7.3离散型随机变量的数字特征课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 §7.1 条件概率与全概率公式 §7.2 离散型随机变量及其分布列 §7.3 离散型随机变量的数字特征 §7.4 二项分布与超几何分布 §7.5 正态分布 索引 选择性必修 第三册 1 复习回顾：均值和方差 有一组样本数据x1，x2，…，xn。 （1）均值：是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。 （2）方差：应用于生活中各种事情，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示。 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 【分析】类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性。 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 。甲n次射箭射中的平均环数为 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 当n足够大时，频率稳定于概率，所以平均值稳定于 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平。 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望。 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 数学期望的一些性质： （1）若C是任意常数，则 E ( C ) = C （2）若a，b是任意常数，X为某一离散型随机变量，则 E ( X + b ) = E ( X ) + b E ( aX ) = aE ( X ) 你能给予证明吗？ 推广：E ( aX + b ) = aE ( X ) + b 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 证明：E ( X + b ) = E ( X ) + b 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 【例1】在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 【分析】罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1，不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布。X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平。 解：由题易知，X的分布列为 P( X=0 )=0.2，P( X=1 )=0.8 X 0 1 P 0.2 0.8 一般地，对于随机变量X服从两点分布，则其期望为 X 0 1 P 1-p p 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值。 解：X的分布列为： 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 【例3】已知随机变量X的分布列为 （1）求 E ( X )； （2）求 E ( 3X + 2 ) 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”。因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小。所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征。 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下左表和下右表所示。 如何评价这两名同学的射击水平？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得，E ( X ) = 8，E ( Y ) = 8。因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度。 左图和右图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定。 在初中我们接触过，要评定一组数据的稳定情况，我们可以计算其方差值，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的。一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 则称 为随机变量X的方差，有时也记为 Var( X )，并称 为随机变量X的标准差，记为σ( X )。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下左表和下右表所示。 如何评价这两名同学的射击水平？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化。 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质。 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 方差的一些性质： （1）若C是任意常数，则 D ( C ) = 0 （2）若a，b是任意常数，X为某一离散型随机变量，则 D ( X + b ) = D ( X ) D ( aX ) = a2D ( X ) 你能给予证明吗？ 推广：D ( aX + b ) = a2D ( X ) 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 【例5】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的方差。 解：X的分布列为： 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 【例3】已知随机变量X的分布列为 求 D ( X ) 和 σ( 2X + 7 ) 索引 §7.3 离散型随机变量的数字特征 $$