2026届高考物理一轮复习题型训练 3.9 等时圆模型

题型训练3.9 等时圆模型 等时圆 1.如图所示, ad、 bd、 cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为0)，用t₁、l₂、l₃依次表示各滑环到达d所用的时间，则 ( ) 2.如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线,AC: BC:DC=5:4:3,AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d,a、b、d三小球的质量比为1:2:3,现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为( ) A.1:1:1 B.5:4:3 C.5:8:9 D.1:2:3 3.如图所示为某一游戏的局部简化示意图. D为弹射装置，AB是长为21m的水平轨道，倾斜直轨道BC固定在竖直放置的半径为R=10m的圆形支架上，B为圆形的最低点，轨道AB与BC平滑连接，且在同一竖直平面内.某次游戏中，无动力小车在弹射装置D的作用下，以 的速度滑上轨道AB，并恰好能冲到轨道BC的最高点.已知小车在轨道AB上受到的摩擦力为其重量的0.2倍，轨道BC光滑，则小车从A到C的运动时间是 ( ) A.5s B.4.8s C.4.4s D.3s 4.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，现在有三条光滑轨道AB、CD、EF，它们的上下端分别位于上下两圆的圆周上，三轨道都经过切点O，轨道与竖直线的夹角关系为α<β<θ，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端，则物块在每一条倾斜轨 道上滑动时所经历的时间关系为 ( ) 5.如图所示，在倾角为θ的斜面上A点有一长为L=10m的轻杆竖直放置.已知A点距斜面底端10m，现从轻杆顶端B点处安装一滑.索到斜面底端，不计摩擦阻力，取g=10m/s²,则一可套在滑索上的小球从B点由静止开始滑到斜面底端的时间为 ( ) A.1s B. C.2s D.4s 6.在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图所示，OP=d<R.欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置(用OM与水平面的夹角α的三角隐函数表达). 7.如图所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从A处从静止开始释放，用t₁、l₂、t₃依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系? 8.如图所示，竖直的圆环放在水平向左的匀强电场中，半径为R,AB、AC、AD三条光滑管道中分别有三个质量均为m、带正电且电量相等的绝缘小球无初速度地从A端释放后,分别在管道AB、AC、AD中下滑到D、C、B三端点. AB竖直，AD与竖直方向夹角为60°，AC经过圆心.已知小球所受重力大小与电场力大小之比为 则小球其中运动时间最长的管道是 ( ) A. AD B. AC C. AB D.条件不足，无法判定 9.有三个光滑斜轨道1、2、3,它们的倾角依次是60°、45°和30°.这些轨道交于O点.现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图所示.物体滑到O点的先后顺序是 ( ) A.甲最先，乙稍后，丙最后 B.乙最先，然后甲和丙同时到达 C.甲、乙、丙同时到达 D.乙最先，甲稍后，丙最后 10.如图所示，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上.横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变.将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关.若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将 ( ) A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 速率一时间图像 11.(2014·上海·16)如图,竖直平面内的轨道Ⅰ和Ⅱ都由两段细直杆连接而成，两轨道长度相等.用相同的水平恒力将穿在轨道最低点B的静止小球，分别沿Ⅰ和Ⅱ推至最高点A，所需时间分别为t₁、t₂；动能增量分别为 假定球在经过轨道转折点前后速度大小不变，且球与Ⅰ、Ⅱ轨道间的动摩擦因数相等，则( ) 12.(多选)如图所示,平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B.然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A.上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有（ ） A.物块经过P点的动能，前一过程较小 B.物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少 C.物块滑到底端的速度，前一过程较大 D.物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长 13.如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线.已知一小球从M点出发，初速率为 沿管道MPN运动，到N点的速率为v₁，所需时间为 ；若该小球仍由M点以初速率v₀出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v₂，所需时间为t₂，则 ( ) 题型训练3.9 1. D【解析】设杆与水平面夹角为θ，圆的直径为d，对滑环，由牛顿第二定律得 mgsinθ=ma，由运动学公式得 且s=dsinθ,联立解得 与θ无关，即 综上答案为D. 2. A【解析】以AC为直径画圆，B、D刚好位于同一圆上，由等时圆模型得，三个小球下滑的时间相等，综上答案为A. 3. A【解析】小车从A运动到B的过程中，由牛顿第二定律得 解得小车的加速度大小为 由匀变速直线运动规律得 代入数据解得 (舍去)，设BC与水平面的夹角为θ，由几何知识得xBC=2R sinθ，小车从B运动到C的过程中，由牛顿第二定律得 mgsinθ=ma₂，解得小车的加速度大小为( gsinθ，B为圆形支架的最低点，由匀变速直线运动规律得 联立解得 ，则小车从A到C的运动时间 ,故A正确BCD错误. 4. B【解析】设上圆的半径为r，下圆的半径为R，故轨道的长度s=2rcosα+R,对物块,由牛顿第二定律得mgcosα=ma，由公式得 联立解得 因α<β<θ,故 综上答案为B. 5. C【解析】记斜面底端为C点，以A点为圆心作一个半径为10m的圆，B、C两点位于该圆的圆周上，如图所示.小球的运动满足等时圆模型，由等时圆模型结论得 且d=2R，联立解得 综上答案为C. a=0,代入 解得μ=0.1,故D正确;当.F=8N时，对滑块，由牛顿第二定律得 解得 故C错误.综上答案为AD. 15. BCD【解析】由题图(c)可知，t₁时刻前物块和木板静止， 时间内木板和物块共同加速，t₂时刻后木板和物块相对滑动，故D正确；t₁时刻，对木板和物块整体，由受力平衡得 故A错误；t₂时刻，对物块，由牛顿第二定律得 ；对木板，由牛顿第二定律得 联 立 解 得 故B正确；t₁~t₂时间内，物块对木板的静摩擦力使木板加速，故 解得 故C正确.综上答案为BCD. 等时圆模型 6.见解析. 【解析】以定点P为最高点，可作出系列半径r不同(动态的)“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上.其中，刚好与大环内切的“等时圆”半径最小，如图所示，该“等时圆”的圆心O'满足O'M=O'P，且在OM连线上，该圆就是由P到定圆的半径最小的“等时圆”，物体沿轨道由MP滑到M点的时间也最短.由几何关系得 r，解得 故OM与水平面的夹角α满足tanα= 或 【解析】A不在圆的最高点，故等时圆模型的结论不能直接用.如图所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点O₁，以O₁为圆心、O₁A为半径作圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于 C'、D'.在圆ABC'D'中,用等时圆模型的结论得 但不可根据CC'<DD',，推断出 因为小环进入虚线部分时初速度不同，运动的加速度也不同.要比较t₂与t₃的大小，可按照前面的方法再次构造新圆(过点A作竖直线交AC的垂直平分线于点O₂，以O₂为圆心、O₂A为半径作圆)，用等时园模型的结论得 综上所述 8. C【解析】小球所受重力大小与电场力大小 之比为 可知，小球所受重力与电场力的合力 F 的方向恰好与AD平行，且由A指向D.过AC两点画一个虚线圆，且圆心O₁在AD上，如图(a)所示，半径设为r₁；过AD两点画一个虚线圆，且圆心O₂在AD上，如图(b)所示，半径设为 由几何关系知 则 又AB在两虚线圆的外侧，故 ，因此沿管道AB运动的时间最长，故C正确ABD错误.综上答案为C. 9. B【解析】设斜轨道底边的长度为l，斜面的倾角为α，则斜轨道的长度为 由牛顿第二定律得 mgsinα= ma,由运动学公式得 联立解得 由数学知识知，α=45°时运动时间最短，即乙最先到达O点，又： 故甲和丙的运动时间相等，即同时到达O点，故B正确ACD错误.综上答案为B. 10. D【解析】在调节横杆位置的过程中，虽然θ可变，但小物块始终从交点Q处静止释放，QP在水平面的投影长度不变 .设P 点到竖直杆的距离为 L，物块下滑的位移 对物块，由牛顿第二定律得 mgsinθ=ma，由运动学公式得 联立解得 故当θ=45°时t最小，即下滑时间先减小后增大，故D正确ABC错误.综上答案为D. 11. B【解析】球在轨道Ⅰ、Ⅱ上运动的过程中，水平位移x相同，高度差h也相同，由水平恒力做功 得，两种情况下WF相同，由重力做功 得，两种情况下W。相同.设轨道与水平方向的夹角为θ，轨道长度为l，摩擦力做的功 ,其中lcosθ是小球的水平位移，lsinθ是小球的竖直位移，两种情况下小球运动的水平方向总位移相同，竖直方向总位移也相同，故W₁相同，综上得，两种情况下外力对小球做的总功相同，由动能定理得 故AC错误；小球在轨道Ⅰ中运动的过程中加速度先小后大，在轨道Ⅱ中运动的过程中加速度先大后小，定性作出小球运动的速率一时间图像如图所示，两种情况下末速度大小相同，路程也相同.速率图像和横轴所夹的面积表示小球运动的路程，故速率图像和横轴所夹的面积应相同，由图像得 ，故B正确D错误.综上答案为B. 12. AD【解析】设木板倾角为α，对物块，由牛顿第二定律得mgsinα-μmgcosα= ma,解得 a=g(sinα-μcosα),两个过程倾角相同，动摩擦因数由A到B逐渐减小，故AP过程的加速度a₁小于BP过程的加速度a₂，且P点距A端较近，由 得 即 故 A正确；物块摩擦发热Q=μmgscosα，AP过程的动摩擦因数μ₁大于BP过程的动摩擦因数μ₂，但P点距A端近，故无法确定两个过程Q的大小，即B错误；摩擦力做功 μmglcosα，动摩擦因数μ由A到B或由B到A变化相同，故Wt相同，由动能定理得 即物块滑到底端的速度相同，故C错误；由于前一过程加速度a₁逐渐增大，后一过程加速度a₂逐渐减小，这两个过程物块的位移相同，末速度相同，因此前一过程的时间较长，故D正确.综上答案为AD. 13. A【解析】沿 MPN运动小球的速度先减小后增大，沿MQN运动小球的速度先v₀增大后减小，这两个过程中只有重力做功，故小球的机械能守恒. MN是通过椭圆中心O点的水平线，即小球的重力势能不变，由机械能守恒定律得 ，故BD错误；定性作出小球运动的速率-时间图像如图所示，速率图像和横轴所夹的面积表示小球运动的路程，小球两次运动的路程相等，速率图像和横轴所夹的面积应相同，由图可知 ，故A正确.综上答案为A. 学科网（北京）股份有限公司 $