7.1.1 条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦条件概率的定义、计算方法、乘法公式及性质，通过复习古典概型、事件关系等旧知，提出“事件不独立时积事件概率如何计算”的问题，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 其亮点在于结合摸球、抽奖等实例抽象概念，培养数学眼光，通过对比P(B|A)与P(AB)发展数学思维，用符号和规范步骤训练数学语言。实例丰富，学生能深化理解，教师可直接使用案例提升教学效率。

概率重点问题回顾 人教A版选择性必修第三册第七章第一单元 （1）古典概型 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. （2）古典概型计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，用n(Ω)表示，事件A包含其中的k个样本点，用n(A)表示，则定义事件A的概率. 0.复习旧知 【回顾1】什么是古典概型？我们是怎么计算古典概型的概率？ 【典例1】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (1)A = “第一次摸到红球”； (2)B= “第二次摸到红球”； (3)AB = “两次都摸到红球”； C=“摸到两个颜色相同的球”； D= “至少摸到一个红球”. 设红球为1，2号，黄球3，4，5号，一共有5×4=20可能. 0.复习旧知 事件及其关系 含义 符号表示 必然事件 每次试验中一定会发生的事件 Ω 不可能事件 每次试验中都不会发生的事件 随机事件 可能发生，也可能不发生的事件 A 包含关系 事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 并(和)事件 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B(或A＋B) 交(积)事件 事件A与事件B同时发生 A∩B(或AB) 互斥事件 事件A与事件B不会同时发生 A∩B=ϕ 互相对立 事件A与事件B在有且仅有一个发生 A∪B=Ω，A∩B=ϕ 相互独立 事件A发生与否不影响事件B发生的概率 P(AB)=P(A)P(B) （3）事件的关系及概率计算公式 0.复习旧知 【回顾2】事件及其关系（运算）有哪些？ 【典例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球． 设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”， G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”． 则事件R与R1的关系是__________； 事件R与G的关系是__________； 事件M与N的关系是__________. R∪G=_______；R1∩R2=_______. R⊆R1 互斥 互为对立 M R 【问题】两个事件互斥事件和对立有什么区别和联系？ 注：对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件. ①互斥事件（两个或两个以上事件）：事件不可能同时发生. ②对立事件（两个事件）：两个事件不同时发生，必须要有一个发生. 0.复习旧知 概率的性质 内容 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件Ω的概率为P(Ω)=1，不可能事件ϕ的概率为P(ϕ)=0. 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1. 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 0.复习旧知 （4）概率的性质 【回顾3】概率的性质有哪些？ 【典例3】一个袋子中有大小和质地相同的2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从中不放回地依次随机摸出2个． 设事件A=“第一次摸到红球”，B=“第二次摸到红球”, 则A∪B=“两个球中有红球”， 那么n(A∪B)和n(A)+ n(B)相等吗？如何计算P(A∪B)？ 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 10 6 6 n(A∪B)=n(A)+n(B)－n(A∩B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) = + － = = 0.复习旧知 2 7 （5）事件的独立性 对于任意事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，那么称事件A与事件B相互独立，简称独立 . 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 0.复习旧知 【结论】 ①必然事件Ω、不可能事件ϕ与任意事件A相互独立. ②若事件A，B相互独立，则A与 、 与B、 与也相互独立. 【回顾4】什么是相互独立事件？怎么理解相互独立事件？ 【典例4】 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 解析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”， =“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，则A与B相互独立，且与，A与， 与B都相互独立. 由已知得P(A)=0.8， P(B) =0.9， P() =0.2，P() =0.1. (1)“两人都中靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72； (2)“恰有1人中靶”= A∪B，且A与B互斥， 所以P(A∪B) =P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B) =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26； (3) “两人都脱靶”= ，∴P() =P()P() =0.2×0.1=0.02. 0.复习旧知 9 解析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”， =“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，则A与B相互独立，且与，A与， 与B都相互独立. 由已知得P(A)=0.8， P(B) =0.9， P() =0.2，P() =0.1. 0.复习旧知 【典例4】 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 10 7.1 条件概率与全概率公式 第一课时 7.1.1 条件概率 人教A版选择性必修第三册第七章第一单元 课时目标 1.结合古典概型，了解条件概率的概念和性质. 2.能计算简单随机事件的条件概率.（重点） 3.能利用条件概率公式，性质解决一些简单的实际问题.（难点） 0.课题引入 【引导语】通过复习，我们知道， （1）当事件A和事件B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)； （2）当事件A和事件B不互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)， 此时需要需求的计算方法，若事件和相互独立时， 有 如果事件和不相互独立，如何表示积事件呢？是否也有一个一般的公式呢？ 下面我们先来看一个相关的问题. 13 1.条件概率 解析：记A=“选到团员”，B=“选到男生”,则 （1）由古典概型可知， （2）“在事件A发生的条件下，事件B发生”，记为P(B|A)，相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16. 由古典概型知，. 【问题1】某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示. 在班级里随机选择一人做代表. (1) 选到男生的概率是多少? (2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 性别 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 . 【问题2】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 解析：记A=“选择的家庭中有女孩”，B=“选择的家庭中两个小孩都是女孩”， 用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bb，bg，gb，gg}. A ={bg，gb，gg}，B={gg}， (1)则. (2)已知有女孩(A发生)，两个小孩都是女孩(B发生)的概率， 即 1.条件概率 . 15 在上面两个引例中，都是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率用（ ）表示），且都有 . 这个结论对于一般的古典概型仍然成立. 如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值， 即. 不妨记原来的样本空间为Ω，将这个式子推广到一般情形， 则有: 【问题3】上述两个引例有何共同点？在一般的古典概型中有类似的结论吗？ 1.条件概率 （1）条件概率定义 一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 记法： 读法：“在事件发生的条件下，事件发生的概率”. (3) 条件概率的的判断： (1)当题目中出现“在……条件下”等字眼，一般为条件概率; (2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率. 1.条件概率 (2) 条件概率的计算方法： ①定义法： . ②缩小样本空间法： . 【追问1】与有什么区别与联系？ 联系：事件A，B都发生了, 区别：样本空间不同，在中，事件A成为样本空间； 在中，样本空间仍为Ω. 【追问2】与表示的意思相同吗？ (1)意思不同： 表示在事件𝐴发生的条件下，事件𝐵发生的概率； 表示在事件发生的条件下，事件𝐴发生的概率. (2)计算公式不同： ，. 1.条件概率 【追问3】当事件与相互独立时，有，如果事件与不相互独立，如何表示积事件的概率呢？ (4)概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则. 1.条件概率 【追问4】在上述引例中， 一般地，与不一定相等，如果=那么事件与应满足什么条件？ (5)条件概率与事件独立性的关系 事件A与事件B相互独立 【练习】填空： (1)已知，则 (2)若事件互斥，则______. (3)将一枚硬币任意抛掷两次， 事件{第一次出现正面}，事件{第二次出现反面}，则________. P48-1(4)设，且，， 则________；________. 0 1 1.条件概率 【例1】在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解析：设A=“第1次抽到代数题”， B=“第2次抽到几何题”， 则“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”为事件AB. . （2）方法一：P(A)=，则 . 方法二：. 又，利用乘法公式可得 . 1.条件概率 ①给事件命名 ②计算事件样本点数 ③代入公式计算 从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为 ，. (1)判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的. (2)计算条件概率的方法 ①定义法：分别计算概率P(AB)和P(A)，将它们相除得到条件概率P(B|A)＝. ②缩小样本空间法： 缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. 数：数出A中事件AB所包含的样本点个数. 算：利用古典概型求P(B|A)＝，n(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数. 反 思 感 悟 22 【练习】集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 解析：方法一　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)， (1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)， (5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个. 在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个， ∴所求概率P＝. 方法二　设A＝“甲抽到奇数”，B＝“乙抽到的数比甲抽到的数大”， 则n(Ω)＝＝6×5＝30，n(A)＝3×5＝15，n(AB)＝9. ∴P(A)＝，P(AB)＝， ∴P(B|A)＝. 1.条件概率 【变式】若甲先取(放回)，乙后取，设事件M为“甲抽到的数大于4”，事件N为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(N|M). 解析：试验的样本空间记为Ω，由题意可知， n(Ω)＝6×6＝36，n(M)＝2×6＝12，n(MN)＝2， 所以P(M)＝，P(MN)＝， 所以P(N|M)＝. 1.条件概率 【例2】已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等. 因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”， “丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率. 2.概率的乘法公式 解：用分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则. 因为 ，所以中奖的概率与抽奖的次序无关. 【问题4】如果是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？ 解：若放回随机抽样，甲、乙、丙中奖相互独立， . 所以在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关. 2.概率的乘法公式 2.概率的乘法公式 【思考】P53.10. 证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？ 【详解】因为， 所以； 所以. (1)应用乘法公式求概率是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用概率的乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解. (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A) 反 思 感 悟 2.概率的乘法公式 【练习】 一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解析：设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”， 则＝“第一次取得黑球”， （1）由题意，得P(A)＝. （2）P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×. （3）P(B)＝P()P(B|)＝×. (3)条件概率推广 ＞0，则有 . 题目出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，为条件概率问题. (1)如何判断条件概率？ ①定义法： ②缩小样本空间法： (适用于易求样本空间和样本点） （适用于易求对应事件的概率） ①直接法： ②概率乘法公式： 课堂小结 (2)计算条件概率的方法 (3)计算积事件概率的方法 作业布置 1.题卡：作业1——条件概率. 2.教材：P52：1，2，3，4. 课堂练习 1.书P48-1. 设A⊆B，且P(A)=0.3, P(B)=0.6,根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出P(B|A)， P(A|B)的值，再由条件概率公式进行验证. A B 【详解】因为，且，， 则发生一定发生，所以，， 又因为，由条件概率公式得： ， . 课堂练习 2.书P48-2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率. 【详解】设=“第一次抽到” ，=“第2次抽到” ， 则“第一次和第二次都抽到事件”为， 在第一次抽到的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张， ，， 第1次抽到，第2次也抽到的概率为： ． 课堂练习 3.书P48-3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求: (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2) 两次都摸到白球的概率. 【详解】(1)设A=“第1次摸到白球”，B=“第2次摸到白球”，由题意即， 因为 ， ， 所以, 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . (2)因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 4.一袋中共有大小相同的5个黑球和5个白球． (1)若从袋中任意摸出2个球，求至少有1个白球的概率； (2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率. 解：（1）记A =“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”， 则P(A)＝1－＝. （2）令B =“第1次取得白球”，C =“第2次取得黑球”， 则P(BC)＝＝，P(B)＝＝ . 故P(C|B)＝＝. 课堂练习 5.已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率． 解：设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1，2， 则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3， 因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15. 即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15. 课堂练习 7.1 条件概率与全概率公式 第二课时 7.1.2 条件概率的性质 人教A版选择性必修第三册第七章第一单元 【问题5】回顾一下概率的性质有哪些？你认为条件概率具有什么性质？ 概率的性质： （1）对任意的事件， . （2）. （3）如果事件与事件互斥，则 . （4）如果事件与事件互为对立事件，则，. （5）如果，则. （6）对于任意两个事件，，. 3.条件概率的性质 条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则: （1）0≤P(B|A)≤1； （2）； （3）如果与是两个互斥事件，则 ； （4）设和互为对立事件，则或. 3.条件概率的性质 【追问】如何证明上述条件概率的性质？ B 【例3】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设Ai=“第i次按对密码”(i＝1，2)，事件A=“不超过2次就按对密码” ， 则A＝A1A2. （1）事件A1与事件A2互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(A1)＋P＝P(A1)＋P·P＝＝ . 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为. （2）设B=“密码的最后1位是偶数”，则由条件概率的性质可得 P(A|B)＝P＝＝ . 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为. 3.条件概率的性质 反 思 感 悟 复杂事件概率的求法 (1)将复杂事件分成两个(或多个)互斥的简单的事件之和，并求出这些简单事件的概率. (2)再利用即可求得复杂事件的概率，但应注意这个公式是在“与互斥”这一前提下成立. 3.条件概率的性质 【练习1】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解析：设A =“摸出第一个球为红球”，B =“摸出第二个球为黄球”， C=“摸出第二个球为黑球”，则P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝. ∴P(B|A)＝，P(C|A)＝. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝. ∴所求概率为. 【练习2】在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 析：记A=“他在这次考试中已经通过”， B=“他获得优秀成绩”， C1=“他抽的6道题中只能答对4道题”， C3=“他抽的6道题全部答对”， C2=“他抽的6道题中只能答对5道题”， 3.条件概率的性质 1.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. 解析：(1)记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则P(A)＝. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×. (3)P(B)＝P()P(B|)＝×. 课堂练习 2.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________． 解析：设A “其中一瓶是蓝色”，B “另一瓶是红色”， C “另一瓶是黑色”， D “另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C且B与C互斥． 又P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝ ＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝. 课堂练习 3.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球．从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解：设“摸出的第一个球为红球”为事件A， “摸出的第二个球为黄球”为事件B， “摸出的第二个球为黑球”为事件C. P(A)＝，P(AB)＝＝ ，P(AC)＝＝ . 所以P(B|A)＝＝＝＝ ，P(C|A)＝＝＝ ， 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝ ，故所求的条件概率为. 课堂练习 课堂小结 （1）条件概率的定义： 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作，简称条件概率. 事件A与B的交事件发生的概率等于A发生的概率乘以在A发生的条件下B发生的概率，即 （2）概率的乘法公式： （3）条件概率的性质： ①P(Ω|A)=1; ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)+ P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 作业布置 1.题卡：作业1——条件概率. 2.教材：P52：1，2，3，4. $