6.2.1排列与排列数课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“排列与排列数”核心内容，涵盖排列定义、排列数公式及有约束条件的排列问题，通过五位序号编码的实际情境导入，结合选同学参加活动、组成三位数等实例，引导学生从具体问题抽象出排列概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过实例辨析（如判断是否为排列问题）、公式推导（从分步计数到排列数乘积式与阶乘式）、多解法对比（如数字排列的位置/元素分析法）培养学生思维。采用问题链驱动和策略总结（如捆绑法、插空法），学生能深化理解，教师可直接用于分层教学，提升效率。

计数原理 6.2.1 排列与排列数 第一课时 人教A版选择性必修第三册第六章第一单元 课时目标 (1)能通过实例,用自己的语言解释排列的定义;能用定义判断是不是排列问题,发展数学抽象素养. (2)能从排列的定义出发推导排列数公式,并能用排列数公式解决有关计数问题. (3)能通过实例,用自己的语言解释组合的定义;能用定义判断是不是组合问题,发展数学抽象素养. (4)能从组合的定义出发,利用排列与组合的关系推导组合数公式,并能用组合数公式解决有关计数问题. (5)能综合应用排列、组合的概念和公式解决简单的实际问题. 五位序号的编码规则: (1)由10个阿拉伯数字和 除O,I之外 的24个英文字母组成; (2)最多只能有两个英文字母. 川A 析:①无字母: 10 10 10 10 10=1 00000(种) ②1个字母: (24 10 10 10 10) 5=1 200 000(种) ③2个字母: (24 24 10 10 10) 10=5 760 000(种) 共1 00000+1 200 000+5 760 000=7 060 000(种) 0.问题引入 因做了一些重复性工作而显得烦琐,能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢? 为此,先来分析两个具体的问题. 0.问题引入 分步:3 2=6 分步:4 3 2=24 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加 一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 百位: 十位: 个位: 【问题2】从1, 2, 3, 4这4个数字中,每次取出3个排 成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 1.排列 【问题3】如果将问题1和问题2的背景去掉,把被选取的对象叫做元素,那么还可怎样叙述问题1和问题2? 实质是:从3个不同的元素a、b、c中,任取2个, 按一定的顺序排成一列, 共有多少种不同的排列方法? 实质是:从4个不同的元素a、b、c 、d中, 任取3个, 按照一定的顺序排成一列, 共有多少种不同的排列方法? 问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 问题2:从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? ab, ac, ba, bc, ca,cb abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 【追问】上述问题1, 2的共同特点是什么? 能推广到一般情形吗? 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素,并按照一定的顺序排成一列的方法数. (1)排列的定义 一般地,从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement). 互异性 有序性 1.排列与排列数 【例1.1】判断下列问题是排列问题吗? (1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,其不同结果有多少种? (2)从1,2,3三个数字中,任选两个做除法,其不同结果有多少种? (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标? (4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最多可确定多少条射线?可确定多少条直线? (5) 10个学生排队照相,则不同的站法有多少种? (6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组. (7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目. 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 1.排列与排列数 排列问题的判断方法 (1)“取”:首先要保证元素互异性(取出不同的元素); (2)“排”:要保证取出元素的有序性. 而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序. 1.排列与排列数 (2)排列数的概念 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示,其中m∈N*,n∈N* ,m≤n . 1.排列与排列数 【问题4】易知=6, =24,一般地,从n个不同元素中取出m个元素的排列数(m≤n)是多少? 1.排列与排列数 第1步 第2步 第3步 第m步 ...... n种 n-1种 n-2种 n-m+1种 1.排列与排列数 【追问】观察例3的运算结果,你有什么发现?能推广到一般情况吗? 解: 1.排列与排列数 1.排列与排列数 13 17 14 1.排列与排列数 1.排列与排列数 证明: 【例1.4】解方程:(1)=140; (2)3=4. 知m用公式① 由=140 得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得4x2-35x+69=0, 解得x1=3,x2=(舍去). 所以原方程的解为x=3. 解: 不知m用公式② 由3=4, =, 整理得x2-19x+78=0, 解得x=6或x=13(舍去). 所以原方程的解为x=6. 1.排列与排列数 【变式】将本例(2)改为不等式<6,求该不等式的解集. 环节三 观察计算,辨析公式 由<6,得<6 , 化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12, ① ② 由①②及x∈N*,得x=8. 所以原不等式的解集为{x|x=8}. 排列数的化简求值与证明技巧 化简和证明的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活地运用如下变式: 1.排列与排列数 【例2】某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛? 2. 排列数公式的简单运用 【练习】(1)某省中学生足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛? (3)P20-3一个火车站有8股岔道,如果每股道只能停放1列火车,现要停放4列不同的火车,共有多少种不同的停放方法? (2)P17-2一位老师要给4个班轮流做讲座,每个班讲1场,有多少种轮流次序? 2. 排列数公式的简单运用 本节课我们学到了什么? 小结 计数原理 6.2.1 排列与排列数 第二课时 人教A版选择性必修第三册第六章第一单元 【例1】用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 1.有约束条件的排列问题——数字排列问题 解法1:从位置出发分析 解法2:从元素出发分析 根据加法原理 解法3:间接法,逆向思维法. 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 , 其中以0为排头的排列数为 . 23 1.直接法: 即把符合限制条件的排列数直接计算出来,此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法. 2.间接法: 即先不考虑限制条件,把所有排列种数算出.再从中减去全部不符合条件的排列种数,间接得出符合条件的排列种数. 1.有约束条件的排列问题——数字排列问题 【练习】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有多少个? 1.有约束条件的排列问题——数字排列问题 【例2】有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法: (1)男甲排在正中间; (2)男甲不在排头也不在排尾; (3)男甲不在排头,女乙不在排尾; (4)三个女生排在一起; (5)三个女生两两都不相邻; (6)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相邻); (7)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变(可以不相邻). 2.有约束条件的排列问题——排队问题 【练习1】五个人排成一排,求满足下列条件的不同排列各有多少种. (1)A,B,C三人左中右顺序不变(不一定相邻); (2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻). 2.有约束条件的排列问题——排队问题 对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; 特殊元素、位置优先处理 ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); 相邻问题-捆绑法 ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 不相邻问题-插空法 (4)某些元素要求有顺序(即不能相邻). 定序问题-整除法 【问题1】对有约束条件的排列问题,应该注意哪些方面?有哪些常用的放法? 2.有约束条件的排列问题——排队问题 【例3】三个男生,四个女生排成两排,前排三人、后排四人,有几种不同排法? 不同的坐法有 种 前排 后排 两排可看作一排来处理 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 3.有约束条件的排列问题——多排问题直排策略 【练习】6个人站成前后两排照相,要求前排2人,后排4人,那么不同的排法共有( ) A.30种 B.360种 C.720种 D.1440种 C 3.有约束条件的排列问题——多排问题直排策略 【例4】5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有 种排法。 A B C E D D A A B C E 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 4.有约束条件的排列问题——环排问题线排策略 【变式1】有8人坐在圆桌上吃钣,共有多少种不同的坐法? 【变式2】有8人坐在圆桌上吃钣,其中甲乙必须坐在一起.共有多少种不同的坐法? 4.有约束条件的排列问题——环排问题线排策略 【变式3】一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A. 3 3! B.3 (3!) 3 C. (3!) 4 D.9! C 4.有约束条件的排列问题——环排问题线排策略 解决排列问题的一些处理策略 1.特殊元素,特殊位置优先安排策略 2.相邻问题捆绑处理的策略 3.不相邻问题插空处理的策略 4.多排问题直排策略 5.定序问题倍缩空位插入策略 6.环排问题线排策略 4.有约束条件的排列问题——环排问题线排策略 课堂小结 在两个排列数公式中, 满足的条件都是,且. 排列数公式: 【练习】有3个男生,4个女生站成一排, 按下列要求各有多少种不同排法: (1)甲排在正中间或两端; (2)甲、乙必须在两端; (3)男生、女生各站在一起; (4)男生必须站在一起; (5)男、女生各不相邻; (6)甲、乙中间必须有2人. 课堂练习 (3)排列数公式: ①Aeq \o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m,n∈N*,且m≤n). 特别地,当m≤n时,Aeq \o\al(m,n)叫选排列,m=n时,Aeq \o\al(m,n)叫全排列; 即:Aeq \o\al(n,n)=n (n-1) (n-2) … 3 2 1=n!(n的阶乘),规定0!=1. (3)排列数公式: ①Aeq \o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m,n∈N*,且m≤n). 特别地,当m≤n时,Aeq \o\al(m,n)叫选排列,m=n时,Aeq \o\al(m,n)叫全排列; 即:Aeq \o\al(n,n)=n (n-1) (n-2) … 3 2 1=n!(n的阶乘),规定0!=1. ②Aeq \o\al(m,n)=o\al(m,n)eq \f(A, Aeq \o\al(n-m,n-m)) =eq \f(n!, n-m !).(m,n∈N*,且m≤n). 【练习】(1)若 ,则n= ,m= ; (2)用排列数表示 ,且 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 Aeq \o\al(m,n) 排列数公式 乘积式 Aeq \o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 阶乘式 Aeq \o\al(m,n)=eq \f(n!, n-m !) 性质 Aeq \o\al(n,n)=n!,0!=1 备注 n,m∈N*,m≤n [解](1)eq \f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))=20(种).(2)eq \f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2) A\o\al(2,2))=30(种). $