2025年广东省第六届初中数学“shinsh杯”竞赛

2025-2026年广东省第六届初中数学“shinsh杯”竞赛 第六届初中数学“shinsh杯”竞赛 试题卷 2025年12月6日上午900-11：00 一、填空题：（本大题共8题，每题9分，满分72分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 1.把一个6×6的方格表的每一格染成红色或蓝色，使得任意两行中的红格 数互不相同，任意两列中的红格数也互不相同，这样的染法有种。 2.已知正整数a、b、c互不相同，且都小于等于30.a-b27.a、b、c中有至 少一个小于10，也有至少一个大于20.这样的正整数组(a,b,c)有 组 3.实数ab、c满足，lamr3+br2+cas1对=l,2,3,4,5,6成立，则d的取值 范围是 4.已知自然数a、b、c互不相同，且都小于等于2025.而且关于x的二次 方程x2+2br+3=0有整数根.这样的自然数组(a,b,c)有组. 5.如图1所示，等边三角形△ABC的面积为1，分别延长CA、AB、BC到 点D、E、F,满足4AD=BE=CF.记△DBE的面积为k.若△DBC的外接圆与△ECF 的外接圆相切，则比5-23大的最小整数是 6.M是正整数.则在2、3、、100中，最多有 个数d满足pg, 其中p是d的最小素因子，g是M和d的最大公因数 7.对于平面直角坐标系中的任意两个点A(a,a,)、B6,b),定义向量 AB=(6-a,b,-a,)；对于任意两个向量(xy(2,w),定义 (k,y)8(2,w)=xz+2z+2w+9w.实数C满足： C44⑧44+44844+…+44⑧44k44844+44⑧44++44⑧44 对任意10个互不相同的点o,4,,成立，C的取值范围是 0 B E 图1 图2 1/2 2025-2026年广东省第六届初中数学“shinsh杯”竞赛 8.如图2所示，以点A为圆心有两个圆T,「2，半径分别为20和25.点B 是半径为20的圆上的动点，点C、G是半径为25的圆上的动点.点D满足三角 形BCD为正三角形.以D为圆心，DC为半径作圆T3,与直线GC的第二个交点 为F,与2交于点E.过G作T的切线，过F作T3的切线，交于点H.设O为 △FGH的外心.线段OE长度的最大值是 二、解答题：（本大题共4题，满分78分） 9.(本题满分15分)如图3所示，在圆0上有四点小B、CD,ADBC, M是线段AD的中点.点E在圆O上，满足∠BEM∠CEM,点K在射线EC上， 满足∠EMK=90°，联结AK.求证：∠AKC=∠DEM. 小 图3 10.(本题满分15分)设a,0,P是正实数，r和s是互素的正整数，满足 -分·对于正整数m,如果存在互素的正整数9和x满足q<P且 1g(件m@-则称m为好的”.证明：对任意正整数山，1,2，M中至多 有学+1个是好的 11.(本题满分24分)给定正整数k.求所有的正整数n>2,使得存在 (-)k+1个整数a,a,a2,,am1*,满足如下三个条件： ①a0,a,a2,,0m1均是1,2，，n中的数.a0l,02,023,,am1rn. ②对于任意整数i,0<(n-l)k,有a≠ar ③对于任意整数，0<i,j(n-l)k,i≠j,有(ara+ara-0 lawraHara)≠0. 12.(本题满分24分)有n个非负实数a,a2,,an(n>7).平方和为15，四 次方和为45.设 S=aia,+aja,+..+ai an+aia+aaa,+aaja+..+ananan+ana a+aaa: (1)证明：S<52. (2)求最小的整数T,使得对任意的n≥7和n个非负实数a,a2,,a,均有S<T 2/2