精品解析： 重庆市永川区双竹初级中学校2025--2026学年上期第一次自主定时练习九年级数学试卷

双竹初中初2026届初三上期第一次自主定时练习试卷 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知是方程的一个根，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. －2 4. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为 A. B. C. D. 不能确定 7. 函数与（且）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. y的最大值是1 B. 图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C. 它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D. 当时，y随x的增大而减小． 10. 已知四个整式：，，，，有以下结论： ①若，为整数，则的值一定是偶数， ②若关于，的整式不含一次项，则存在最小值， ③对任意实数，，多项式的值不可能为-6． 以上结论中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若抛物线有最大值，则a的取值范围是______________． 12. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 14. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 15. 当时，函数的函数值随着的增大而减小，的取值范围是__________． 16. 对于各位数字均不为零的三位自然数，若满足各位数字之和能被个位数字整除，则称为“诚爱数”，例如，∵，，∴是“诚爱数”，将的个位数字放在其百位数字前得，再将的个位数字放在其百位数字前得，记，现有“诚爱数”，当最小时，__________．已知一个“诚爱数”，若能被9整除，则的最大值为__________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17-18题每题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，求出此方程的根． 19. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴，顶点坐标及与x轴的交点坐标． 20. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 21. 关于x的一元二次方程． （1）判定此方程根的情况； （2）等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 22. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）则 ， ； （2）该二次函数图象的顶点坐标为 ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当时，y的取值范围是 ． 23. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元． （1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？ （2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点Q为抛物线上的点且在第三象限，当时，请求出点Q的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴交x轴于点N，点P是抛物线的顶点，连接，请求出的最小值及此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双竹初中初2026届初三上期第一次自主定时练习试卷 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 3. 已知是方程的一个根，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=-2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】解：根据题意，得 4-2×b-2=0，即2b+2=4， 解得，b=1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 6. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为 A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较A、B点到对称轴的距离大小可得到y1，y2的大小关系． 【详解】抛物线y=a（x+2）2+3（a＜0）的对称轴为直线x=﹣2，而A（﹣1，y1）到直线x=﹣2的距离比点B（2，y2）到直线x=﹣2的距离小，所以y1＞y2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 7. 函数与（且）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分四种情况讨论，再判断图像即可． 【详解】解：当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，三象限， 当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第一，三，四象限， 所以B不符合题意； 当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第二，三，四象限， 当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，四象限， 所以C不符合题意，D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，一次函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键． 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是， 由题意得：． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. y的最大值是1 B. 图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C. 它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D. 当时，y随x的增大而减小． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：二次函数，， ∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选项A、B的说法正确，D的说法错误； 根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到； 故选项C的说法正确， 故选：D． 10. 已知四个整式：，，，，有以下结论： ①若，为整数，则的值一定是偶数， ②若关于，的整式不含一次项，则存在最小值， ③对任意实数，，多项式的值不可能为-6． 以上结论中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算顺序和法则，奇偶数特征，无关型问题，完平方公式变形求值求极值，是解题的关键． 根据整式的混合运算化简，根据结果判断①；根据化简结果不含一次项得，得判断②；根据化简结果判断③． 【详解】解：① ， 当，为整数时，是奇数． 故①不正确； ② ， 当M中不含一次项时，，， ∴ ∴， ∴M有最小值0． 故②正确； ③ ， 当时，的值为 故③不正确； 综上，只有②是正确的，即有1个正确． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若抛物线有最大值，则a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有最大值可知二次函数图像开口向上，由此解出答案. 【详解】因为是抛物线且有最大值，因此该二次函数图像开口向下，所以该二次函数解析式的二次项系数（2-a） ＜0，解得a＞2. 【点睛】熟练掌握二次函数图像及其解析式含义是解题关键. 12. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛． 【答案】10． 【解析】 【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有x个队参加比赛， 根据题意得：2×x（x-1）=90， 整理得：x2-x-90=0， 解得：x=10或x=-9（舍去）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 14. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出时y的值，就可得到y的取值范围． 【详解】由二次函数可知： 抛物线开口向上，顶点为， ∴函数有最小值， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，结合图像可得函数的最值是解题的关键． 15. 当时，函数的函数值随着的增大而减小，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标,从而知该二次函数的单调区间. 【详解】二次函数的解析式的二次项系数是2, ∴该二次函数的开口方向是向上 又 该二次函数的图象的顶点坐标是, ∴该二次函数图象时,是减函数,即y随x的增大而减小; 而已知中当时,y随x的增大而减小, . 故答案为. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,解答该题时,须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程中的h，k的意义. 16. 对于各位数字均不为零的三位自然数，若满足各位数字之和能被个位数字整除，则称为“诚爱数”，例如，∵，，∴是“诚爱数”，将的个位数字放在其百位数字前得，再将的个位数字放在其百位数字前得，记，现有“诚爱数”，当最小时，__________．已知一个“诚爱数”，若能被9整除，则的最大值为__________． 【答案】 ①. 14 ②. 846 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握新定义内容与计算，数字问题中的数字表达式，解条件二元一次方程，是解题的关键． 根据“诚爱数”定义知，能被个位数整除，得当最小时，,得，得；根据“诚爱数”，得，根据能被9整除，得能被9整除，得时的最大值为846． 【详解】解：∵为“诚爱数”， ∴能被个位数整除， ∴当最小时，， ∴， ∴； ∵“诚爱数”， ∴， ∴， ∵能被9整除， ∴能被9整除， 则时，的值最大，且， ∴的最大值为846． 三、解答题：（本大题8个小题，第17-18题每题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）先移项，然后因式分解，再得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）先因式分解，再得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 18. 已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，求出此方程的根． 【答案】（1）k的取值范围为 （2）， 【解析】 【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围； （2）由，代入方程求根即可． 【小问1详解】 解：由题可知：， 解得：， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 解：当，则原方程为， 即， 解得：，． 【点睛】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，掌握方程根的情况与根的判别式的关系及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 19. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴，顶点坐标及与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴，顶点坐标，与x轴的交点坐标和 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解二次函数的解析式、求二次函数的对称轴、顶点、与x轴交点坐标： （1）采用待定系数法或者根据二次函数与二次方程的关系直接可写出解析式； （2）根据抛物线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过和，且， 抛物线的解析式为， 展开得； 【小问2详解】 解：对于二次函数，对称轴为， 在中，， ∴对称轴为， 将代入解析式，得， 顶点坐标为， 由二次函数性质可知，抛物线与x轴的交点即为A、B，故坐标为，． 综上，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，与x轴的交点坐标为和． 20. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． 【小问2详解】 一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 21. 关于x的一元二次方程． （1）判定此方程根的情况； （2）等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】（1）方程有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【小问1详解】 证明：． 方程有两个实数根； 【小问2详解】 解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 22. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）则 ， ； （2）该二次函数图象的顶点坐标为 ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3） 二次函数图象如图所示， （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入函数解析式进行计算即可． （2）根据（1）中所求，的值，得出函数解析式即可解决问题． （3）根据题意，画出二次函数图象即可． （4）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点和代入得， ， 解得． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知， 抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由函数图象可知， 因为， 当时，；当时，， 所以的取值范围是：． 故答案为：． 23. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 24. 毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元． （1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？ （2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元 （2）第二周的销售价格为9元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设学生纪念品的成本为x元，则教师纪念品的成本为元，，根据题意列方程即可求解； （2）第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，第二周销售的销量降低的元数，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出一元二次方程求出即可． 【小问1详解】 设学生纪念品的成本为x元，则教师纪念品的成本为元， 根据题意得： 解得： ∴ 答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元； 【小问2详解】 第二周单价降低x元后，这周销售的销量为； 由题意得出：， 即， 整理得：， 解得：， ∴． 答：第二周的销售价格为9元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点Q为抛物线上的点且在第三象限，当时，请求出点Q的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴交x轴于点N，点P是抛物线的顶点，连接，请求出的最小值及此时点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最小值为，点 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过点B作交抛物线于点Q，则有，利用待定系数法分别求直线、的解析式，再联立方程组即可求解； （3）根据题意得出顶点，将顶点向下平移6个单位得到点，连接交x轴于点N，连接，得出，设，利用平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，，由作图知当Q、N、D三点共线时，取最小值，由待定系数法确定直线的解析式为，过点Q作轴交延长线于点F，利用各点坐标及勾股定理结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点 ，， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， ∴， 设直线解析式， 将点， 代入，得：， 解得：， 则直线解析式为 ， 过点B作交抛物线于点Q，则有， 则直线的解析式为， 将点 代入，得：，解得：， ∴直线解析式为， 由， 解得：或 ， ∵点Q为抛物线上的点且在第三象限， ∴点Q坐标为． 【小问3详解】 解：由（1）得， ∴顶点， 将顶点向下平移6个单位得到点，连接交x轴于点N，连接， 则， 设， ∴轴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由作图知当Q、N、D三点共线时，取最小值， 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，即， 此时过点Q作轴交延长线于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为， 此时，点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $