九年级期末模拟试卷2025-2026学年苏科版 数学九年级上册

九年级期末模拟试卷 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字大于3的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）平面内，若的半径为，则点与的位置关系是（    ） A．无法确定 B．点在外 C．点在上 D．点在内 3．（本题3分）某中学七年级开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有30名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 6 9 12 3 则这30名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（　  　）． A．98，98 B．99，98 C．，98 D．，99 4．（本题3分）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 5．（本题3分）如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 8．（本题3分）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，随机调查了八年级50名学生一周读书的册数，读1册书的有15人，读2册书的有20人，读3册书的有15人，则这50名学生一周平均每人读书的册数是 . 10．（本题3分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷5次）的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离 45 54 48 54 方差 根据表中数据，四名运动员中选成绩又好又稳定的是 ． 11．（本题3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是 ． 12．（本题3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为 13．（本题3分）圆锥底面半径为，高为，求它的侧面积为 . 14．（本题3分）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，在中，，分别以点A，B为圆心．大于长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再以点C为圆心，长度为半径画弧，交于点E，则阴影部分的面积为 ． 16．（本题3分）如图，等边三角形的边长为，点、分别是边、的动点，且，连接、交于点，为的中点，连接，则线段长的最小值为 ． 三、解答题（共102分） 17．（本题8分）解下列关于x的方程． (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 19．（本题10分）已知在平面直角坐标系中位置如图． (1)利用格点画出的外接圆，并写出圆心的坐标为______； (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (3)画出关于O点的中心对称图形． 20．（本题10分）某学校计划派出由5名队员组成的跳绳队参加市级比赛，这五名队员的性别和年龄信息如下表所示： 1号 2号 3号 4号 5号 性别 男 男 女 女 男 年龄（岁） 13 14 14 15 15 (1)因比赛需要，需增加1名跳绳队员，若增加后发现年龄的中位数大于原来年龄的中位数，则增加队员的最小年龄是多少？（年龄为整数） (2)若增加的6号队员为一名15岁男生，现要从这4名男生中选两名队员组成花样跳绳组，用列表法或画树状图法求所选两名队员的年龄恰好相等的概率． 21．（本题10分）关于的方程. (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，求的最小值． 22．（本题10分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C在格点上，点D是圆与竖直网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线．    (1)在图1中画出经过A、B、C三点的圆的圆心O； (2)在图2中，在弧CD上作点E使得． 23．（本题10分）如图，是的外接圆，，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 24．（本题10分）商场销售某种商品，每件进价100元，若每件售价150元，平均每天售出60件．经调查发现：当商品售价每降低1元时，平均每天可多售出3件． (1)当商品售价降低5元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元． (2)为了减少库存，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利3600元？ 25．（本题12分）如图，的半径为5，AB是的直径，弦于点F，，P是上一点，连接CP交AB于点E，连接AD交CP于点G． (1)写出图中一对相等的角：________； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，求线段EG的长． 26．（本题14分）点，是平面直角坐标系中不同的两个点，且，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作，由定义可知，． 例：若，，有，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为． 已知点，，，， (1)在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：______，它们的“限斜系数”为______； (2)若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标； (3)⊙O半径为3，点M为⊙O上一点，满足的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足，直接写出点M的横坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：由题意可知一共有种结果，其中数字大于的结果有抽到和两种，所以概率为． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键．根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：∵， ∴点与的位置关系是点在内． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据众数，中位数的定义计算选择即可． 【详解】解：∵98出现的次数最多，12次， ∴众数为98； ∵中位数是第15个，16个数据的平均数， 即． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查垂径定理，圆周角，三角形的内角和，对顶角相等，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 6．B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 7．D 【分析】作，交的延长线于点，当为此圆的切线时，即时，最大，在中，，证明则根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】如图，作，交的延长线于点， ，当绕点A旋转时，点在以A为圆心，8为半径的圆上 当为此圆的切线时，即时，最大， 此时，在中，， ， ， ，   ， 在和中 ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正方形的性质、切线性质、圆周角定理、勾股定理等知识，找到最大时的位置是解题的关键． 8．C 【分析】如图，作射线交于、，连接．因为，所以，所以当最大时，最大，可知当M运动到时，最大，由此即可解决问题． 【详解】如图，作射线交于、，连接， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当M运动到时，最大， 此时的最大值， 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题． 9．2 【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：这50名学生一周平均每人读书的册数是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 10．乙 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，从平均数来看平均成绩最好的是乙、丁，再比较方差，即可求解；理解平均数及方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由表格得 平均成绩最好的是乙、丁， ， 乙的成绩稳定， 四名运动员中选成绩又好又稳定的是乙， 故答案为：乙． 11．14 【分析】该题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，先求一元二次方程的根，得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得 ， 解得 或 ． 当腰长为3时，三边为3、3、6，由于 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系，周长为 ． 故答案为：14． 12． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．/平方厘米 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及勾股定理，利用勾股定理算出圆锥的母线长，再算出底面圆周长，最后根据圆锥的侧面积求解，即可解题． 【详解】解：圆锥底面半径为，高为， 圆锥的母线长为， 底面圆周长为， 圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得，，然后通过勾股定理求出，最后根据线段和差即可求解． 【详解】解：∵的弦垂直于直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是作图﹣基本作图，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，熟知角平分线的作法和扇形的面积公式是解答此题的关键．由题意可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，根据等腰三角形的三线合一的性质得：，再由直角三角形斜边中线的性质得，最后由面积差可得结论． 【详解】解：由题意可知：是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积的面积扇形的面积． 故答案为：． 16．/ 【分析】证明，可得，根据，，，即可推出，推出点F的运动轨迹是弧，推出，作的外接圆O，分析得出当O，F，G三点共线时，最小，连接，过点O作，垂足为H，利用垂径定理求出半径，根据角度说明是直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：在等边三角形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹是弧， ∴， 作的外接圆O， 当O，F，G三点共线时，最小，连接， 过点O作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点G是中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点F的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，             ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据每个一元二次方程的特点恰当选择解法是解题的关键． 18．(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 19．(1)见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—旋转变换、作三角形外接圆，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外接圆圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点作图即可，再结合图形即可得出圆心的坐标； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段、的垂直平分线，相交于，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求，由图可得：圆心的坐标为， （2）解：如图：即为所求； （3）解：如图：即为所求． 20．(1)15岁 (2) 【分析】（1）分增加队员的年龄小于等于14和大于14两种情况分别计算比较即可得解； （2）利用列表法列出所有可能情况，再运用概率公式计算即可； 【详解】（1）将年龄由小到大排列为13，14，14，15，15，则这5名队员年龄的中位数为14岁，设增加队员的年龄为a岁， 当时，得到新数据的中位数仍为14岁； 当时，得到新数据的中位数大于14岁． 因此增加队员的最小年龄是15岁． （2）列表如下： 1号（13岁） 2号（14岁） 5号（15岁） 6号（15岁） 1号（13岁） （1号，2号） （1号，5号） （1号，6号） 2号（14岁） （2号，1号） （2号，5号） （2号，6号） 5号（15岁） （5号，1号） （5号，2号） （5号，6号） 6号（15岁） （6号，1号） （6号，2号） （6号，5号） 共有12种等可能的结果，所选两名队员的年龄恰好相等的结果有2种， ∴所选两名队员的年龄恰好相等的概率为． 【点睛】本题主要考查了中位数以及运用列表法求概率，列表法可以不重不漏的列出所有可能结果，适合于两步完成的事件；概率等于所求数与总数之比． 21．(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式的变形． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，将转化为，结合m的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ， 即：， 解得：； （2）解：，是方程的两个实数根， ，， ， ， ，， 时取最小值， 此时． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的性质，圆周角定理． （1）利用网格作线段的垂直平分线与的交点即为圆心； （2）取点，作直线与网格交于点，连接交圆于，点即为所作． 【详解】（1）解：点即为所作，    ； （2）解：如图，点即为所作，    ； ∵由网格特点和垂径定理可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接、、，由，得到是的垂直平分线，则有，再根据平行线的性质得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）连接，延长交于点，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，，从而得到关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点， 由（1）得，是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 24．(1)75，3375 (2)20元 【分析】（1）根据每件的利润件数=总利润求解即可； （2）设每件商品降价x元，根据商家平均每天能盈利3600元列一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）根据题意， 当商品售价降低5元时，每天销售量可达到：件； 每天盈利：(元)， （2）设每件商品降价x元时，商场通过销售这种商品每天盈利3600元，依题意得： ，解得：，， ∵为了减少库存， ∴ 答：每件商品降价20元时，商场通过销售这种商品每天盈利3600元； 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 25．(1)（或答案不唯一）． (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理或垂径定理的性质，找出一对相等的角； （2）连接，利用垂直关系和圆周角定理，证明弧相等； （3）先利用勾股定理求出的长度，再结合三角形相似或三角函数求出的长． 【详解】（1）解：（或答案不唯一）． （2）证明：， ， ， ． （3）解：连接，如图所示： 的半径为5，是的直径，， ， ，， ， 在中，, 由(2)知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、三角形相似及勾股定理的应用，掌握圆中弧、角的关系及直角三角形的边长计算方法是解题的关键． 26．(1)A、C或A、D，2或； (2)或； (3)； 【分析】（1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“限斜点”定义列方程求解即可得到答案； （3）由题意可知C点在直线上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上，当T点在直线上时，，再由，可知T点在直线的上方，直线的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部； 【详解】（1）解：， ， 有|， ∴A、C为一对“限斜点”，且“限斜点系数”为2； ，， 有， ∴A、D“限斜点”，且“限斜点系数”为， 故答案为：A、C或A、D，2或； （2）解：设， ∵点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴或； （3）解：∵， ∴C点在直线上， ∵， ∴T点在以M为圆心1为半径的圆上， ∵M点在以O为圆心3为半径的圆上， ∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环， 当T点在直线上时，设， ∴， ∴， ∵， ∴T点在直线的上方，直线的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示， ∴； 【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $