7.3 离散型随机变量的数字特征（共2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征 第一课时 7.3.1离散型随机变量的均值 人教A版选择性必修第三册第七章第三单元 课时目标 1.通过实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2. 会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 3. 会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 旧知回顾 (1)离散型随机变量的分布列： 一般地，设离散型随机变量的可能取的不同值为，，…，，称取每一个 的概率， =1，2，…，，为的概率分布列，简称分布列. … … (2)两点分布或0－1分布： 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示成功，表示失败， 定义 X＝ . 如果 P(A)＝p，则 P()＝1－p，那么 X 的分布列如下表所示.以上称服从两点分布或分布. 1－ 0.课题引入 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律；但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 0.课题引入 ，平均分用于体现数据的总体水平. 【思考】“离散型随机变量的均值”如何求？ 【问题1】一组数据x1，x2，…，xn的均值是什么？有何意义? 1.离散型随机变量的均值 【探究1】 某商场要将单价分别为18元/千克，24元/千克，36元/千克的3种糖果按 的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理? F1：按照糖果的最高 价格定价 F2：按照这三种糖果的平均价格定价 F3：按照这三种糖果的加权平均价格定价 定价为：36元/千克 （1）加权平均数 加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数． 【探究2】甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 可假设射箭次，已知频率，计算出射中7环、8环、9环和10环的各频数. 甲次射箭射中的平均环数 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 同理，乙射中环数的平均值为. 从加权平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 1.离散型随机变量的均值 【问题2】不知道具体环数，如何由分布列计算射中的平均环数呢? ①平均环数；②稳定性（即方差）. （2）离散型随机变量的期望 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望. 【追问1】你能将上面问题中样本均值的稳定值用一般化的数学语言表示吗？ 1.离散型随机变量的均值 【追问2】掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图（1）和（2）所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ （1） （2） 观察图形可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 1.离散型随机变量的均值 【追问2】离散型随机变量的均值与样本平均值有何区别与联系? （3）随机变量的均值与样本均值的关系 区别 联系 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，它总是稳定的，不具有随机性. 样本均值是随机的，它随着样本抽取的不同而不同. 在大量的试验下，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小. 因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 1.离散型随机变量的均值 实际上，频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形. 事件的频率 事件的概率 样本的均值 随机变量的均值 稳定到 稳定到 类比 类比 1.离散型随机变量的均值 【例1】在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 解析： 的可能取值为. 则，， 所以. 即该运动员罚球1次的得分的均值是0.8. 1.离散型随机变量的均值 步骤： ①确定X取值 ②求P(X＝k)概率 ③写分布列 ④求均值E(X) 【追问3】你能求出两点分布的期望吗？ （3）两点分布的数学期望： 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 数学期望： 0 1 1.离散型随机变量的均值 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 解析：的可能取值为. 则， 因此:. 1.离散型随机变量的均值 步骤： ①确定X取值 ②求P(X＝k)概率 ③写分布列 ④求均值E(X) 【练习】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率. 1.离散型随机变量的均值 解析：ξ的所有可能取值为1，2，3，4. 则P(ξ＝1)＝0.6，P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 则ξ的分布列为 所以E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6. ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 步骤： ①确定X取值 ②求P(X＝k)概率 ③写分布列 ④求均值E(X) (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 反 思 感 悟 求随机变量X的均值的方法和步骤 步骤： ①确定X取值 ②求P(X＝k)概率 ③写分布列 ④求均值E(X) 16 2.数学期望的性质 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 解：因为Y=3X+2，所以Y的取值为：5，8，11，14，17，分布列如下： 则. Y 5 8 11 14 17 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 【探究3】已知随机变量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及数学期望？ 【问题2】Y=3X+2，那E(X)与E(3X＋2)有何关系呢？ E(3X＋2)=3E(X)+2. 2.数学期望的性质 【追问】如果是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即和其中为常数)分别与有怎样的关系？ (1)数学期望的性质: 若 是两个随机变量, 且, 则： ①E(aX+b)=aE(X)+b； ②E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)； 即随机变量的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. ③特别地，当X与Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y). 【例3】（1）已知随机变量X的分布列为 若Y＝－2X，则E(Y)＝　 .  X －2 －1 0 1 2 P m 解析：(1)由分布列的性质，得＋m＋＝1，解得m＝， 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2×. 2.数学期望的性质 【例3】 （2）已知随机变量X的分布列为 若Y＝2X－3，求E(Y). X －2 －1 0 1 2 P m 解析:（2）由本例知E(X)＝－， 则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 2.数学期望的性质 解析：（3）由本例知E(X)＝－， 则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－， 所以a＝15. 2.数学期望的性质 【例3】 （3）已知随机变量X的分布列为 若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值. X －2 －1 0 1 2 P m (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可. 反 思 感 悟 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 22 【例4】猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 歌曲 猜对的概率 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 3.数学期望的应用 解析：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立. ，， ， . 的分布列如表所示. 的均值为 0 1000 3000 6000 【问题3】如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 不同. 若按A，C，B的顺序，则的均值； 若按B，A，C的顺序，则的均值； 若按B，C，A的顺序，则的均值； 若按C，A，B的顺序，则的均值； 若按C，B，A的顺序，则的均值. 显然，按A，B，C的顺序获得的公益基金均值最大. 3.数学期望的应用 【例5】根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢？ 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 3.数学期望的应用 解析：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为. 采用方案1：无论有无洪水，都损失3800元. 因此，. 采用方案2：遇到大洪水时，总损失为元； 没有大洪水时，损失为2000元. 因此，，. 采用方案3： ，， . 于是 ， ， . 值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的. 一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小. 不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的. 3.数学期望的应用 3.数学期望的应用 【练习】某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： (1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)； 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 解析：(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3. 则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝， 则ξ的分布列为 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×. ξ 0 1 2 3 P 3.数学期望的应用 3.数学期望的应用 【练习】某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： (2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？ 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 等级 珍品 特级 优级 一级 售价(元/kg) 25 20 15 10 解析：（2）方案一的单价为20元/kg， 设方案二的单价为η，则η的均值为 E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×＝17.5， 因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二. 3.数学期望的应用 反 思 感 悟 解答实际问题时， (1)把实际问题概率模型化； (2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列； (3)利用公式求出相应均值. （1）离散型随机变量的均值: 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望. 0 1 数学期望 权数 加权平均数 课堂小结 （2）两点分布的数学期望： 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 课堂小结 (3)数学期望的性质: 若 是两个随机变量, 且, 则： ①E(aX+b)=aE(X)+b； ②E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)； 即随机变量的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. ③特别地，当X与Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y). 人教A版选择性必修第三册第七章第三单元 7.3离散型随机变量的数字特征 第二课时 7.3.2 离散型随机变量的方差 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差.(重点) 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.(重点) 4.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.(难点) 课时目标 1. 离散型随机变量的数学期望（均值） 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 则称 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.离散型随机变量的均值的性质： 若X, Y 是两个随机变量, 且Y=aX+b, 则有E(Y )=aE(X )+b. 3.两点分布的期望 则 0 1 回顾旧知 【引导语】 均值是离散型随机变量的一个数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值. 本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究. 0.创设背景 引入新知 0.创设背景 引入新知 【探究1】从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 【问题1】可以通过均值判断两名同学的射击水平吗？ 由于E(X)= 8 ，E(Y)=8；所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 【探究1】从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 【追问1】还可以从哪个角度来评价射击水平呢？ 0.创设背景 引入新知 X 和Y 的概率分布图如下图，分析甲乙环数的离散程度： 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度. 能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度. （1）随机变量X的方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. 则称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 1.离散型随机变量的方差 【探究1】从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 【追问2】对探究1，如何定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 1.离散型随机变量的方差 ， ， 因为 （等价地，）， 所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 【追问3】一般地，两点分布的方差是什么？ (2)两点分布或0－1分布的方差： 若X服从两点分布， 则D(X)＝p(1－p) .(其中p为成功概率). 1－ 1.离散型随机变量的方差 1.离散型随机变量的方差 【追问4】离散型随机变量的方差的本质及意义是什么？ 【本质】由方差的定义可以看出，本质上方差是随机变量的函数的均值（期望），即 =E(X2)[E(X)]2. 【意义】随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 【追问5】随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系呢？ 1.离散型随机变量的方差 区别 联系 随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随样本容量的变化而变化，是客观存在的. 样本的方差则是随机变量，它是随着样本容量的不同而变化的. 对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近总体的方差，即越来越接近随机变量的方差. 【例1】抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差. 解析：随机变量的分布列为，， 因为，， 所以. 1.离散型随机变量的方差 【练习】有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝　　.  　 解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12，且P(X＝6)＝， P(X＝9)＝，P(X＝12)＝. 因此E(X)＝6×＋9×＋12×， D(X)＝×××. 1.离散型随机变量的方差 (1)理解随机变量X的意义，写出X的取值. (2)求出X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)计算E(X). (5)计算D(X). 反 思 感 悟 求离散型随机变量方差的步骤 47 =E(X2)[E(X)]2. 2.离散型随机变量方差的性质 【问题2】可以看到方差的公式与均值密切联系，从运算角度探讨一下，能用E(X)表示D(X) 吗？ （1）随机变量X的方差的性质 ①D(X)=E(X2)[E(X)]2. 2.离散型随机变量方差的性质 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 【追问1】离散型随机变量Y=aX+b，D(aX＋b)(其中a，b为常数)与D(X)有何联系？ D(aX+b)=(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋…＋(axi+b－E(aX+b))2·pi ＋…＋ (axn+b－E(aX+b))2pn =(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi ＋…＋ (axn－aE(X))2pn =a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi ＋…＋ (xn－E(X))2pn] =a2D(X). （1）随机变量X的方差的性质 ①D(X)=E(X2)[E(X)]2. ②D(aX＋b)=a2D(X). 【例2】已知X的分布列如表所示： (1)求X2的分布列； X －1 0 1 P a 解析：(1)由分布列的性质知＋a＝1，解得a＝， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P 2.离散型随机变量方差的性质 【例2】已知X的分布列如表所示： (2)计算X的方差； X －1 0 1 P a 解析：(2)方法一　由(1)知a＝，所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， D(X)＝×××. 方法二　由(1)知a＝，所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. E(X2)＝0×＋1×， 所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. 2.离散型随机变量方差的性质 【例2】已知X的分布列如表所示： (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. X －1 0 1 P a 解析：(3)因为Y＝4X＋3， 所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2， D(Y)＝42D(X)＝11. 2.离散型随机变量方差的性质 2.离散型随机变量方差的性质 【练习】已知η的分布列为 (1)求η的方差； η 0 10 20 50 60 P 解析：（1）∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2× ＋(60－16)2×＝384. 2.离散型随机变量方差的性质 【练习】已知η的分布列为 (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y). η 0 10 20 50 60 P 解析：（2）∵Y＝2η－E(η)，即Y＝2η－16， ∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1 536. (1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X). (2)优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程. 反 思 感 悟 方差性质应用的关注点 55 【例3】投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高? 分析 股票投资收益是随机变量, 期望收益就是随机变量的均值. 投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下, 可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低, 方差越大风险越高, 方差越小风险越低. 3.离散型随机变量方差的应用 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 【解析】(1)股票和股票投资收益的期望分别为 因为，所以投资股票的期望收益较大. (2)股票和股票投资收益的方差分别为 因为和相差不大，且， 所以投资股票比投资股票的风险高. 3.离散型随机变量方差的应用 【练习】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 3.离散型随机变量方差的应用 解析：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165. 由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好. 3.离散型随机变量方差的应用 反 思 感 悟 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 均值、方差在决策中的作用 课堂小结 一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， 则称 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 离散型随机变量方差的定义 离散型随机变量的方差与样本方差的关系： 区别 联系 随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随样本容量的变化而变化，是客观存在的. 样本的方差则是随机变量，它是随着样本容量的不同而变化的. 对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近总体的方差，即越来越接近随机变量的方差. 课堂小结 离散型随机变量方差的性质： 特例 方差 意义 常数的方差等于0. 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同. 常数与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的倍. 课堂小结 对于离散型随机变量的均值与方差的总结： 随机变量的均值与方差都是随机变量重要的数字特征，它们反映了随机变量的两个不同方面. 均值反映了随机变量取值的平均水平； 方差反映了随机变量取值的离散程度. 随机变量的均值和方差相互结合可以对不同的随机变量进行评价，应用时一般先比较均值再比较方差. 方差和标准差都能说明变量取值的离散程度，而标准差与变量取值的单位一致，更能反映数据的本质特征. 1 2 3 课堂小结 $