7.1.2 全概率公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1 条件概率与全概率公式 第二课时 7.1.2 全概率公式 人教A版选择性必修第三册第七章第一单元 课时目标 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 知识回顾 （1）条件概率的两种计算公式： ①利用事件包含的样本点数计算. ②利用事件，发生的概率计算. （2）条件概率与事件独立性的关系： 事件A与事件B相互独立 （3）概率的乘法公式： ①对任意两个事件与，若，则. ②推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A) 一般地，. （4）条件概率的性质：设＞0， ①=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则+； ③设和互为对立事件，则. 0.课题引入 【引导语】在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 我们还想知道，在这样的计算概率的过程中，还有什么规律和方法我们尚未发现，我们能总结出多少计算概率的好方法呢？ 下面， 再看一个求复杂事件概率的问题. 1.全概率公式 【问题1】从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 解析：记Ri=“第i次摸到红球”，Bi=“第i次摸到蓝球”，(i=1, 2). 如图示，那么事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得 【问题2】如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱有1个红球和4个白球， 2号箱有2个红球和3个白球， 3号箱有3个红球，这些球除了颜色外完全相同.现先从三箱中任选一箱，再从中任意取出一球. (1)求取得红球的概率？ (2)发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大? B 解析：(1)如图所示，用=“球取自第号箱”( =1,2,3)， =“取得红球”，其中，， 互斥，发生总是伴随着之一同时发生，即= ∪， 且两两互斥. 由加法公式可得：= )+. 再对求和中的每一项用乘法公式可得： = ) 即：= + = . 1.全概率公式 解析：(2)由(1)可知，= ，再由条件概率可得: = = ，同理可得， . 因此，该球取自3号箱的概率最大. 1.全概率公式 【问题2】如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱有1个红球和4个白球， 2号箱有2个红球和3个白球， 3号箱有3个红球，这些球除了颜色外完全相同.现先从三箱中任选一箱，再从中任意取出一球. (1)求取得红球的概率？ (2)发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大? B 1.全概率公式 【问题1】上面两个问题有什么共同点,蕴含着怎样的思想？将以上的问题一般化，能得到什么结果？ 上面两个问题中，按照某种标准，将一个复杂事件表示为多个互斥事件的并（事件发生= ∪），再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率， （1）全概率公式的定义 一般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,…,n， 则对任意的事件B⊆Ω，有 . 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 1.全概率公式 对公式的理解： 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和. 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式： P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An). 【例4】某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 1.全概率公式 解析：设“第天去餐厅用餐”， “第天去餐厅用餐” ， 则 ， 且与互斥，根据题意得 由全概率公式，得 ) . 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 步骤:①给事件命名；②计算事件概率；③代入公式计算. 【问题2】全概率公式的使用条件是什么？全概率公式的应用步骤是什么？ （2）全概率公式的使用条件： ①两两互斥; ② ; ③，. 运用全概率公式的关键式寻找完备事件组. 满足这两个条件的称为的一个完备事件组（或划分）. （3）全概率公式的应用步骤： 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)拆分：找出条件事件里某一个完备事件组，将样本空间拆分成互斥的事件，分别命名为；命名目标的概率事件为事件； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：代入全概率公式求解， 概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋……＋P(An)P(B|An). 2.多个事件的全概率公式 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). 反 思 感 悟 两个事件的全概率问题求解策略 12 1.全概率公式 【练习】某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05， 求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解析：(1)记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”， 则Ω＝A∪B，且A，B互斥，由题意，得 P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝××. (2)P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝××. 步骤:①给事件命名；②计算事件概率；③代入公式计算. 2.多个事件的全概率公式 【例5】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第 台车床加工的概率. 解：设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”. 则 ，且，，两两互斥，根据题意得 .. （1）由全概率公式， 得 . 步骤:①给事件命名；②计算事件概率；③代入公式计算. 解析：（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率. , 类似地，可得 ， . 【例5】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第 台车床加工的概率. 2.多个事件的全概率公式 步骤:①给事件命名；②计算事件概率；③代入公式计算. 【问题3】[例5]中，的实际意义是什么？ 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 ，， 就分别是第台车床操作员应承担的份额. 2.多个事件的全概率公式 )是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率. 已知原因求结果 当已知抽到的零件是次品（发生）是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 已知结果求原因 (1)如图，P(B)＝P(Ai)·P(B|Ai) (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. “化整为零”求多事件的全概率问题 反 思 感 悟 2.多个事件的全概率公式 【练习1】甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率. 解析：设B＝“飞盘被击落”，Ai＝“飞盘被i人击中”，i＝1，2，3， 则B＝A1B∪A2B∪A3B，依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1. 设Hi＝“飞盘被第i人击中”，i＝1，2，3， 则P(A1)＝P(H1∪H2∪H3)，P(A2)＝P(H1H2∪H1H3∪H2H3)， P(A3)＝P(H1H2H3)，又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7， 所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 即飞盘被击落的概率为0.458. 步骤:①给事件命名；②计算事件概率；③代入公式计算. 2.多个事件的全概率公式 【练习2】假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 【解析】用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 步骤:①给事件命名；②计算事件概率；③代入公式计算. 1.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，迟到的概率分别为0.25、0.3、0.1、0，求该朋友迟到的概率？ 解：设A1＝乘火车来，A2＝乘船来，A3＝乘汽车来， A4＝乘飞机来，B＝“他迟到”. 则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，A1，A2，A3，A4两两互斥， , 由全概率公式得 P(B)＝ ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145. 课堂练习 步骤1:给事件命名 步骤2:计算事件概率 步骤3:代入公式计算 2.现有12道题四选一的单选题，学生小张对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好猜一个答案，猜对的概率为0.25.小张从12道题中随机选择1道，求他做对该题的概率? 解：=“选到有思路的题”，=“选到没有思路的题”， =“选到的题做对”，则= . 由题可知：= = = . = . 由全概率公式可得： + = = . 步骤1:给事件命名 步骤2:计算事件概率 步骤3:代入公式计算 课堂练习 3.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率是多少？ 解：设“从仓库中随机提出的一台是合格品”， “提出的一台是第车间生产的”().则有， 由题意知，，，， 由全概率公式得 课堂练习 贝叶斯公式(选学内容*)： 设是一组两两互斥的事件，且，，则对任意的事件，， 有, . 2. *贝叶斯公式 将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式. 对分母用全概率公式 对分子用乘法公式 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 23 【例6】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率？ 解：设“发送的信号为0”, “接收的信号为0”, “发送的信号为1”, “接收的信号为1”.由题意得， (1) ， 2.贝叶斯公式 解：设“发送的信号为0”, “接收的信号为0”, “发送的信号为1”， “接收的信号为1”.由题意得， 【例6】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (2)已知接受的信号为0，求发送的信号是1的概率？ 2.贝叶斯公式 【例7】P91-10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率. 2.贝叶斯公式 【详解】记=“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为 ，则有， 所以 ， 即，所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 即n次传球后球在甲手中的概率是． 【变式1】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在乙手中的概率. 2.贝叶斯公式 【变式2】甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率. 2.贝叶斯公式 (1)公式P(A1|B)＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重. 反 思 感 悟 贝叶斯公式的内涵 1.样本空间划分 设Ω是试验的样本空间, , ,…, 为样本空间的一组基事件，若 (1) ∅，其中 (2) ∪… ∪ = Ω, 则称 , ,…, 为样本空间的一个划分. 2.全概率公式 设，，，是一组两两互斥的事件，， 且，，，，， 则对任意的事件，有. 多因一果 课堂小结 课堂小结 3.贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件， ， 且，，，，， 则对任意的事件，， ，. ····· ····· 由果求因 乘法公式 全概率公式 课堂小结 32 由因求果 执果寻因 1.设事件 2.写概率 3.代公式 全概率公式　 P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) =P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 条件概率P(B|A)＝ → *贝叶斯公式 课堂小结 乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A) 32 【练习1】人工智能领域让贝叶斯公式：P(A|B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”伪造的可能性为（ ） A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4% 2.贝叶斯公式 √ 解析：记“视频是AI伪造的”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B|A)＝0.98，P(B|)＝0.04， 由贝叶斯公式得 P(A|B)＝≈0.024＝2.4%. 2.贝叶斯公式 【练习2】设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%.现从这批工件中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.(精确到0.01) 解析：(1)设事件B1，B2，B3分别表示“取到的工件是甲、乙、丙车间生产的”，A表示“取到的是次品”.易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式， 可得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 故取到次品的概率为0.034 5. （2）P(B1|A)＝≈0.36. 故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36. 1.P52-2.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%，将两批产品混合，从中任取一件. (1)求这件产品是合格品的概率； (2)*已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 课堂练习 【详解】 （1）求这件产品是合格品的概率为 （2）设{取到的是合格品}，{产品来自第批}， 则， 则， 根据公式得： . 2.P53-5.在A,B,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%, 4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5: 7: 8，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)*如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 课堂练习 【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，则，且、、彼此互斥，由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得； （2）由条件概率公式可得. 3.P52-3.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率. 课堂练习 4.P53-7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品： 如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品； 如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品. 求这批产品被拒绝的概率. 课堂练习 【详解】抽检第1件产品不合格的概率为， 抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为. 5.P91-7.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. 课堂练习 6.(2023山西二模)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，设第n次传球后球在甲手中的方法数为an，在乙手中的方法数为bn，则( ) A. B. C.存在唯一实数t，使{}为等比数列 D.当n为偶数时， ABD 课堂练习 课堂练习 【解析】每次传球可将球传给另外两人中的任何一人，故n次传球共 种方法数，若第n次传球后球在甲手中，则第次传球后球必不在甲手中， 从而 ， ，故A正确； 由 ①得 ②,两式相减得 ， 当 为奇数时， ， ， ， ， ，累加得 ，由于 ，则 ； 当 为偶数时， ， ， ， ， ，累加得 ，由于 ，即 ，则 ，故 ，故B正确； 又 ， ，故 为等比数列； 又 ，故 为等比数列，故C错误； 当n为偶数时 ， ，则 ， ，故D正确. 故选ABD. $