7.5 正态分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦正态分布第一课时，涵盖正态密度函数、参数μ和σ的意义及3σ原则。通过回顾离散型随机变量，结合生产、测量等实例引出连续型随机变量，以食盐包装误差探究衔接新旧知识。 其亮点在于以实例探究（食盐误差频率分布直方图）和视频演示构建直观，培养数学眼光。通过追问抽象函数解析式，结合例1（李明上学时间）辨析参数影响，发展数学思维，3σ原则应用（零件质检）提升数学语言表达能力。学生深化理解，教师可高效教学。

7.5 正态分布 第一课时 人教A版选择性必修第三册第七章第五单元 课时目标 1.通过具体实例，了解服从正态分布的随机变量；借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点． 2.掌握正态分布的均值、方差及其含义，了解3σ原则，会求随机变量在特殊区间内的概率． 3.识别参数对密度曲线的影响，并能解决简单的实际问题． 0.旧知回顾 二项分布、超几何分布描述的是离散型随机变量的概率分布规律， 现实中, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，例如： 在生产中：某电器的使用寿命； 在测量中：同年龄人群的身高、体重等；小明上学途中等公交车的时间； 在生物学中：一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等； 在气象中：某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等. 如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至 整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量. 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 二项分布 超几何分布 ？分布 正态分布 1.正态密度函数与正态分布 【探究1】自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 【问题1】如何描述这100个样本误差数据的分布? 【问题1】 如何描述这100个样本误差数据的分布? ①求极差 ②确定组距和组数（6组） ③分组 ④列出频率分布表 ⑤画频率分布直方图 4.8－(－5.2)=10 [-6,-4) [-4,-2) [-2,0) [0,2) [2,4) [4,6] 3 16 34 31 13 3 1 [-6,-4) 3 0.03 0.03 0.015 2 [-4,-2) 16 0.16 0.19 0.08 3 [-2,0) 34 0.34 0.53 0.17 4 [0,2) 31 0.31 0.84 0.155 5 [2,4） 13 0.13 0.97 0.065 6 [4,6) 3 0.03 1 0.015 分组 区间 频数 频率 累积频率 1.正态密度函数与正态分布 【问题1】如何描述这100个样本误差数据的分布? 观察图形可知： 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1. 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定. 1.正态密度函数与正态分布 6 【追问1】如何构建适当的概率模型刻画误差 X 的分布? 【思考】随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，频率分布直方图的轮廓会发生什么变化？ 接近一条光滑的钟形曲线. n=9 n=50 n=100 1.正态密度函数与正态分布 视频演示： 1.正态密度函数与正态分布 【追问2】根据函数知识，下图曲线它是函数吗？若是，这个函数是否存在解析式呢？ P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 0.10 0.20 4 2 6 根据频率与概率的关系，可用左图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 1.正态密度函数与正态分布 (1)正态密度函数 我们称函数 为正态密度函数，简称正态曲线，如图所示. (2)正态分布 若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为 特别地，当 ， 时，称随机变量服从标准正态分布. 1.正态密度函数与正态分布 【追问3】观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点? （3）正态曲线的特点: ①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的. ②定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线对称. ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤渐近线：当|x|无限增大时，曲线无限接近轴. 1.正态密度函数与正态分布 【追问4】一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 1.正态密度函数与正态分布 （3）正态曲线的特点: (6)为位置参数： 图象关于对称，故有 当一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线随着的变化而沿x轴平移. (7)为形状参数：当μ一定时， 正态曲线的峰值与成反比，所以反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，故有; σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越“分散”; σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越“集中”. 1.正态密度函数与正态分布 【追问5】观察正态曲线及相应的密度函数，阴影面积有何含义？ (4)正态分布的几何意义： 若X~N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积. 1.正态密度函数与正态分布 【例1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4. 假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布. （1）估计的分布中的参数； 解析：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到X~N(30，62)，Y~N(34，22). 1.正态密度函数与正态分布 【例1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4. 假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布. （2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线； 解析：（2）X和Y的分布密度曲线如图所示. 1.正态密度函数与正态分布 (3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由. 解析：（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34).所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车. 1.正态密度函数与正态分布 【练习】(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值 μ＝　　，方差σ2＝　.  解析：(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，解得σ＝， 因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. 1.正态密度函数与正态分布 (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是( ) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 BCD 解析：由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 1.正态密度函数与正态分布 (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 反 思 感 悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ 20 2.正态分布的原则 【告知】假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值，特别地， (1)正态分布的原则 , , 上述结果可用右图表示 由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【例2】 设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； (2)P(3<ξ≤5). 解析：∵ξ~N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2， P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7. （2）∵P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ<－1)， ∴P(3<ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)] ＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. 2.正态分布的原则 【变式】若本例条件不变，求P(ξ>5). 解析：P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)] ＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈×(1－0.954 5)＝0.022 75. 【例2】 设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； (2)P(3<ξ≤5). 2.正态分布的原则 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 利用正态分布求概率的两个方法 反 思 感 悟 24 【练习】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于（ ） A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 C 解析：由已知可得正态曲线关于直线x＝1对称，P(ξ<2)＝0.6， 所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4， 故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2. 2.正态分布的原则 【练习】(2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 B 解析：∵P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6， ∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ<2)＝P(ξ>6)， ∴μ＝＝4. 2.正态分布的原则 解析：（1）根据题意， P≤0.045 5⇒P＝P≥1－0.045 5＝0.9545， 而μ＝0，则P(－2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5， 所以2σ≤⇒σ＝≤⇒n≥128. 【例3】(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ~N，则为使|Xn|>的概率控制在0.0455及以下，至少要测量的次数为( ) (附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.32 B.64 C.128 D.256 C 2.正态分布的原则 【例3】(2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 解析：（2）由于外直径X~N(4，0.52)， 则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3， 在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7， 而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 2.正态分布的原则 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 反 思 感 悟 29 【练习】已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ） (附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.16 B.18 C.20 D.25 B 解析：∵小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)， ∴P≈＝0.022 75， ∴该小区800名居民中， 网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×800＝18.2≈18. 2.正态分布的原则 正态密度函数 正态分布 若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为 特别地，当 ， 时，称随机变量服从标准正态分布. 课堂小结 正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线对称. ②曲线在处达到峰值 . ③当无限增大时，曲线无限接近轴. ④对任意的，，它的图象在轴的上方. ⑤轴和曲线之间的区域的面积为1. 课堂小结 课堂小结 参数 和 对正态曲线的形状的影响 ① 为位置参数 当参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移. ②为形状参数 当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中； 当较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散. 正态曲线的几何意义 -x1 -x2 +x2 +x1  a -a 正态曲线下对称区域的面积相等 对应的概率也相等  课堂小结 课堂小结 正态分布的原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 假定，则： 上述结果可用图表示. $