6.3.1二项式定理课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦二项式定理的推导、结构特征及应用，课堂导入结合牛顿研究历史背景，关联前期排列组合知识，通过分析(a+b)²、³、⁴展开式的项数、次数与系数规律，引导学生猜想一般形式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理和数学抽象为核心，通过具体展开式归纳二项式定理，发展学生推理素养，设置分层例题（如求常数项、区分二项式系数与项的系数），强化数学运算能力，反思总结构建知识体系，助力学生提升思维与运算能力，教师可高效开展教学，提升课堂参与度。

二项式定理 第一课时 6.3.1二项式定理 人教A版选择性必修第三册第六章第三单元 课时目标 (1)通过运用多项式运算法则和计数原理对二项展开式的项的研究,能推导出二项式定理,发展逻辑推理、数学抽象等素养. (2)通过对二项展开式结构的分析与研究,能归纳二项式系数的性质,发展逻辑推理、数学运算素养. (3)能用二项式定理解决一些简单的数学问题,发展数学运算素养 英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1643-1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理.那么，牛顿是如何思考的呢？ 0.课题引入 【引导语】前面我们学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开的问题. 1.二项式定理 【问题1】 (a＋b)2 、(a＋b)3、(a＋b)4的展开式是什么？请从项数、每项的次数、结构类型和系数进行研究，并猜想出(a＋b)n的展开式. =++ = +++ =+ =？ … 一般地，有 ？ 种情况可以得到an-kbk ， 因此， 该项的系数为 ？ 当n=4时，有 ？ 种情况可得a4-kbk ， 该项的系数为 ？ (a+b)n是n个(a+b)相乘，展开式的每一项都是从n个(a+b)中取k个b, n-k个a相乘得到，其形式为an-kbk，系数为，其中k=0, 1, …, n. 项数:n+1； 次数:n； 结构类型: an-kbk ； 系数:. 4 1.二项式定理 (1) 的二项展开式共n+1项，且各项的次数都等于n； (2)各项的系数 叫做二项式系数. (3)叫二项展开式的通项，用表示(第项)，即. (4)特别地， ①若设，则有：. ②若设a＝b＝1，则有：+ +……+ +……+ . 1.二项式定理 【例1.1】(1)求的展开式. (2)求的展开式. 解析：(1)根据二项式定理， =(x+x-1)6=x6+x5x-1+x4x-2+x3x-3+x2x-4+x1x-5+x-6 =x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6. (2)方法一=(3)4+(3)3+(3)2+(3+ =81x2+108x+54++. 方法二==(1+3x)4=[1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4] =(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. 1.二项式定理 6 【例1.2】化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 解析：原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0 =[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 【变式1】若将例[1.2]中的式子变为“(2x+1)n－(2x+1)n-1+(2x+1)n-2 －…+(－1)k(2x+1)n-k+…+(－1)n”，求化简结果. 解析：原式=(2x+1)n+(2x+1)n-1·(-1)+(2x+1)n-2·(-1)2+…+(2x+1)n-k(-1)k +…+(-1)n=[(2x+1)+(-1)]n=(2x)n. 【变式2】若将[1.2]中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果. 解析：逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n. 1.二项式定理 (1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n. ②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 反 思 感 悟 8 【例2.1】 (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项； (2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数； (3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数. 2.二项式的项与系数 解析:(1)(1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1=×17-3×(2x)3=×23x3=35×8×x3=280x3. (2)第4项的系数是280. (3)第4项的二项式系数=35. 解析:(1)的展开式的通项是(2)6-k=(1)k26-kx3-k. 根据题意，得3 k=2，k=1. 因此，x2的系数是(1)×25×= 192. (2) 当k=3时， T3+1 =(1)326-3= 160. 【例2.2】(1)求的展开式中x2的系数； (2)求的展开式中的常数项. 2.二项式的项与系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念. （1）二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，且二项式系数的值恒为正； （2）项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负. 反 思 感 悟 正确区分二项式系数与项的系数 11 【练习】已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； (2)求展开式中含项的系数. 解析:（1）因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，，所以=，即=，解得n=7. (2)因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k， 当=-1时，k=3，所以展开式中含项的系数为34=2 835. 2.二项式的项与系数 【例2.3】在二项式的展开式中，求： (1)第4项；(2)常数项；(3)有理项；(4)中间项. 解析:(1)的展开式的通项为Tk+1=x12-k·=(1)k. 令k=3，则T4=(1)3= 220x8. (2)令12 k=0，解得k=9，所以常数项为(1)9= 220. (3)当k=0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1=x12，T4= x8= 220x8，T7=x4=924x4，T10= = 220，T13= =. (4)因为n=12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项.令k=6， 得T7=(1)6=924x4. 2.二项式的项与系数 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 反 思 感 悟 14 【练习】已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解析：的展开式的通项为Tk+1=(-3)k=(-3)k. ∵第6项为常数项，∴当k=5时，有=0，即n=10. (2)令=2，得k=2，∴所求项的系数为(-3)2=405. 由题意得令=t(t∈Z)，则10-2k=3t，即k=5-t. ∵k∈N，∴t应为偶数.令t=2，0，-2，则k=2，5，8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，-61 236，295 245x-2. 2.二项式的项与系数 2.二项式的项与系数 2.二项式的项与系数 (2)展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1. 答案：(1)B　(2)D 2.二项式的项与系数 2.二项式的项与系数 【练习】(1)已知的展开式中常数项为80，则a=　 . 解析：展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k， 令5－2k=0，无整数解； 令5－2k=-1，解得k=3，T4=； 令5－2k=1，解得k=2，T3=80x； ∴展开式中的常数项为40－80a=80，解得a=－. 2.二项式的项与系数 课堂小结 二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式. 各项的系数 叫做二项式系数. 式中的叫做二项展开式的通项， . 特例：若设，则得到公式： 【例2.4】(1)(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数是(　 ) A．－4 B．－3 C．3 D．4 (2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 法三：在(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中要出现x，可分为以下三种情况： ①(1－eq \r(x))6中选2个(－eq \r(x))，(1＋eq \r(x))4中选0个eq \r(x)作积，这样得到的x项的系数为Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(0,4)＝15； ②(1－eq \r(x))6中选1个(－eq \r(x))，(1＋eq \r(x))4中选1个eq \r(x)作积，这样得到的x项的系数为Ceq \o\al(1,6)(－1)1Ceq \o\al(1,4)＝－24； ③(1－eq \r(x))6中选0个(－eq \r(x))，(1＋eq \r(x))4中选2个eq \r(x)作积，这样得到的x项的系数为Ceq \o\al(0,6)Ceq \o\al(2,4)＝6. 故x项的系数为15－24＋6＝－3. 解(1)法一：(1－eq \r(x))6的展开式的通项为Ceq \o\al(m,6)(－eq \r(x))m＝， (1＋eq \r(x))4的展开式的通项为，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 令eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1，得m＋n＝2，于是(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数等于 Ceq \o\al(0,6)·(－1)0·Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(1,6)·(－1)1·Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,6)·(－1)2·Ceq \o\al(0,4)＝－3. 法二：(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4＝[(1－eq \r(x))(1＋eq \r(x))]4(1－eq \r(x))2＝(1－x)4(1－2eq \r(x)＋x)． 于是(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数为Ceq \o\al(0,4)·1＋Ceq \o\al(1,4)·(－1)1·1＝－3. 【练习】(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 (2) 的展开式中的常数项为______．(用数字作答) 解(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝Ceq \o\al(2,5)(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq \o\al(1,3)x4·x＝Ceq \o\al(1,3)x5.所以x5y2的系数为Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(1,3)＝30. 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(2,3)Ceq \o\al(1,1)＝30. (2)法一：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq \f(1,32x5)·[(x＋eq \r(2))2]5＝eq \f(1,32x5)(x＋eq \r(2))10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋eq \r(2))10的展开式中含x5项的系数，即Ceq \o\al(5,10)·(eq \r(2))5.所以所求的常数项为eq \f(C\o\al(5,10)·(\r(2))5,32)＝eq \f(63\r(2),2). $