精品解析：安徽省淮北市第十二中学2025-2026学年高三第三次月考数学试卷

淮北市第十二中学2023级高三第三次月考数学试卷 命题人：汪志龙 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（ ） A. 2980元 B. 2880元 C. 2680元 D. 2480元 5. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 8. 对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的对称轴 D. 是函数的对称中心 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 有三个零点 C. 在区间上的值域为 D. 函数图象的对称中心为点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 14. 求值：__________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分． 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）若中，，且，求面积的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数的图像在处的切线的斜率为3． （1）求的值； （2），且对恒成立，求的最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学2023级高三第三次月考数学试卷 命题人：汪志龙 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集运算即可求解. 【详解】因为或， 所以集合或， 故. 故选：D 2. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数在区间上单调递增可得恒成立，进而求得，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 因为，所以，则. 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断即可. 【详解】 对于A，若，则.故A错误. 对于B，由，知，所以.故B正确. 对于C，若，则，则； 若，则，则； 若，则，则.故C错误. 对于D，，所以.故D错误. 故选：B. 4. 山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（ ） A. 2980元 B. 2880元 C. 2680元 D. 2480元 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以汾酒储存8年的价值元. 故选：B 5. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调性，分类求解，即可得答案. 【详解】由题意可设，因为是定义在上的奇函数， 则，所以是定义在上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即， ； 当时，，即，即， ， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 6. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知角和未知角的关系，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 因此 ， 故选：B 7. 已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】A：令，可得结果；B：根据定义结合可进行判断；C：令，可得与的关系，由此可判断；D：假设为偶函数，然后推出矛盾即可判断. 【详解】对于A：令，所以，所以，故A错误； 对于B：任取且，所以， 所以，但此时的正负无法判断， 所以不一定是增函数，故B错误； 对于C：令，所以，所以， 所以，且的定义域为关于原点对称， 所以是奇函数，故C正确； 对于D：因为，， 假设为偶函数，则，则， 又因为，所以，这与不是常数函数矛盾， 所以不是偶函数，故D错误； 故选：C. 8. 对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件式变形为，令，利用导数得，问题转化为，恒成立，利用导数求解. 【详解】由，，即， 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又时，， 所以的值域为，即. 所以，，即，恒成立， 当时，即为，令，则， 所以函数在上单调递减，故，则， 当时，对任意的成立； 当时，即为，由， 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 所以，故； 综上， . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象知：，，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，故A正确； 由可得，即， 又，可得，故B错误； 由AB知，令，得为对称轴，故C正确； 当时，， 所以不是函数的对称中心，故D错误； 故选：AC 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，根据换元法，以及构造函数，根据函数单调性判断函数最值，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由题意得，即，因为，则，解得； 对于A，则， 设函数，可知函数在上单调减，即， 可得，即，所以A正确； 对于B，可知，即，化简得，当且仅当，即时取等号；所以B正确； 对于C，， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上的最小值为，所以C正确； 对于D，，当且仅当，即时取等号， 因为，即，所以D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 有三个零点 C. 在区间上的值域为 D. 函数图象的对称中心为点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，可得判定A正确；根据，以及函数值的变化，可判定B正确；利用函数的单调性求得函数的值域，可判定C错误；令，得到为奇函数，进而可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，由A中，函数极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 所以函数在区间各有一个零点， 所以函数有三个零点，所以B正确； 对于C，由A知，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且，，且，， 所以函数在区间上的值域为，所以C错误； 对于D，令，可得， 由，所以为奇函数， 所以的对称中心为，则函数的对称中心为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接代入分段函数解析式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，由题意可得是的子集，根据区间长度列不等式计算得，进而可得或，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为函数在上单调递增，所以是的子集， 则，解得， 因为，解得， 因为，解得，所以或， 当时，有，解得，即； 当时，有，解得； 综上，的取值范围是 故答案为：. 14. 求值：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用两角和及二倍角的正切公式证明，再根据两角和与差的正切公式化简求解. 【详解】， . 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分． 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）若中，，且，求面积的最大值． 【答案】（1）对称中心为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）化简得，利用整体法可求函数的对称中心和单调递增区间； （2）由可得，利用余弦定理结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 由，得，所以函数的对称中心为， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，可得，所以， 因为，所以， 所以，解得， 由余弦定理可得： 则，所以，当且仅当时取等号， 由于面积 则面积的最大值 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接，， ，分别为，的中点. 且. 又，， 又，，且， 是平行四边形， 又平面，平面，平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面法向量，进而根据面面夹角余弦值的向量方法，求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，. 设平面的法向量， 则，即， 令，解得， 可得平面的一个法向量， 同理平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 17. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，令，得到，转化为，结合二次函数的性质，即可求解； （2）令，把不等式转化为对任意恒成立，分和，结合不等式的性质和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 令，可得， 则函数即为函数， 可得函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 令，可得， 则不等式对任意恒成立， 即为对于任意恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，即为恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 综上可得，实数的取值范围为. 18. 已知函数的图像在处的切线的斜率为3． （1）求的值； （2），且对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，得到，列出方程，求得的值. （2）根据题意，转化为对恒成立，令函数，求得，再令，求得单调递增，结合，得到，且，进而得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为函数在处的切线的斜率为，可得， 即，解得. 【小问2详解】 解：由（1）知：函数， 因为对恒成立，可得对恒成立， 令，可得， 再令，可得， 所以在上单调递增， 因为， 所以在上有唯一的实数根，满足，且， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以， 因为且，所以的最大值为. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】（1） （2） 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【小问1详解】 当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． 【小问2详解】 因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $