8.2.2 非线性回归模型 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“非线性回归”核心内容，先复习线性回归模型及最小二乘法，通过“百米飞人世界纪录”案例中散点图非线性分布的问题，引导学生发现线性模型局限，进而引入非线性回归模型，搭建从线性到非线性的知识过渡支架。 其亮点在于以真实案例驱动，通过散点图观察（数学眼光）、函数模型转换推理（数学思维）、残差分析与R²值量化（数学语言）展开教学。如将对数函数模型转化为线性模型，结合残差表和R²值对比拟合效果，还通过企业研发费用等练习巩固。小结表格归纳常见非线性模型转换方法，帮助学生系统掌握，既培养学生数据分析与模型构建能力，也为教师提供结构化教学流程和丰富实例，提升教学效率。

8.2 一元线性回归模型 第三课时 8.2.3 非线性回归 人教A版选择性必修第三册第八章第二单元 课时目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.（重点） 2.了解非线性回归模型. （难点） 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.（重点） 1. 经验回归方程： 我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 2. 最小二乘估计： 经验回归方程中的参数 计算公式为： 复习回顾，引入新知 1.非线性回归模型应用 【问题提出】研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系． 在大量的实际问题中，需要研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数相关或对数相关等非线性相关关系.在应用中需要分析实际问题背景、观察散点图等进行判断. 对于非线性模型，某些情况下，可以转化为一元线性回归模型. （1）画散点图 在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程. 【例】人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据. 试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 散点图 1.非线性回归模型应用 （2）建立线性回归直线 用表示男子短跑的世界纪录，表示纪录产生的年份，利用一元线性回归方程模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为： . ① 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图. 1.非线性回归模型应用 由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 【问题1】经验回归方程①能否较好地刻画了散点的变化趋势？请仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 1.非线性回归模型应用 观察 【追问1】如何修改模型，以使其更好地反映散点的分布特征？ 仔细观察上图，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近. 回顾已有的函数知识，可以发现函数的图象具有类似的形状特征. 注意到短跑的第一个世界纪录产生于年，因此可以认为散点是集中在曲线的周围，其中和为未知的参数，且. 用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数. 1.非线性回归模型应用 （3）建立非线性回归方程 令x=ln(t-1895)，通过x=ln(t-1895) ，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据，如下表. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份/t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 1.非线性回归模型应用 令x=ln(t-1895) , 则Y=c2 x+c1 .因此，用一元线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到经验回归方程 (*). 将（）式所对应的经验回归直线叠加到散点图，由上图可知经验回归方程（）对于成对数据具有非常好的拟合精度. 1.非线性回归模型应用 【追问2】对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归模型，得到了两个回归方程： ①, ② ， 你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？ 直接观察法 在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色). 非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①. （4）比较两个回归方程的拟合程度 （4）比较两个回归方程的拟合程度 1.非线性回归模型应用 残差分析——直接比较 用表示编号为的年份数据，用表示编号为的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为 ，； ，. 两个经验回归方程的残差（精确到0.001）如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 0. 591 0.284 0.301 0.218 0.196 0.111 0.092 0. 205 0.001 0. 007 0.012 0.015 -0.018 0.052 0.021 0.022 观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①. 在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反. 可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.由 可知因此经验回归方程②的拟合效果更好. 1.非线性回归模型应用 （4）比较两个回归方程的拟合程度 残差分析——比较残差平方和 1.非线性回归模型应用 （4）比较两个回归方程的拟合程度 利用决定系数R2刻画回归效果. 与经验回归方程有关 与经验回归方程无关 R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好； R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 方程①和②的R2分别为0.7325和0.9983，可见②的刻画效果比①好很多. 显然0≤R2≤1，所以R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好. 另外，我们还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果. 事实上，我们还有1968年之后的男子短跑100m世界纪录数据，如下表所示. 编号 9 10 11 12 13 14 1983 1988 1991 1991 1994 1996 /s 9.93 9.92 9.90 9.86 9.85 9.84 编号 15 16 17 18 19 20 1999 2005 2007 2008 2008 2009 /s 9.79 9.77 9.74 9.72 9.69 9.58 1.非线性回归模型应用 显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的附近，远离红色经验回归直线，表明经验回归方程②对于新数据的顶报效果远远好于①. 1.非线性回归模型应用 将新的观测数据（绿色的散点）添加到原来的散点图中，再添加经验回归方程①所对应的经验回归直线（红色），以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线（蓝色），得到下图. 15 【追问3】在上述问题情境中，男子短跑100m世界纪录和纪录产生年份之间呈现出对数关系，能借助于样本相关系数刻画这种关系的强弱吗？ 1.非线性回归模型应用 【追问4】 和有什么关系？ 用来判断线性相关关系的强弱，的绝对值越大说明变量间的线性相关性越强；反映回归效果，越大拟合效果越好. 在一元线性回归模型中，，因此，且在一元线性回归模型中，和都能刻画线性回归模型拟合数据的效果，越大，即越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好，即相关程度越强. 能，但样本相关系数用于衡量线性相关程度，需要先进行对数变换，将对数关系转换成线性关系之后，再采用样本相关系数去衡量. 【追问5】解决非线性回归问题的步骤是什么？ 画散点图 选拟 合函数 变换求解 变换还原 根据原始数据(x,y)画散点图. 根据散点图,发现非线性相关特征，选择恰当的拟合函数. 进行恰当的变换，转化成线性函数，求经验回归方程. 通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 1.非线性回归模型应用 说明：在使用经验回归方程进行预测时，需注意以下问题 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 我们所建立的回归方程一般都有时间性； 样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 事实上, 它是预报变量的可能取值的平均值. 1.非线性回归模型应用 【练习】某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位:千万元)对年销售量y(单位:千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i=1, 2, ‧‧‧, 10)的数据，得到散点图如图所示. (1) 利用散点图判断y=a+bx和y=c‧xd(其中c, d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)； (2) 对数据作出如下处理，令ui=lnxi, vi=lnyi, 得到相关统计量的值如下表.根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程. 1.非线性回归模型应用 解：(1) 由散点图可知，选择回归类型y=c‧xd更合适. (2) 对y=c‧xd两边取对数，得lny=lnc+dlnx， 1.非线性回归模型应用 1.非线性回归模型应用 【问题2】常见的非线性函数转换方法有哪些？ 指数函数 . 画出成对样本数据的散点图，如果散点落在曲线 （如图）的附近， 那么对 的两边取自然对数， 得，令 ，则 . 幂函数 . 画出成对样本数据的散点图，如果散点落在曲线 （如图）的附近， 那么对 的两边取自然对数， 得， 令 ，，则 . 1.非线性回归模型应用 【问题2】常见的非线性函数转换方法有哪些？ 对数函数 . 画出成对样本数据的散点图，如果散点落在曲线 （如图）的附近， 那么令 ，则 . 小结 几种常见的非线性模型及其线性化的方法 曲线类型 变换方法 变换公式 变换后的线性关系式 y=axb 两边取自然对数并换元 c=lna，v=lnx，u=lny u=c+bv 两边取自然对数并换元 c=lna，u=lny u=c+bx 两边取自然对数并换元 c=lna，v，u=lny u=c+bv y=a+blnx 换元 v=lnx y=a+bv y=a+b 换元 v=，u=y u=a+bv 题型1.用拟合效果分析非线性回归问题 【例1】经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x(单位：千万元)的关系，对同类型10家企业的相关数据(i=1，2，…，10)进行整理，并得到如下散点图：根据此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归模型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归模型的是（ ） A.y=ax+b B.y=ax2+b C.y=aex+b D.y=aln x+b D 根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓， A中，y=ax+b表示直线，变化趋势是定的，不符合题意； B中，y=ax2+b表示的曲线在(2，10)内随x的增大而上升或下降的越来越快，不符合题意； C中，y=aex+b表示的曲线不论是上升还是下降，都比较快，曲线较“陡峭”， 不符合题意； D中，y=aln x+b表示的曲线不论是上升还是下降，都比较平缓，符合题意. 题型1.用拟合效果分析非线性回归问题 (1)根据散点图可以判断两个变量之间的相关关系，根据样本点的分布选取合适的函数模型. (2)两个变量Y与x的回归模型中，决定系数R2越大，拟合效果越好. 反 思 感 悟 26 题型2.非线性回归模型 【例2】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i=1，2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 表中Wi=lg Ii，=Wi. (Ii-)2 (Wi-)2 (Ii-)·(Di-) (Wi-)·(Di-) 1.04×10-11 45.7 -11.5 1.56×10-21 0.51 6.88×10-11 5.1 (1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程=+·lg I； (Ii-)2 (Wi-)2 (Ii-)·(Di-) (Wi-)· (Di-) 1.04×10-11 45.7 -11.5 1.56×10-21 0.51 6.88×10-11 5.1 题型2.非线性回归模型 解析（1）由Wi=lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程， 由于===10， ∴=- =45.7-10×(-11.5)=160.7， ∴D关于W的经验回归方程是=10W+160.7， 即D关于I的非线性经验回归方程是=10·lg I+160.7. 【例2】(2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且+=1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据①中的非线性经验回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由. 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=- . 题型2.非线性回归模型 解析（2）点P的声音能量I=I1+I2， ∵+=1010，∴I=I1+I2=10-10·(I1+I2)=10-10· ≥9×10-10(当且仅当=，即I2=2I1时等号成立)， 根据(1)中的非线性经验回归方程，点P的声音强度D的最小预测值为 =10·lg(9×10-10)+160.7=10·lg 9+60.7>60， ∴点P会受到噪声污染的干扰. 29 (1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y. (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)图象作比较，选取拟合效果好的函数模型. (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题. (4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果. (5)写出非线性经验回归方程. 反 思 感 悟 解决非线性回归问题的方法步骤 30 题型3.利用决定系数R2刻画回归效果 【例3】已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏. (若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果很好) x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 解析 题型3.利用决定系数R2刻画回归效果 “R2、残差图”在回归分析中的作用 总结 (1)R2是用来刻画回归模型拟合效果的，由可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好． (2)残差图也是用来刻画回归模型拟合效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高． 题型3.利用决定系数R2刻画回归效果 题型4.非线性回归分析 题型4.非线性回归分析 总结 解决非线性经验回归问题的方法及步骤 题型4.非线性回归分析 题卡点评 11.(13分)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量x/万元 2 4 6 8 10 12 收益y/万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型(ⅰ)y=bx+a，(ⅱ)y=aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值. (1)根据残差图，比较模型(ⅰ)，(ⅱ)的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(4分) (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： ①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；(5分) ②当广告投入量x=18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？(4分) 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 其经验回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ==，=-. xiyi 7 30 1 464.24 364 解　(1)应该选择模型(ⅰ)，因为模型(ⅰ)的带状区域比模型(ⅱ)的带状区域窄，所以模型(ⅰ)的拟合效果好，经验回归方程的预测精度高. (2)①剔除异常数据即3月份的数据后， 得=×(7×6-6)=7.2，=×(30×6-31.8)=29.64. xiyi=1 464.24-6×31.8=1273.44，=364-62=328. ====3，=-=29.64-3×7.2=8.04. 所以y关于x的经验回归方程为=3x+8.04. ②把x=18代入①中所求经验回归方程，得=3×18+8.04=62.04(万元)， 故收益的预测值为62.04万元. 题点　回归模型的拟定 题卡点评 12.(14分)某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成如图所示的散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w=ln x. (1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dln x，哪一个更适合作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归模型(给出判断即可，不必说明理由)；(4分) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；(6分) (3)根据实际种植情况，发现上述经验回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(自然对数的底数e≈2.718 28)，大棚蔬菜亩产量约为多少？(4分) 参考数据： 参考公式：β关于α的经验回归方程=α+中，=，=-. xi yi wi xiyi wiyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 题卡点评 解　(1)根据散点图知，开始的点在某条直线附近，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y=c+dln x更适合作为y关于x的回归模型. (2)因为w=ln x，所以y=c+dln x，即y=c+dw，===5.12，===2.6， ==≈3.26，=5.12-×2.6≈-3.34， 所以=3.26w-3.34，即=3.26ln x-3.34. (3)当x=e2时，=3.26ln e2-3.34=3.18. 所以大棚蔬菜亩产量约为3.18千斤. 题点　对数型回归模型 题卡点评 14.(12分)某视频博主加入了视频推流活动，通过投入资金对视频进行推广.通过一段时间的推广，统计得到如下数据： (1)求y关于x的经验回归方程=x+；(6分) (2)已知该博主商品橱窗中销售商品的利润z(单位：千元)与推流投入资金x(单位：千元)、视频浏览量y(单位：万次)满足关系式z=0.1y(30-x)+10，利用(1)中求得的经验回归方程估计当该博主推流投入资金多少元时，能获得最大净利润，并求出最大净利润(净利润=利润-投入，结果保留整数).(6分) 附：==，=-. 解　(1)由表中所给数据可得=10，=11， 则xiyi=72+90+100+132+168=562，=64+81+100+121+144=510， 可得==1.2，=11-1.2×10=-1， 所以y关于x的经验回归方程为=1.2x-1. (2)当推流投入资金x千元时，净利润估计为 L(x)=0.1y(30-x)+10-x=(0.12x-0.1)+10-x =-0.12x2+2.7x+7， 当x==11.25时，L(x)取得最大值，最大值为22.187 5千元. 即当该博主推流投入资金11 250元时，估计获得最大净利润约为22 188元. 推流投入资金x/千元 8 9 10 11 12 视频浏览量y/万次 9 10 10 12 14 题卡点评 15.(13分)一年一度的“双11”促销活动落下帷幕.经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天(11月11日)某电商平台线上日销售额y(单位： 百亿元)与年份(第x年)的6组数据(年份变量x的取值依次为1，2，…，6)，对数据进行处理，得到如下散点图(图1)及一些统计量的值. 其中ti=ln xi，=ti. 分别用两种模型：①y=bx+a；②y=bln x+a进行拟合，得到相应的经验回归方程， 并进行残差分析，得到如图所示的残差图(图2). (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果， 应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；(2分) (2)根据(1)中所选模型， ①求出y关于x的经验回归方程(系数精确到0.1)；(5分) ②若该电商平台每年“双11”活动当天(11月11日)线上日销售额y与 当日营销成本u及年份x存在线性关系： y=3u+2.6x，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大？(6分) 参考公式： =，=-；参考数据：ln 7≈1.95. xiyi tiyi 48.7 3.5 91 1 204 1.1 9.4 388.1 题卡点评 解　(1)由残差图可知模型①的残差值比较分散且远离横轴，所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，所以应选择模型②. (2)①对于模型②：y=bln x+a，令t=ln x，可得y=bt+a， 则==≈31.2，=-≈48.7-31.2×1.1≈14.4， 可得=31.2t+14.4，所以y关于x的经验回归方程为=31.2ln x+14.4. ②由①知=31.2ln x+14.4=3u+2.6x， 整理可得3u=31.2ln x+14.4-2.6x， 设f(x)=31.2ln x+14.4-2.6x，x≥1且x∈N*，则f'(x)=-2.6=， 令f'(x)>0，解得1≤x<12；令f'(x)<0，解得x>12， 可知f(x)在[1，12)上单调递增，在(12，+∞)上单调递减， 所以当x=12时，3u=f(x)取到最大值，即u取得最大值， 所以第12年活动当日营销成本的预测值最大. 题卡点评 (14＋16＋18＋20＋22)＝18， (12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， ＝142＋162＋182＋202＋222＝1660， ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是 ＝－1.15x＋28.1. 列出残差表： yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以， ， ＝53.2，R2＝1－ EMBED Equation.DSMT4 ≈0.994>0.9， 所以回归模型的拟合效果很好. 【例4】红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数 （个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中 ； ； ； ， 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出 关于 的回归方程．附：对于一组数据 ， ，… ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ， . （1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令 与温度x可以用线性回归方程来拟合，则 ． 于是 ， ， 因此 关于 的线性回归方程为 ，即 ， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为 (1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数等)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果； (5)写出非线性经验回归方程． $