7.4.1 二项分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4二 项分布与超几何分布 第一课时 7.4.1 二项分布 人教A版选择性必修第三册第七章第四单元 课时目标 1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式. 2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差. 3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 4.掌握二项分布概率最值问题. 1. n重伯努利试验的概念及特征 【探究1】观察以下试验，它们有什么相同的特征？ ①掷硬币试验结果为正面朝上或反面朝上； ②检验一件产品结果为合格或不合格； ③飞碟射击时中靶或脱靶； ④医学检验结果为阳性或阴性. 相同的特征：只包含两个可能结果. (1)伯努利试验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；若将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 1. n重伯努利试验的概念及特征 (2) 重伯努利试验的特征 ①同一个伯努利试验重复做次； ②重复是指每次试验的条件保持不变，各次试验成功的概率相同； ③各次试验的结果相互独立，互不影响. 1. n重伯努利试验的概念及特征 【例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (2)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. (3)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球. (4)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上. 是 不是 是 不是 (1)试验是在相同的条件下重复进行. (2)每次试验相互独立，互不影响. (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生. 反 思 感 悟 n重伯努利试验的判断依据 6 【练习】(多选)下列试验是n重伯努利试验的是 A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.一批产品的次品率为1%，有放回地随机抽取20件 D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 √ √ 解析：A符合互斥事件的概念，是互斥事件； B是相互独立事件； C，D是n重伯努利试验. 1. n重伯努利试验的概念及特征 2.二项分布 【探究2】某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？ 用表示“第次射击中靶”，用如图的树状图表示试验的可能结果.则X的概率分布列为： ， ， ， . 于是，中靶次数的分布列为 . 【追问1】某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击4次，求中靶次数的分布列. 中靶次数的分布列为 . 【追问2】某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，求中靶次数X的概率分布列？ 中靶次数的分布列为 . 【追问3】在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，求事件A发生的次数X的概率分布列？ 中靶次数的分布列为 . 2.二项分布 （1）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用表示事件A发生的次数，则的分布列为 . 如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution)，记作X~B(n，p). （2）二项分布的分布列 2.二项分布 【追问4】对比二项分布与二项式定理，它们之间的联系？ 如果把看成，看成， 则 就是二项式 的展开式的通项. . 2.二项分布 【追问5】如何判断一个随机变量是否服从二项分布？ ①对立性：即一次试验中，事件发生与否两者必有其一. ②重复性：即试验是独立重复地进行了次. 【追问6】二项分布与两点分布有何关系？ 两点分布是特殊的二项分布，即的二项分布. 二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 2.二项分布 [练习]P77-3.判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 【例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在内的概率. 解析：设“正面朝上”，则. 用表示事件发生的次数，则 （1）恰好出现5次正面朝上等价于，于是 . （2）正面朝上出现的频率在内等价于， 于是. . 2.二项分布 其中的伯努利试验是什么？ 重复试验的次数是多少？ 若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？ 2.二项分布 【例2】如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 其中的伯努利试验是__________________________________. 重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立? 定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________. A发生的概率是________. 事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么? 观察小球碰撞到小木钉后下落的方向 10 小球碰撞到小木钉后向右落下 0.5 小球最后落入格子的号码X等于向右下落的次数 二项分布模型 高尔顿板动态演示（视频版）. 拓展 2.二项分布 解析：设 “向右下落”,则 “向左下落”， 且 .因为小球最后落入格子的 号码等于事件发生的次数， 而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以，于是，的分布列为 . 的分布列用表格表示如下表. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的概率分布图如图所示 2.二项分布 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ p2=0.63+×0.63×0.4+×0.63×0.42=0.682 56. 因为，所以5局3胜制对甲有利. 2.二项分布 解析：①3局2胜制中“甲胜”的情况： 2:0——赛2局，甲连胜2局； 2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局； ②5局3胜制中“甲胜”的情况： 3:0——赛3局，甲连胜3局； 3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局； 3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局； p1=0.62+×0.62×0.4=0.648. 此法符合比赛实际规则,比较容易理解. 用二项分布来求解 方法二　 采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数， 则X~B(3，0.6).甲最终获胜的概率为 p1=P(X=2)+P(X=3)=×0.62×0.4+×0.63=0.648. 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数， 则X~B(5，0.6).甲最终获胜的概率为 p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=×0.63×0.42+×0.64×0.4+×0.65=0.682 56. 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 2.二项分布 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 【追问7】为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？ 以3局2胜制为例 第一局 第二局 第三局 最终获胜者 解法2概率 解法1概率 甲赢 甲赢 甲赢 甲 乙赢 甲 乙赢 乙赢 乙 甲赢 甲 乙赢 甲赢 甲赢 甲 乙赢 乙 乙赢 甲赢 乙 乙赢 乙 实际上，当甲或乙先胜2局时，第3局就不用比赛了. 如果设想进行第3局比赛，由于 ，因此假设赛满3局不影响甲最终获胜的概率. 2.二项分布 【追问8】请总结一下确定一个二项分布模型的具体步骤. ①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率. ②确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性. ③设为次独立重复试验中事件A发生的次数，则 2.二项分布 【练习】 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； 解析：（1）由题意得，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则X~B， 即P(X＝0)＝×，P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××，P(X＝3)＝×， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2.二项分布 【练习】 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 解析：（2）由题意知，第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的， 因此所求概率P＝×××. 2.二项分布 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验. (2)分析：判断所求事件是否需要拆分. (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算. 反 思 感 悟 求n重伯努利试验概率的三个步骤 23 3.二项分布的均值和方差 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关系它的均值和方差. 【问题3】假设随机变量，那么的均值和方差各是什么？ 当时，服从两点分布， 当时，服从两点分布，,. 当时，服从两点分布, （1）二项分布的均值和方差 一般地，如果 ，那么 ， 若令= ，则. X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 对均值进行证明. 令，由 ，可得 令，则 3.二项分布的均值和方差 3.二项分布的均值和方差 对方差进行证明. 对方差进行证明. 又 所以 3.二项分布的均值和方差 【思考1】某射手每次射击击中目标的概率是0.8.每次射击的结果相互独立，那么这名射手在10次射击中，最有可能击中几次？ 3.二项分布的均值和方差 【思考2】如果X～B(n，p).其中0<p<1，那么当k由0增大到n时，. 是怎样变化的？k取何值时，P(x=k)的值最大？ 3.二项分布的均值和方差 3.二项分布的均值和方差 【例3】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为. (1)求n和p的值，并写出X的分布列； 解析：（1）由题意知，X~B(n，p)，P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n. 由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 3.二项分布的均值和方差 【例3】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为. (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率. 解析：（2）记A＝“需要补种沙柳”，则P(A)＝P(X≤3)， 得P(A)＝， 所以需要补种沙柳的概率为. 3.二项分布的均值和方差 【练习】 某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次. (1)求他们中成功咨询的人数X的分布列； 解析：依题意知X~B，且P(X＝k)＝××，k＝0，1，2，3. P(X＝0)＝××，P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××，P(X＝3)＝×. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【练习】 某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次. (2)求E(X)与D(X)的值. 解析：由X~B及二项分布的性质得， E(X)＝np＝3×， D(X)＝np(1－p)＝3××. 3.二项分布的均值和方差 反 思 感 悟 (1)解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解. (2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). [练习1]中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率； (2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 课堂练习 [练习3]一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是. ①求这位司机遇到红灯数的期望与方差； ②若遇上红灯，则需要等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差. [练习2]P80-习题1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差． 课堂练习 二项分布的定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)， 用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为: 事件A发生的次数 事件A发生的概率 试验总次数 如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X~B(n，p). 课堂小结 二项分布的数字特征 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征.因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差的公式为： 一般地，如果，那么，. 确定二项分布模型的步骤： 1 确定概率：明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率； 2 确定模型：明确重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； 3 写分布：设为重伯努利试验中事件发生的次数，则； 课堂小结 设他在10次射击中，击中目标的次数为X，因此随机变量X～B(10，0.8). 于是恰好k次击中目标的概率为 (k=0，1，2，...，10). 从而 (k=0，1，2，...，10). 于是，当k<8.8时，P(X=k-1)<P(X=k)； 当k>8.8时，P(X=k-1)>P(X=k). 由上分析可知，他在10次射击中，最有可能8次击中目标. $