3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及推导应用，从圆锥曲线引言切入，通过生活实例和细绳实验引导学生从圆的定义迁移至椭圆定义，构建连贯的知识支架，帮助学生逐步理解椭圆的几何特征。 其亮点在于实验探究与数学抽象结合，用细绳固定两点画椭圆的实验让学生直观观察动点规律，培养数学眼光。方程推导步骤清晰，从建系到化简展现逻辑推理过程，发展数学思维。典例分析与表格小结助力学生用数学语言表达，提升应用能力，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

本章引言 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆． 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线。 椭圆 抛物线 双曲线 圆 圆锥曲线 第三章 3.1椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 学习目标： 1.理解并掌握椭圆的定义； 2.掌握椭圆的标准方程，及字母间的关系； 3.能根据已知条件求椭圆的标准方程，体会数形结合的数学思想。 重难点： 重点:感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及其标准方程。 难点:椭圆标准方程的建立和推导。 目标达成： 通过实验探究，感受椭圆的绘制过程，理解并掌握椭圆定义；利用求轨迹方程的方法，尝试推导椭圆的标准方程，掌握椭圆的标准方程。 一、情景引入 l l 问题1:生活中有哪些东西是椭圆形状的呢？ 宇宙中的椭圆 生活中的椭圆 二、新知探索 l 问题2:我们可以如何画椭圆呢？ 探究1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是怎样的图形？ 探究2：把细绳的两端拉开一段距离，固定在图板的两点，，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆 二、新知探索 l 问题2:我们可以如何画椭圆呢？ 实验：取一条细绳 (1)把细绳两端拉开一段距离（不拉直），将细绳两端固定在纸板上； (2)用笔尖勾住细绳绷紧，笔尖绕着细绳旋转一周， 画出运动的轨迹图形. 1.画的过程中，细绳两端的位置是固定还是运动的？ 2.绳子的长度是否发生了变化？ 3.绳子的长度与点M到两定点距离之和有什么关系？ 思考： 笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 一点O 两点 圆 椭圆 定长OM 定长 平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。 平面内，到两个定点F1 、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。 、 ？ 对比迁移 类比圆的定义，根据刚才的探究实验的原理，你们能尝试归纳概括出椭圆的定义吗？ 7 二、新知探索 l l 椭圆的定义： 平面内到两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 注意: （1）必须在平面内; （2）常数——轨迹上任意点到两定点距离和确 定. (常记作) （3） 集合语言表示：P＝{M| ,2a＞2c>0} |MF1|＋|MF2|＝2a 二、新知探索 l l 思考4：平面内到两个定点的距离的和等于的点的轨迹是什么图形？ 思考5：平面内到两个定点的距离的和小于的点的轨迹是什么图形？ 点轨迹为线段 点轨迹不存在 小结： 二、新知探索 l 问题3：结合圆的方程推导过程以及椭圆的定义，如何建立椭圆的方程？ 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、简洁 O x y M F1 F2 问题4：观察椭圆形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 求轨迹方程的一般步骤： 建系 设点 找限定条件 代数计算 化简 二、新知探索 l 如图示, 建立平面直角坐标系. 设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则 由定义知： F1 F2 M • • x y O (x,y) 问题5：如何化简该方程呢？ 整理得 两边再平方，得 移项 两边平方 三、概念形成 问题6：观察下图，你能从图中找出表示的线段吗？ F1 F2 P x y O 由图可知， 三、概念形成 思考3：如图，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为 ， ，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 容易知道，此时椭圆的方程是，这个方程也是椭圆的方程. 我们把叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点分别是 ，的椭圆，这里. l 三、概念形成 我们把叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点分别是 ，的椭圆，这里. l 我们把叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点分别是 ，的椭圆，这里. l 四、概念深化 l 思考4：以下的两种标准方程有怎样的特征？相同点和不同点是什么？ (1)焦点在x轴上： (2)焦点在y轴上： F1 F2 x y P F1 F2 0 x y 1.左边是两个分式的平方和，右边是1 （谁大落谁轴） 分母哪个大，焦点就在哪个轴上. 相同点： 2.三个参数满足且 不同点： 小试牛刀：下列方程表示的是不是椭圆？ 五、应用探索 2.判断正误. (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.( ) (2)到两定点和的距离之和为8的点的轨迹为椭圆.( ) 1.设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ). A.10 B.8 C.5 D.4 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）,焦点在轴上； （2），焦点在轴上； （3）. 五、典例分析 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程. l 解1: (定义法)由于椭圆的焦点在x轴上， 且关于O（0，0）对称， 故可设椭圆方程为 由椭圆的定义知c=2，则 故所求椭圆的标准方程为 解2: (待定系数法)由于椭圆的焦点在 x轴上，且关于O（0，0）对称， 故可设椭圆方程为 解得 故所求椭圆的标准方程为 五、典例分析 【方法说明】 2.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： 1. 求椭圆标准方程的主要方法有： 3.a, b, c 满足的关系有： 根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： （1）定“位”：即确定焦点的位置； (2)设方程：根据上述判断设方程 (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c的方程组．即求 a, b 的大小 . 7、归纳小结 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 a>b>0,且a2=b2+c2 焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0) 方程中的a2是x2的分母 焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c) 方程中的a2是y2的分母 求椭圆标准方程的方法：定义法、待定系数法 作业 谢谢大家！ $