6.3.1 二项式定理 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 人教A版2019选择性必修第三册 授课人：吴雨晴 复习巩固 1.排列数的公式 2.组合数的公式 3.组合数的性质 数学史话 物理是我的强项 数学上我同样有建树 1664年冬，英国科学家艾萨克·牛顿由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，年仅22岁的牛顿在研读沃利斯的《无穷算术》时，发现了展开式 的规律（即二项式定理，又称牛顿二项式定理）.那么，牛顿是如何思考的呢？ 二项式定理研究的是 的展开式. … … 此法 有困难 ① 项： ② 系数： 探究1 推导 的展开式. ① 项： ② 系数： 探究1 推导 的展开式. ① 项： ② 系数： 探究1 推导 的展开式. ① 项： ② 系数： 探究1 推导 的展开式. 猜想 探究2 仿照上述过程,推导 的展开式. ①项： ②系数： 探究3：请分析 的展开过程，证明猜想. L L ③展开式： n+1个项 —此公式叫做通项公式. 二项式定理 的二项展开式 ④二项展开式的通项: ③二项式系数: ①项数： ②次数：字母a按降幂排列，指数从n递减到0；字母b按升幂排列， 指数从0递增到n.它们指数和一定为 n. 共有n＋1项 二项式系数 与第k+1项的系数是两个不同的概念 . 注意： (1) 其中 叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同 的概念 . (2) 表示的是第k+1项，而不是第k项； (3) 中a, b的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为 n. 二项式定理： 1.在二项式定理中,令a=1,b=x,写出（1+x）n的展开式: 2.在上式中,令x=1,则有: 特别地： 若令a=1,b=-x,则: 例1 (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 令k＝3，则T4＝ ＝－220x8； 第4项的二项式系数为 第4项的系数=－220； 例2 (2)常数项； (3)有理项. 1. 二项式定理： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 课堂小结 是展开式的第k＋1项. 注意：二项式系数与系数的区别. 课堂练习（步步高P21） 跟踪训练2 令18－4k＝6，解得k＝3， 160 A.60x2 B.－60x2 C.12x4 D.－12x4 √ 1 2 3 4 令12－4k＝0，即k＝3， －4 23 方法一　＝(x)6＋(x)5·（＋(x)4·()2＋ (x)3·()3＋(x)2·()4＋(x)·()5()6 方法二　＝（）6＝ （1）求的展开式. 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0 延伸探究　若将例1(2)的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果. 12的展开式的通项Tk＋1＝Cx12－k·k＝ . 　　在二项式的展开式中，求： (1)第4项，第4项的二项式系数，第4项的系数； 令12－k＝0，解得k＝9， 所以常数项为(－1)9C＝－220. 当k＝0,3,6,9,12时，Tk＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝ －220x8，T7＝Cx4＝924x4， T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝. 6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－kk＝26－kCx18－4k， 　　　(1)在6的展开式中，x6的系数是______. 所以x6的系数是23C＝160. 6的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)6－kk， 令k＝1，可得展开式的第2项为Cx51＝－12x4. (2)二项式6的展开式中的第2项是 4的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)4－kk＝(－1)kCx12－4k， 3.4的展开式中常数项为______. 得常数项为T4＝(－1)3C＝－4. $