≌△CDA，得到FD＝CD＝4，求出BD＝6，BC＝10，再根据三角形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD，BE是△ABC的高， ∴AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEF＝90°， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠FBD＝∠CAD， 在△FDB和△CDA中， ， ∴△FDB≌△CDA（ASA）， ∴BF＝AC； （2）解：∵△FDB≌△CDA， ∴FD＝CD， ∵AF＝2，CD＝4， ∴DF＝4， ∴BD＝AD＝AF+DF＝6， ∴BC＝BD+CD＝6+4＝10， ∴△ABC的面积＝BC•AD＝×10×6＝30． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（13分）在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 【分析】（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1＝180°﹣2∠CDE，∠2＝180°﹣2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将∠2看作180°﹣2∠CED，∠1看作2∠CDE﹣180°，再根据三角形内角和定理来求． 【解答】解：（1）∠1+∠2＝180°﹣2∠CDE+180°﹣2∠CED ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED） ＝360°﹣2（180°﹣∠C） ＝2∠C ＝60°； （2）连接DG， ∠1+∠2＝180°﹣∠C′﹣（∠ADG+∠AGD） ＝180°﹣30°﹣（180°﹣80°） ＝50°； （3）∠2﹣∠1＝180°﹣2∠CED﹣（2∠CDE﹣180°） ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED） ＝360°﹣2（180°﹣∠C） ＝2∠C 所以：∠2﹣∠1＝2∠C． 【点评】此题是一道折叠问题，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． 25．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，点D是射线BC上一点．连接AD，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF、AC交于点E． （1）如图1，求证：AC+CE＝BD； （2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：FC平分∠AFE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BD＝CD，△AFE的面积为16，求EF的长． 【分析】（1）由题意易得∠BCE＝∠ACD，然后根据直角三角形的性质可得∠1＝∠2，进而可证△ACD≌△BCE，最后问题可求证； （2）过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，根据题意易证△AHC≌△BKC，则有CH＝CK．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，过点F作FM⊥AE于M．同（1）（2）问，∠1＝∠2，CH＝CK，由题意易证△ACD≌△BCE，则有CD＝CE，然后根据等积法可进行求解． 【解答】（1）证明：如图1， ∵点D是射线BC上一点，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BCE＝∠ACD． ∵BF⊥AD， ∴∠AFE＝90°． ∴∠1＝90°﹣∠AEF，∠2＝90°﹣∠BEC， ∵∠AEF＝∠BEC， ∴∠1＝∠2． 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴CD＝CE， ∴BD＝BC+CD＝AC+CE． （2）证明：如图2，过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K， ∴∠CHA＝∠CKB＝90°． 同（1），∠1＝∠2． 在△AHC与△BKC中， ， ∴△AHC≌△BKC（ASA）， ∴CH＝CK． 又∵CH⊥AF，CK⊥BE， ∴点C在∠AFE的平分线上， 即FC平分∠AFE． （3）解：如图3，过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，过点F作FM⊥AE于M． 同（1）（2）问，∠1＝∠2，CH＝CK． ∵D是BC的中点， ∴BC＝2CD． 又∵AC＝BC， ∴AC＝2CD． ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（ASA）． ∴CD＝CE， 又∵AC＝2CD， ∴AC＝2CE． ∵，， ∴S△ACF：S△CEF＝AF：FE＝AC：CE＝2CE：CE＝2， ∴AF＝2EF， ∵BF⊥AD， ∴， ∴EF＝4． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 26．（14分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌　△DAE ，推理依据是AAS ．进而得到AC＝DE ，BC＝AE ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； （3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，试猜想S1和S2的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）证明△ABC≌△DAE，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作DM⊥AF，EN⊥AF，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM，△ACF≌△EAN，故可推出DM＝EN，再证△DMG≌△ENG即可证明结论； （3）作PQ⊥CE，AM⊥PQ，FN⊥PQ，利用“K字模型”的结论可得△ADM≌△DCP，△DFN≌△EDP，进一步可证△AMQ≌△FNQ即可求解． 【解答】（1）解：∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠AED＝90°， ∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D． 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝DE，BC＝AE． 故答案为：△DAE；AAS；DE；AE； （2）证明：如图2：作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N， 由“K字模型”可得：△ABF≌△DAM，△ACF≌△EAN， ∴AF＝DM，AF＝EN， ∴DM＝EN， ∵∠DMG＝∠ENG＝90°，∠DGM＝∠EGN， ∴△DMG≌△ENG， ∴GD＝GE，即点G是DE的中点； （3）解：S1＝S2， 理由如下：如图3：作PQ⊥CE，交CE于P，交AF于Q，过点A作AM⊥PQ于M，过点F作FN⊥PQ于N， ∵四边形ABCD和DEGF为正方形， ∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF， 由“K字模型”可得：△ADM≌△DCP，△DFN≌△EDP， ∴S△ADM＝S△DCP，S△DFN＝S△EDP，AM＝DP，FN＝DP， ∴AM＝FN， ∵∠AMQ＝∠FNQ＝90°，∠AQM＝∠FQN， ∴△AMQ≌△FNQ， ∴S△AMQ＝S△FNQ， ∴S△AFD＝S△ADQ+S△FNQ+S△DFN＝S△ADQ+S△AMQ+S△DFN＝S△ADM+S△DFN＝S△DCP+S△EDP＝S△DCE， ∴S1＝S2． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市实验中学初中部 2025 年秋八年级期中考试 数学试题 考试时间:120分钟，满分:150分 注意事项:本试题卷共4页,共有三个大题,其中第一题为选择题,考生用 2B 铅笔答题;第二题为非选题，考生用 0.5毫米的黑色墨迹签字笔答题。请在答题卡上答题，答在试卷上的答案无效,考试结束只交答题卡. 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，下西每个小题都给出了四个答案,其中只有个是正确的，请在答题卷上将各题的正确答案标号所对应的方框涂黑．） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm 2．《国语•楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（　　） A． B．4 C．3 D．不能确定 4．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 6．一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的60°角顶点重合，则∠BFD的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 7．若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 8．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠OAB＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．55° C．45° D．25° 9．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'BD＝27°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．27° B．59° C．79° D．69° 10．如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN＝BM；②CD⊥EF；③△ECF是等边三角形；④DC平分∠ADB．其中正确的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）把正确答案直接写在横线上. 11．（4分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带 　 　 去． 12．（4分）若一个三角形三边长分别为2，5，x，则x的值可以为　 　 （写一个即可）． 13．（4分）如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．若AC+BC＝10cm，则△DBC的周长为　 　 ． 14．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，点D为BC的中点，则AD的取值范围是 　 　 ． 15．（4分）如图所示，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB．若点A（7，0），则点B的坐标为 　 　 ． 16．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝α，∠ABC＝β，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 　 　 （用含α、β的关系式表示）． 三、解答题（本大题共10题，共96分）解答时应写出必要的文字说明、演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷对应的位置上。 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解． 19．（8分）（1）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9cm和12cm两部分，求该等腰三角形三边边长； （2）在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A＝3∠B﹣∠C，求∠B的度数． 20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝76°，∠C＝30°，求∠EAD的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝3，CE＝5，△ABD的周长比△ADC周长小9，求AC的长． 21．（8分）如图，AD∥BC，∠D＝∠B，DF＝BE． （1）求证：△ADF≌△CBE． （2）若AC＝17，CF＝3，求EF的长． 22．（10分）证明：全等三角形的对应角的角平分线相等．（要求：画图，写出已知、求证和证明过程．） 23．（10分）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD，BE交于点F，且AD＝BD． （1）求证：BF＝AC； （2）若AF＝2，CD＝4，求△ABC的面积． 24．（13分）在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 25．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，点D是射线BC上一点．连接AD，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF、AC交于点E． （1）如图1，求证：AC+CE＝BD； （2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：FC平分∠AFE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BD＝CD，△AFE的面积为16，求EF的长． 26．（14分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌　 　 ，推理依据是　 　 ．进而得到AC＝　 　 ，BC＝　 　 ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； （3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，试猜想S1和S2的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $