18.3分式的加法与减法 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.3分式的加法与减法同步练习 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 2．化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，表示整式，则是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．化简得（   ） A． B． C． D． 7．已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 11．小刚从家到学校骑车需要走的上坡路、的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则小刚从家到学校需要的时间可以表示为（    ） A． B． C． D． 12．下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 ． 在化简过程中，第___________步开始出现错误．（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 二、填空题 13．化简： ． 14．已知，则的值为 ． 15．已知，则的值为 ． 16．已知，则的值为 ． 17．计算： ． 18．化简的结果是 ． 19．已知与2，3是三角形的三边长，且为整数，则的值为 ． 三、解答题 20．化简计算： (1) (2) (3) (4) 21．化简： (1) (2)． 22．小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下： 原式① ② ③ ④ ⑤ (1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）． (2)请你给出这道题的正确解答过程． 23．观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 24．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0（填“>”“=”或“<”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次加相同容量的油（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为_______元/升，小张两次加油的平均单价为_______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 25．定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”． (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 26．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查分式的减法运算，需通过通分将两个分式合并后进行化简，通过通分统一分母，合并分子时注意符号，最终化简得到结果． 【详解】原式= 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则计算即可，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 4．D 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，根据分式的加减乘除运算法则进行逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 5．B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 6．B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐步化简即可． 【详解】解： ． 故选B． 7．C 【分析】本题考查分式的加减法．对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把代入计算后直接选取答案． 【详解】解：， ∵实数a，b互为倒数， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 10．D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 11．B 【分析】本题考查了分式加减计算的应用，根据时间路程速度分别计算出上下坡的时间即可． 【详解】解：， 故选：B． 12．C 【分析】本题考查了化简分式，平方公式与平方差公式的运用，检查分式化简各步骤，发现第③步通分时分子计算错误． 【详解】解：第①步，将分母分解为，分子分解为，正确； 第②步，约分为，正确； 第③步，通分时，第一个分式应化为，但误写为，导致分子错误为，正确应为：， 第④步，因第③步错误，后续化简结果错误， 综上，错误始于第③步， 故选：C． 13．3 【分析】本题主要考查了同分母分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．同分母分式相减，分母不变，分子相减，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 14．// 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先通分化简原式，再把用表示，代入式子求解即可． 【详解】解：原式， ， ， ∴原式， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值． 先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式的值为． 故答案为：． 16．5 【分析】将方程左右两边各项同时除以，再化简即可； 【详解】解：∵， 将上述方程左右两边各项同时除以， 得：， 即， ∴． 【点睛】本题考查了分式化简求值，正确的运算是解题的关键． 17．1 【分析】本题考查了异分母分式的加减法． 先根据完全平方公式和平方差公式变形后约分，再计算分式的加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查了分式的加减法，根据分式的加减法运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 19． 【分析】先将表达式化成最简形式，再根据三角形三边的关系求出的值，然后代入化简后的表达式中求值． 【详解】解：原式 ， 且，， ∴且， ∵与，是三角形的三边长， ∴，即， ∵为整数， ∴，，. ∵且， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，三角形三边的关系，正确的运算是解题的关键． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据异分母的分式加减法法则计算即可； （2）根据异分母的分式加减法法则计算即可； （3）根据异分母的分式加减法法则计算即可； （4）根据异分母的分式加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可． （2）先把除法转化为乘法并约分，再通分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 22．(1)③ (2)见解析 【分析】此题考查了分式加减法、平方差公式，熟练掌握运算法则和分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式加减法法则解答即可． （2）根据分式加减法法则和分式的基本性质，结合平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）解：错误出现在第③步，错误的原因是分式运算不能去分母； 故答案为：③； （2）正确解答：原式 ． 23．(1)A、B (2)2 (3)①；② 【分析】（1）根据“奇妙分式”定义，判断每个选项能否化为整式与真分式和的形式，逐一分析选项． （2）先将变形为整式与真分式的和，再依据值为整数的条件，确定的取值，进而求出正整数． （3）①通过对分子进行变形，将拆分为整式与真分式的和；②先确定①中整式部分、真分式分母，代入式子化简，根据可化简为整式的条件求 ． 【详解】（1）解：A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式． D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式 ），不属于奇妙分式． E选项：（），是整式，不属于奇妙分式． 综上，答案为A、B． （2）解： 分式值为整数，是正整数， 是的因数． 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）； 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，（无实数解，舍去）． 正整数的值为． （3）解：① ②由①知，整式部分，真分式分母． 式子可化简为整式， 能被整除． ∴当时，， 即， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了分式的新定义（真分式、奇妙分式）应用，涉及分式的变形、拆分，以及根据分式值的条件求参数、整式化简等知识，熟练掌握分式的运算、新定义的理解与运用是解题的关键． 24．(1) (2)，见解析 (3)①；；②小王加油的平均单价低． 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先计算分式的减法运算，再根据a的取值范围即可求解； （2）化简，由可得，进而求解； （3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量列代数式即可；②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴，即； （3）①小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． ∴小张两次加油的平均单价为元/升； 故答案为：，； ② ∵，， ∵时， ∴，即， 答：小王加油的平均单价低． 25．(1)不是的“雅中式”，理由见解析 (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）直接计算的值，根据“雅中式”的定义即可得； （2）根据题意可得，计算分式的减法即可得，代入可得，然后根据的值均为整数求解即可得． 【详解】（1）解：不是的“雅中式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴不是的“雅中式”． （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵为整数，且“雅中式”的值也为整数， ∴的所有可能的值为， ∴的所有可能的值为（舍去）， ∴所有符合条件的的值之和为． 26．(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $