专题38：抛物线 （5大考点+18大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题38 抛物线 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【重要结论】 1、点与抛物线的关系 2、焦半径 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 考点一 抛物线的定义及其应用 题型01：利用抛物线定义求动点轨迹 【名师点拨】根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程. 【例1】（2025·上海徐汇模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则_____ 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 【例2】（23-24高二下松江·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则___ 【分析】根据焦半径公式得到方程，求出. 【详解】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得． 【跟踪训练】 1．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【分析】根据题意，得到点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离，由抛物线的定义可得P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可算出点P的轨迹方程． 【解答】解：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x＝﹣2的距离大1， ∴将直线x＝﹣2向左平移1个单位，得到直线x＝﹣3， 可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离． 因此点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线， 设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得 3，得2p＝12， ∴抛物线的方程为y2＝12x，即为点P的轨迹方程． 故选：D． 【点评】本题给出满足条件的动点P，求点P的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题． 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在C上，若P到直线x＝﹣3的距离为5，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x， 则C的准线为x＝﹣1， 因为P到直线x＝﹣3的距离为5， 所以P到直线x＝﹣1的距离为3， 即|PF|＝3． 故选：A． 3．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，且|BF|＝8， 如图，过点A作准线的垂线，垂足为D， 则|AD|＝|AF|，， 所以， 设|AD|＝|AF|＝m， 则|AB|＝3m， 所以|BF|＝m+3m＝8， 解得|AF|＝m＝2． 故选：B． 题型02：利用抛物线求解最值问题 【名师点拨】“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． （1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”， （3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解． 【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 【例4】（2025·上海杨浦区高三阶段练习）已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_______ 【分析】由抛物线的定义可知d1＝|PF|，过点F作FE⊥m，交直线m于点E，当P在线段EF上时，d1+d2取得最小值． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 过点F作FE⊥m，交直线m于点E， 点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2， 由抛物线的定义可知，d1＝|PF|，所以当P在线段EF上时， d1+d2取得最小值， ． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于中档题． 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 2．已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为________ 【分析】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即可求解. 【详解】由抛物线，即， 又由抛物线表示开口向上，且焦点为，准线方程为， 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为点是抛物线上任意点，则点到焦点的距离等于点到的距离， 如图所示，过点作，可得， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 3．已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案. 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.    4．已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为________ 【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解 【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为， 又，，则点为抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为， 设，则，故， 由抛物线的定义可得， ， 又，则设故， 则， 当时，取得最小值为，则，， 将代入抛物线可得，所以 故选：A 5．已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    考点二 抛物线的标准方程 题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程 【名师点拨】（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 【例5】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【例6】（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程. 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 【跟踪训练】 1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 2．（2022·上海徐汇·统考三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 【答案】 【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得. 【解析】由题意可知，，， 可得， 所以， 由抛物线的定义得， 所以是等边三角形， 所以， 所以抛物线的方程是. 故答案为：. 3．以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x﹣3y+11＝0上，则此抛物线的标准方程是（　　） A．y2＝11x B．y2＝﹣11x C．y2＝22x D．y2＝﹣22x 【解答】解：∵4x﹣3y+11＝0，y＝0， ∴x， ∴抛物线的焦点为（，0）， 设抛物线的方程为：y2＝2px，则，即， ∴抛物线的标准方程是y2＝﹣11x． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础题． 4．记抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，E上一点A满足，则直线FA的斜率为（　　） A．±1 B． C．±2 D． 【分析】结合抛物线的定义，可求点A的横坐标，进而确定A点纵坐标，再根据斜率公式求直线FA的斜率． 【解答】解：记抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，E上一点A满足， 设A（xA，yA），由抛物线的定义可得，解得xA＝p， 代入E的方程可得，故直线FA的斜率为． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线相关知识，属于中档题． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是（　　） A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以2p（x1﹣x2），所以， 因为线段AB中点的纵坐标为3，直线l斜率为1，所以6＝2p，所以抛物线C的方程是y2＝6x． 故选：C． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，属于中档题． 题型04：特定系数法求抛物线的标准方程 【例7】（2025·上海闵行区高三阶段练习）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　 ． 【分析】根据题意，得到抛物线C经过（﹣2，1）与两点，设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），联立方程组，求得p＝2，即可得到C的方程． 【解答】解：因为点（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）两点， 因为在第一象限，（﹣2，﹣2）在第三象限， 即抛物线C不可能同时过和（﹣2，﹣2）两点， 所以抛物线C经过（﹣2，1）与两点， 设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），则，解得p＝2， 则C的方程为x2＝4y． 故答案为：x2＝4y． 【跟踪训练】 1.若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据对称关系求出点坐标，代入抛物线方程即可求出值，从而得到抛物线方程. 【详解】设，由于点关于直线的对称点为， 所以，解得， 由于点在上，所以，解得或， 由于，所以，则抛物线方程为 故选：D 3．（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可. 【详解】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有， 解得，所以抛物线方程为. 故选：C 4．（24-25高二下·海南海口·开学考试）（1）求焦点坐标分别为且经过点 的椭圆的标准方程； （2）求过点 的抛物线的标准方程． 【答案】（1） ；（2）或 【分析】（1）根据焦点位置设出标准方程，再利用椭圆的定义和性质求出方程中的参数； （2）对于抛物线，需要根据点的位置判断抛物线的开口方向，设出相应的标准方程，再代入点的坐标求出参数. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为 方法一：由椭圆的定义知 解得 又，所以 所以椭圆的标准方程为 方法二：因为所求椭圆过点，所以 . 又 可解得所以椭圆的标准方程为 （2）因为点 在第二象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或， 将点 代入，得 解得 所以抛物线方程为 将点 代入，得 解得， 所以抛物线方程为， 综上，所求抛物线的标准方程为 或. 题型05：求抛物线的轨迹方程 【名师点拨】（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； （2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 【例8】（2025·上海普陀区高三阶段练习）已知点满足，则的最小值为________ 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【答案】 【分析】设外心为，且，，， 根据外心的性质可求点G的轨迹方程. 【详解】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 【跟踪训练】 1．点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 【分析】由题意得，点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 【解答】解：∵点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2， ∴点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等． 根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0）， 由4得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x． 故选：B． 2．若动圆与圆相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题设，结合抛物线定义确定的轨迹，进而写出对应方程. 【详解】设圆的圆心，动圆圆心的，半径为， 作直线为垂足， 圆与相切，故圆到直线的距离，又， 因此到与直线的距离相等， 则的轨迹：焦点为，准线，顶点为且开口向左的抛物线， 所以，方程为. 故选：A 3.（23-24高二上·上海·专题训练）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设出点和点，由，得到这两个坐标的关系，再根据点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得，的关系，亦即轨迹方程． 【详解】设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 4．（2023高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    题型06：由抛物线的标准方程求参数 【例10】（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 【跟踪训练】 1．（2023·上海普陀·统考一模）若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 【答案】2 【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可. 【详解】，因为为正实数，则，则， 故答案为：2. 2．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：抛物线y2＝2x； 则焦点，准线方程为， 假设等边三角形的边长为a， 所以1﹣acos30°＝a或acos30°+1＝a， 则． 故选：D． 3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则∠OFA＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由F（1，0），得，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x． 设A（x0，y0），则△OFA的面积为，得， 代入y2＝4x，得x0＝3， 过点A作AB⊥x轴于点B，则，|AF|＝x0+1＝4． 在Rt△AFB中，有，则， 则． 故选：A． 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则sin∠OAF＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点， 由抛物线的性质可得：， 又|AF|＝2|BF|， 则， 则， 显然A在第一象限， 则， 则， 即， 在△AOF中，由正弦定理可得：， 即sin∠OAF． 故选：B． 考点三 抛物线的几何性质及应用 题型07：抛物线的开口方向、项点、对称轴、焦点与准线 【例11】（2025·上海黄浦区高三阶段练习）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2024·上海徐汇·一模）下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为， 由题意得，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：. 2．（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 3．（2024·上海奉贤·一模）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点，则，由于点到准线的距离为，可得， 因为点到轴的距离为，则，所以，，解得， 故抛物线的方程为，其焦点坐标为. 故答案为：. 4．下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是_______ (1)顶点坐标是 (2)对称轴方程为 (3)焦点坐标为 (4)准线方程为 【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得抛物线的图象可由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为抛物线即的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以(1)(3)说法正确. 5．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，第一象限的点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，且|PF|＝|QF|+3，|PQ|＝3．若x1+x2＝6，则抛物线C的准线方程为（　　） A． B．y＝﹣3 C．y＝﹣1 D．y＝﹣2$ 【解答】解：依题意．，即y1＝y2+3，则①． ，则②． x1+x2＝6③．联立②③，解得，，代入①中，解得p＝3， 故所求准线方程为． 故选：A． 6．（2022·上海宝山·统考一模）已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案． 【解析】将点代入抛物线方程，可得，故抛物线C的准线为，①错误； 抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，②正确； 由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为，交点，，联立方程，整理可得： ，且， 因为，所以，③正确； 因为，所以 ，所以，④错误 故选：B． 题型08：抛物线的焦半径公式 【名师点拨】若为抛物线上任意一点，则； ＋＝ ：= 【例12】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 【例13】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【解析】解法一：抛物线的准线． 设，． ∵，∴根据抛物线的定义，点到准线的距离为，∴，即． 又由，得，即． 解法二：根据=1，又，则=．（显然解法二计算量小） 【评注】（1）过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则，p是焦准距（焦点到对应准线的距离）； （2）掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷． 【跟踪训练】 1.（2025高三·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义计算求参即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以， 由抛物线的定义可知，，解得， 故选：D. 2．（2025上海高三三模）设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 3.已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13 【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为. 联立得方程组，整理，得. 由根与系数的关系可得. 所以 (当且仅当时等号成立). 所以的最小值为13. 4.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 5.已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算. 【详解】 由抛物线的定义得：，，易证， ∴， ∴ ∵， ∴， .∴， ∵， ∴为等边三角形. ∴直线的倾斜角. ∴，. ∴. 故答案为：3 6．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 题型09：抛物线的焦点弦问题 【名师点拨】已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 1、|AB|＝ 2、|AB|= 3、| AB |＝| AF |＋| BF |＝＋＝ . 4．， 【例14】抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线，即，，所以，故选D. 【例15】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E. 设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m. 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m， |BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝＝， 所以sin2θ＝. 又y2＝4x，所以2p＝4， 利用弦长公式|AB|＝＝. (方法二)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 【例16】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【分析】作出图形，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则根据题意易得cosθ＝cos∠PBQ，再根据抛物线的倾斜角的焦半径公式，即可求解． 【解答】解：如图，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ， 则由3，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|， ∴cosθ＝cos∠PBQ， 又|AF|＝p+|AF|cosθ， ∴|AF|3，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x． 故选：C． 【例17】已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则不正确的是（   ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【答案】C 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【详解】如图，作于点于点．    对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：C． 【跟踪训练】 1.经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________． 【答案】2 【解析】,设，的中点的横坐标为7， 2.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则___________。 解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有 ，又=3p+p=8，∴p=2 3．已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：， 如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为, 过点作的垂线，垂足为点, 设，直线的倾斜角为， 因为,所以， 由抛物线的定义：， 结合图形易知：, 所以， 在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 4．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l， 设直线l：x＝my+1， 联立可得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则y1y2＝﹣4， ∵，即（1﹣x1，﹣y1）＝4（x2﹣1，y2）， ∴﹣y1＝4y2，即， ∴，解得，则． ∴点M的横坐标为4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题． 5．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为k，则k＝ （　　） A．2 B．﹣2 C．2或 D． 【解答】解：当A在x轴上方时，过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1于D， 设|FB|＝r，则|AB|＝3r，|AD|＝r， 所以， 所以， 同理可得当A在x轴下方时，k的值为， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的定义和性质的应用，属于中档题． 6．（23-24高二上·上海·期中）过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，结合抛物线定义，将其转化为线段的比值问题，由已知条件求出关于的表达式，又，从而即可计算出斜率的取值范围. 【详解】如图，延长交准线于点，分别过点，作于，于， 设直线的倾斜角为，设，， 则，，可得， 所以， 因为上式是关于的减函数，又， 所以，所以， 又，所以的取值范围是， 故答案为：. 7．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 故选：A． 8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则不正确的是（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：B. 考点四 直线与抛物线的位置关系 题型10：直线与抛物线的位置关系 【名师点拨】直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 【例18】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【跟踪训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 2．（2025高三·安徽·阶段练习）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 3．（2025高三·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 题型11：抛物线的弦及弦长 【例19】（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（　　） A．16 B．26 C．14 D．24 【分析】由椭圆方程求得F的坐标，并求得p，设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数写出抛物线在A，B处的切线方程，结合已知求得A，B的横坐标的和，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系求得k，进一步求出A，B的纵坐标的和，再由抛物线的弦长公式求|AB|． 【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y． 设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣． ∴在点A处的切线方程为y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化简得y＝﹣x+，① 同理可得在点B处的切线为y＝﹣x+，② 联立①②得xM＝，由M的横坐标为4，得x1+x2＝8． 将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0． ∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1． ∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12． 得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与椭圆的简单性质，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 【跟踪训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到，，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到，再对条件合理变形，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可. 【详解】方法一：由已知得，直线的斜率不为0， 如图，设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得到，且易得， 则由韦达定理得，， 由弦长公式得， 故当时，取最小值，且该值为2，故C正确. 故选：C． 方法二：由二级结论得，易得， 而 ，当且仅当时等号成立，故C正确. 故选：C． 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确. 故选：C． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点， 因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为， 直线AB的方程为， 与抛物线联立得：， 则， 同理可得， 因此， 故选：D. 题型13：抛物线的中点弦问题 【名师点拨】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 【例20】（2025·上海杨浦区高三阶段练习）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是______ 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 【例21】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【跟踪训练】 1．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 2．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 3．已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设，所以①，②， 所以，①②得：，即， 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以抛物线，准线方程为. 故选：B 4．斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2， 联立，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0， 若线段AB的中点为（3，1）， 则，解得（负值舍去）． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题． 5．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为x2＝8y，再利用点差法，即可求解． 【解答】解：由抛物线C：x2＝2py的准线为y＝﹣2， 可得， 可得p＝4， 所以x2＝8y， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 可得，且x1+x2＝﹣4， 两式相减，可得， 可得， 所以直线PQ的方程为， 即x+2y﹣6＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的几何性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 6．已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　　 ． 【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以， 整理得2p，即（y1+y2）•kAB＝2p， 由抛物线标准方程为y2＝2x，以及M（2，1）为弦AB的中点知，2kAB＝2，所以kAB＝1． 故答案为：1． 题型14：抛物线的切线方程 【名师点拨】抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 【例22】（22-23闵行高二期中）已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________ 【分析】由抛物线方程得到坐标；设过的抛物线的切线方程为：， 联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，不妨设， 利用抛物线焦半径公式求得，勾股定理求出；由双曲线定义可知，又焦距，可求得离心率. 【详解】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：， 联立得：，得，令，得， 即，不妨设，由双曲线的定义得， ，则该双曲线的离心率为，． 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是利用联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，从而得到所需的焦半径的长度. 【例23】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【跟踪训练】 1．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为（　　） A． B．2x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D． 【解答】解：因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，且|AF|＝4， 所以：yA4，可得yA＝4﹣1＝3， 故xA2， 又yx2，可得y′x， 故x＝2时，k＝y′． 可得抛物线C在点A处的切线方程为：y﹣3（x﹣2），即x﹣y﹣3＝0． 故选：A． 2.已知点R（x0，2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|RF|＝3，则下列不正确的是（　　） A． B．C的准线方程是y＝﹣1 C．点Q在抛物线上 D．点P在C的准线上 【分析】根据焦半径公式求出p的值，即可得抛物线方程及其准线方程，从而判断选项A和B；设直线AB的方程为y＝kx+1，，（x1≠x2），将其与抛物线方程联立，结合中点坐标公式表示出Q点坐标，即可判断选项C；利用导数的几何意义表示出切线方程，联立求得P点坐标，即可判断选项D． 【解答】解：选项A，由题意知，，准线方程为， 因为|RF|＝3，所以，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y， 将点R（x0，2）代入抛物线方程，有，解得，故选项A错误； 选项B，抛物线的准线方程为y＝﹣1，故选项B正确； 选项C，设直线AB的方程为y＝kx+1，，（x1≠x2）， 联立，得x2﹣4kx﹣4＝0， 则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4， 所以AB的中点Q的横坐标，纵坐标，即Q（2k，2k2+1）， 显然成立， 所以点Q在抛物线上，故选项C正确； 选项D，由，得， 所以抛物线C在A，B两点处的切线方程分别为，， 两直线方程相减得，， 解得， 所以， 即P（2k，﹣1）， 所以点P在抛物线C的准线上，故选项D正确． 故选：A． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，熟练掌握抛物线的几何性质，焦半径公式，切线方程的求法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 3．已知F为抛物线C：x2＝﹣8y的焦点，过直线l：y＝4上的动点M作抛物线的切线，切点分别是P，Q，则直线PQ过定点 　　 ． 【解答】解：已知， 则， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则切线MP的方程为， 即， 同理切线MQ的方程为， 设M（x0，4）， 则， 即直线PQ的方程为， 即直线PQ过定点（0，﹣4）． 故答案为：（0，﹣4）． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 考点五 抛物线的综合 题型15：抛物线的面积问题 【名师点拨】利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比． 【例24】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，确定坐标，得到直线方程，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. 【详解】 如图，不妨设在轴下方， 因为，且 所以，由抛物线方程可得， 则， 所以直线方程为：， 联立抛物线方程消去得：， 化简得：， 所以， 则， 到直线的距离， 所以的面积为， 故选：B 【例25】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标； （2）当直线AB，CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB，CD斜率存在时，设直线MN与线段AC，BD交点为P，Q，证明P，Q重合即P，Q为H时可证明结论； （3）由（2）结合，可得，后由，可得与四边形面积组成部分的比例关系，即可得答案. 【详解】（1）因抛物线方程为，则焦点坐标为； （2）证明：设. 若，则直线AB，CD斜率不存在， 由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：，方程：， BD方程：.设， 因，则. 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为. 将代入直线AC方程， 则； 将代入直线BD方程， 则. 注意到 ，又，则P，Q两点重合， 即P，Q为线段与交点H，且点三点共线； （3）由（2），直线MN与x轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 . 如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形， 结合，则，. 因，则，结合， 则，又M为AB中点，则N为DE中点. 则， 则四边形的面积. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积. 【跟踪训练】 1.已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】设，，由导数的几何意义求出点处的切线方程，同理可得处的切线方程，即可求出直线的方程，与联立，求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】设，，由，得，所以， 所以在点处的切线方程为，即， 又因为点在上，所以， 所以得到点处的切线方程为，即， 又因为点处的切线过点，故， 所以，同理可得， 所以直线的方程为. 联立整理得，所以，， 所以， 点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 2.如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积. 【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 3.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果. 【详解】依题意，抛物线焦点为， 则直线的方程为， 设， 联立，整理得， 则恒成立， 所以， 则， 所以梯形的面积 ， 解得.    故选：C 4.已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 题型16：抛物线的定点、定值、定直线问题 【例26】（25-26高三·上海·开学考试）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)直线恒过点． 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； （2）由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【跟踪训练】 1．（25-26高三·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 3．（2023•黄浦区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点． （1）若直线l的方程为y＝x﹣1，求线段AB的长； （2）若直线l经过点P（﹣1，0），点A关于x轴的对称点为A′，求证：A′、F、B三点共线； （3）若直线l经过点M（8，﹣4），抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+P，即可得出答案． （2）设直线l的方程为y＝k（x+1），A′（x1，﹣y1），B（x2，y2），写出直线A′F的斜率为kA′F，直线BF的斜率为kBF，即可得出答案． （3）假设存在点N（，y0）使以弦AB为直径的圆恒过点N，则•＝0，解出N点坐标即可． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得x2﹣6x+1＝0， 所以x1+x2＝6， 因为抛物线的方程为y2＝4x， 所以抛物线的焦点F（1，0）， 又直线l：y＝x﹣1过抛物线的焦点F（1，0）， 所以由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+P＝6+2＝8． （2）证明：设直线l的方程为y＝k（x+1），A′（x1，﹣y1），B（x2，y2）， 联立，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0， 所以x1x2＝1，即x2＝， 直线A′F的斜率为kA′F＝＝， 直线BF的斜率为kBF＝＝＝＝﹣， 所以kA′F＝kBF， 所以A′、F、B三点共线． （3）假设存在点N（，y0）使以弦AB为直径的圆恒过点N， 设过点M（8，﹣4）直线l的方程为x＝m（y+4）+8， 联立，得y2﹣4my﹣16m﹣32＝0， 设A（，y1），B（，y2）， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16m﹣32， 因为点N总在以弦AB为直径的圆上， 所以∠ANB＝90°， 所以•＝0， 又＝（﹣，y1﹣y0），＝（﹣，y2﹣y0）， 所以（﹣）（﹣）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝0， 所以（y1﹣y0）（y2﹣y0）[+1]＝0， 当y1＝y0或y2＝y0，等式成立， 当y1＝≠0或y2≠y0，有（y1+y0）（y2+y0）＝﹣16， 所以y1y2+y0（y1+y2）+y02+16＝0， 则y02﹣4my0﹣16m﹣16＝0， 即4m（y0﹣4）+（y0﹣4）（y0+4）＝0， 所以当y0＝4时，无论m取何值等式都成立， 将y0＝4代入y2＝4x，得x0＝4， 所以存在点N（4，4）使得以弦AB为直径的圆恒过点N． 【点评】本题考查抛物线的定义，以及直线与圆和抛物线的位置问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 4．（2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 【答案】(1) (2) (3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【解析】（1）抛物线的焦点为，准线为， 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则， 故双曲线C的离心率. （2）由（1）可知：， 过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且， ∴， 故直线EP的倾斜角，斜率， ∴直线EP的方程为，即. （3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下： 设直线， 联立方程，消去y可得：， 则可得：， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得：， ∵ ， ， 则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点. 题型17：抛物线的最值与范围问题 【例28】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）设过的直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再根据可得，设的方程分别为，则是的两根，再表达出的表达式，利用基本不等式求解即可 （1） 由焦半径公式有，解得，故抛物线，故， （2） 显然斜率不为0，故设过的直线方程为，联立抛物线方程有，即，设，则.. 设，则，因为，所以，即，代入韦达定理有，化简得. 设的方程分别为，则是的两根，故，.又与轴的交点分别为和，故，当且仅当时取等号 故的最大值为 【跟踪训练】 1．（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 2．（2023•徐汇区三模）在直角坐标平面中，抛物线Γ1是由抛物线y＝x2按平移得到的，Γ1过点A（1，0）且与x轴相交于另一点B．曲线Γ2是以AB为直径的圆．称Γ1在x轴上方的部分、Γ2在x轴下方的部分以及点A、B构成的曲线为曲线Ω，并记Γ1在x轴上方的部分为曲线Ω1，Γ2在x轴下方的部分为曲线Ω2． （1）写出抛物线Γ1和圆Γ2的方程； （2）设直线y＝k（x﹣1）与曲线Ω有不同于点A的公共点P、Q，且∠QBA＝∠PBA，求k的值； （3）若过曲线Ω2上的动点M（x1，y1）（x1＞0）的直线l与曲线Ω恰有两个公共点M、N，且直线l与x轴的交点在A点右侧，求的最大值． 【分析】（1）由平移可知抛物线Γ1：y＝x2向下平移1个单位得到Γ1的方程y＝x2﹣1，进而可得A，B坐标，即可得出答案． （2）联立y＝k（x﹣1）与圆方程，结合韦达定理可得P点的坐标，联立直线y＝k（x﹣1）与抛物线的方程为，得Q点坐标，由∠QBA＝∠PBA，得tan∠QBA＝tan∠PBA，即 ＝，则＝k﹣2，解得k，即可得出答案． （3）设N（x2，y2），根据题意可得直线l斜率k1存在，设直线l的方程为y＝k1（x﹣t），t＞1，分两种情况：若N在Γ2上，若N在曲线Ω1上，讨论•的最大值，即可得出答案． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2上的点（1，1）按＝（0，﹣1）得到点（1，0）， 所以抛物线Γ1：y＝x2向下平移1个单位得到，则Γ1的方程y＝x2﹣1， 抛物线Γ1与x轴相交于点A（1，0），B（﹣1，0）， 所以以AB为直径的圆Γ2的方程为x2+y2＝1． （2）将y＝k（x﹣1）与圆方程联立，得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0， 因为xA＝1， 所以1•xP＝，即xp＝， 代入直线方程P（，）， 联立直线y＝k（x﹣1）与抛物线的方程为，得Q（k﹣1，k2﹣2k）， 所以tan∠PBA＝＝，tan∠QBA＝＝k﹣2， 因为∠QBA＝∠PBA， 所以tan∠QBA＝tan∠PBA， 解得k＝1±， 由yP＝﹣＜0，可得k＞0， 所以k＝1+． （3）设N（x2，y2），根据题意可得直线l斜率k1存在，设直线l的方程为y＝k1（x﹣t）， 由直线l与x轴的交点在A点的右侧，得t＞1， 若N在Γ2上，则•＝x1x2+y1y2≤+＝1， 若N在曲线Ω1上，因为直线l与x轴的交点在A点右侧， 所以斜率大于0，则N点在第一象限， 由直线l与曲线Ω恰有两个公共点M、N可知l与曲线Ω1、曲线Ω2各有且仅有一个公共点， 因为直线l与x轴的交点在A点右侧以及斜率大于0知直线l与圆Γ2在x轴及其上方无公共点， 所以直线l与曲线Ω2相切于点M， 于是有﹣﹣k1（x﹣t）≥0，当且仅当x＝x1∈（0，1）时，等号成立， 因为x∈（﹣1，1）时，x2﹣1﹣（﹣）＝（1﹣）≥0，当且仅当x∈{﹣1，0，1}时等号成立， 所以x2﹣1﹣k1（x﹣t）＞0， 即直线l与抛物线Γ1在x轴下方部分无公共点， 所以直线l与曲线Ω1相切于点N， 于是可得直线l2的方程为y＝2x2•x﹣，且满足＝1， 由＞1，得＝2+， 此时x2＝＞1， 可求得x1＝∈（0，1）， 直线l2与曲线Ω1相切于点N，曲线Ω2相切点M，符合题意， 所以•＝||2＝1． 【点评】本题考查圆的方程，直线与圆，抛物线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题． 题型17：抛物线的探究性问题 【名师点拨】抛物线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法. 【例29】（25-26高二·重庆·阶段练习）已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）设出直线方程，根据直线与圆相切求出斜率，然后联立抛物线方程求出的坐标，然后可求得三角形面积； （2）设出直线，联立抛物线方程求出的坐标，由斜率公式可得； （3）利用特例求出，然后点、、，写出直线的方程，结合圆心到直线的距离等于半径即可得证. 【详解】（1）当时，圆与轴不相切， 设过原点与圆相切的直线方程为， 联立消去得：， 由得， 不妨记直线的方程为，代入得：， 解得或，所以，由对称性可知，， 所以. （2）由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数， 设直线的方程为，即，， 联立得， 则，，即， 同理可得，又， 所以直线的斜率. （3）设，由题意可知，圆与抛物线没有交点， 当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称， 若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合， 此时直线方程为，直线的方程为，即， 依题意，，得 又，所以，解得或（舍去）， 所以. 所以，当点在抛物线E上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则， 下证时，直线始终与圆相切： 如图，由上可知，三点的横坐标各不相等， 设点、、， 则直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为， 所以直线的方程为， 因为直线与圆相切，则，即， 同理由直线与圆相切得， 则、为方程的两个不等的实根， 则，， 点到直线的距离为， 即直线与圆相切， 综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切. 【跟踪训练】 1．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果. 【详解】（1）设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. （2）设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. （3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线斜率必然存在，设其方程为， 代入中，得， 设、，则，， 因为，且， 所以， 显然，，则， 所以 故，即． 由题意，得，因此. 2．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．    (1)求与的方程； (2)若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值； (3)是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）依题意列标准方程即可求解； （2）依题意联立方程后利用韦达定理给出中点坐标，代入已求方程即可求解； （3）先设出切线方程，和抛物线方程联立后表示出所截线段的长度，用导数即可求解. 【详解】（1）设，则，解得，故， 依题意有. （2）设被所截得的线段为，中点为， 联立和有，故， 故，代入得： ，解得. （3）如图，在的上方时，抛物线和圆无交点，联立和有 且，解得， 显然，切线斜率存在，设切线方程为， 由为四分之一圆知， 又圆心到切线的距离等于半径：，故， 切线方程为，与联立得， 设被所截得的线段为，则， ， 记，则，， 记，则， 依题意有：对给定的，使得和有两个交点， 由知 使即可， 否则在上单调，不存在使得， 而，故只需， 解得， 综上所述：. 【点睛】（3）先用切线满足的条件消去，再联立得所截线段长的表达式，依题意有两正根，结合导数即可求解. 题型18：抛物线中的几何证明 【例30】（2023•青浦区二模）如图，已知A、B、C是抛物线Γ1：x2＝y上的三个点，且直线CB、CA分别与抛物线Γ2：y2＝4x相切，F为抛物线Γ1的焦点． （1）若点C的横坐标为x3，用x3表示线段CF的长； （2）若CA⊥CB，求点C的坐标； （3）证明：直线AB与抛物线Γ2相切． 【分析】（1）根据抛物线的几何性质，焦半径公式，即可求解； （2）设而不求，根据韦达定理，方程思想，即可求解； （3）设而不求，根据韦达定理，化归转化思想，即可证明． 【解答】解：（1）因为点C的横坐标为x3，所以， 又Γ1的准线，∴； （2）显然直线CB，CA的斜率都存在， 设，则过点C的抛物线Γ2的切线方程为， 由，得， 令，则k的两个解k1，k2分别为直线CB，CA的斜率， ∵CA⊥CB，∴，∴x3＝﹣1，∴C（﹣1，1）； （3）证明：设，直线， 即（x3+x1）x﹣y﹣x1x3＝0， 由，得， 又直线CA与抛物线相切，∴Δ＝1+4x1x3（x1+x3）＝0， 又直线CB与抛物线相切，同理可得1+4x2x3（x2+x3）＝0， 又x1，x2是方程1+4x3x（x+x3）＝0，即的两根， ∴x1+x2＝﹣x3，，∴1+4x2x1（x2+x1）＝0， ∴直线AB与抛物线Γ2相切． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法，韦达定理，方程思想，化归转化思想，属中档题． 【跟踪训练】 1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，通过代数运算求解向量点积. （2）根据弦长公式先求，利用中点到轴的距离为半径，建立方程求解即可； （3）由题知与有相同底边，要证三角形面积相等，转化为证，设点，，同理可得，设点，利用，，三点共线可得，然后即可证，从而得证与的面积相等. 【详解】（1） 由题意，直线不与轴重合，设的方程. 代入，并整理得. 由，得或. 设点，，则，. 所以. （2）由弦长公式，得. 线段的中点到轴的距离. 又，故. 由，得，解得（均满足）. 所以直线的方程为. （3）设点，，同理可得. 又直线的斜率. 由，，得. 设点，由，，三点共线，得. 化简，得. 又直线的斜率，故. 所以，故与的面积相等. 1．【2024年上海市高考数学第7题】已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 2．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】如图所示，因为点到直线的距离， 点到直线的距离． 由方程可知，是抛物线的准线， 又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等， 故． 故选：． 3．（2023•全国）抛物线过点，求焦点　　 A．， B．， C． D． 【解析】抛物线过点， 则，解得， 故该抛物线的焦点为． 故选：． 4．（2022•全国）以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是　　 A． B． C． D． 【解析】以为焦点，轴为准线的抛物线中， 所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为， 即该抛物线的方程为：， 故选：． 5．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为　　． 【解析】法一：由题意，不妨设在第一象限，则，，，． 所以，所以的方程为：， 时，， ，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为：． 法二：根据射影定理，可得，可得，解得， 因此，抛物线的准线方程为：． 故答案为：． 6．（2020•新课标Ⅰ）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则　　 A．2 B．3 C．6 D．9 【解析】为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9， 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 故有：； 故选：． 7．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　． 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可． 【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E， 由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4， ∴， ∴直线AB的斜率． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题． 8．（2023•上海）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）． （1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值； （2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离； （3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得点A的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得a的值； （2）易知A（4，4），设B（b，0），由AB的中点在抛物线上，可得b的值，进而得到直线AB的方程，再由点到直线的距离公式得解； （3）设，表示出直线AP的方程，进一步表示出点Q的坐标，再根据|HQ|＞4恒成立，结合基本不等式即可得到a的范围． 【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1， 由于A到抛物线Γ准线的距离为3， 则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0）， 解得； （2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4）， 设B（b，0），则AB的中点为， 由题意可得，解得b＝﹣2， 所以B（﹣2，0）， 则， 由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0， 所以原点O到直线AB的距离为； （3）如图， 设，则， 故直线AP的方程为， 令x＝﹣3，可得，即， 则， 依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2， 又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立， 而a≠t，即当a＝2时，也符合题意． 故实数a的取值范围为（0，2]． 【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 9．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点． （1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离； （2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数； （3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）点M的横坐标xM＝（）2＝2，由y2＝x，得p＝，由此能求出M与焦点的距离． （2）设M（），直线PM：y﹣1＝（x﹣1），当x＝﹣1时，，同理求出yB＝，由此能证明yA•yB为常数． （3）解设M（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0＝（x﹣y02），联立y2＝x，得+＝0，求出yP＝，同理得yQ＝，由此能求出存在t＝1，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数1． 【解答】解：（1）解：∵抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0）， 过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点． 点M纵坐标为， ∴点M的横坐标xM＝（）2＝2， ∵y2＝x，∴p＝， ∴M与焦点的距离为MF＝＝2+＝． （2）证明：设M（），直线PM：y﹣1＝（x﹣1）， 当x＝﹣1时，， 直线QM：y+1＝（x﹣1），x＝﹣1时，yB＝，∴yAyB＝﹣1， ∴yA•yB为常数﹣1． （3）解：设M（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0＝（x﹣y02）， 联立y2＝x，得+＝0， ∴y0+yp＝，即yP＝， 同理得yQ＝， ∵yA•yB＝1， ∴yPyQ＝， 要使yPyQ为常数，即t＝1，此时yPyQ为常数1， ∴存在t＝1，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数1． 【点评】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题38 抛物线 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【重要结论】 1、点与抛物线的关系 2、焦半径 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 考点一 抛物线的定义及其应用 题型01：利用抛物线定义求动点轨迹 【名师点拨】根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程. 【例1】（2025·上海徐汇模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则_____ 【例2】（23-24高二下松江·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则___ 【跟踪训练】 1．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在C上，若P到直线x＝﹣3的距离为5，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 题型02：利用抛物线求解最值问题 【名师点拨】“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． （1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”， （3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解． 【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【例4】（2025·上海杨浦区高三阶段练习）已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_______ 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 2．已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为________ 3．（2023·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 4．已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为________ 5．已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 考点二 抛物线的标准方程 题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程 【名师点拨】（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 【例5】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例6】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 2．（2022·上海徐汇·统考三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 3．以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x﹣3y+11＝0上，则此抛物线的标准方程是（　　） A．y2＝11x B．y2＝﹣11x C．y2＝22x D．y2＝﹣22x 4．记抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，E上一点A满足，则直线FA的斜率为（　　） A．±1 B． C．±2 D． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是（　　） A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 题型04：特定系数法求抛物线的标准方程 【例7】（2025·上海闵行区高三阶段练习）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　 ． 【跟踪训练】 1. 若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·海南海口·开学考试）（1）求焦点坐标分别为且经过点 的椭圆的标准方程； （2）求过点 的抛物线的标准方程． 题型05：求抛物线的轨迹方程 【名师点拨】（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； （2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 【例8】（2025·上海普陀区高三阶段练习）已知点满足，则的最小值为________ 【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【跟踪训练】 1．点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 2．若动圆与圆相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（  ） A．B．C．D． 3.（23-24高二上·上海·专题训练）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 4．（2023高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 题型06：由抛物线的标准方程求参数 【例10】（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【跟踪训练】 1．（2023·上海普陀·统考一模）若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 2．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则∠OFA＝（　　） A． B． C． D． 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则sin∠OAF＝（　　） A． B． C． D． 考点三 抛物线的几何性质及应用 题型07：抛物线的开口方向、项点、对称轴、焦点与准线 【例11】（2025·上海黄浦区高三阶段练习）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【跟踪训练】 1．（2024·上海徐汇·一模）下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 3．（2024·上海奉贤·一模）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 4．下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是_______ (1)顶点坐标是 (2)对称轴方程为 (3)焦点坐标为 (4)准线方程为 5．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，第一象限的点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，且|PF|＝|QF|+3，|PQ|＝3．若x1+x2＝6，则抛物线C的准线方程为（　　） A． B．y＝﹣3 C．y＝﹣1 D．y＝﹣2$ 6．（2022·上海宝山·统考一模）已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型08：抛物线的焦半径公式 【名师点拨】若为抛物线上任意一点，则； ＋＝ ：= 【例12】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例13】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【跟踪训练】 1.（2025高三·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025上海高三三模）设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 4.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 5.已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 6．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型09：抛物线的焦点弦问题 【名师点拨】已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 1、|AB|＝ 2、|AB|= 3、| AB |＝| AF |＋| BF |＝＋＝ . 4．， 【例14】抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则( ) A． B． C． D． 【例15】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【例16】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【例17】已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则不正确的是（   ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【跟踪训练】 1.经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________． 2.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则___________。 3．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 4．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 5．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为k，则k＝ （　　） A．2 B．﹣2 C．2或 D． 6．（23-24高二上·上海·期中）过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 7．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则不正确的是（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 考点四 直线与抛物线的位置关系 题型10：直线与抛物线的位置关系 【名师点拨】直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 【例18】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2025高三·安徽·阶段练习）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025高三·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型11：抛物线的弦及弦长 【例19】（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（　　） A．16 B．26 C．14 D．24 【跟踪训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 题型13：抛物线的中点弦问题 【名师点拨】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 【例20】（2025·上海杨浦区高三阶段练习）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是______ 【例21】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 5．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 6．已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　　 ． 题型14：抛物线的切线方程 【名师点拨】抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 【例22】（22-23闵行高二期中）已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________ 【例23】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为（　　） A． B．2x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D． 2.已知点R（x0，2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|RF|＝3，则下列不正确的是（　　） A． B．C的准线方程是y＝﹣1 C．点Q在抛物线上 D．点P在C的准线上 3．已知F为抛物线C：x2＝﹣8y的焦点，过直线l：y＝4上的动点M作抛物线的切线，切点分别是P，Q，则直线PQ过定点 　　 ． 考点五 抛物线的综合 题型15：抛物线的面积问题 【名师点拨】利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比． 【例24】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例25】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 【跟踪训练】 1.已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 2.如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 3.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 4.已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 题型16：抛物线的定点、定值、定直线问题 【例26】（25-26高三·上海·开学考试）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【跟踪训练】 1．（25-26高三·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 3．（2023•黄浦区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点． （1）若直线l的方程为y＝x﹣1，求线段AB的长； （2）若直线l经过点P（﹣1，0），点A关于x轴的对称点为A′，求证：A′、F、B三点共线； （3）若直线l经过点M（8，﹣4），抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 题型17：抛物线的最值与范围问题 【例28】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【跟踪训练】 1．（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 2．（2023•徐汇区三模）在直角坐标平面中，抛物线Γ1是由抛物线y＝x2按平移得到的，Γ1过点A（1，0）且与x轴相交于另一点B．曲线Γ2是以AB为直径的圆．称Γ1在x轴上方的部分、Γ2在x轴下方的部分以及点A、B构成的曲线为曲线Ω，并记Γ1在x轴上方的部分为曲线Ω1，Γ2在x轴下方的部分为曲线Ω2． （1）写出抛物线Γ1和圆Γ2的方程； （2）设直线y＝k（x﹣1）与曲线Ω有不同于点A的公共点P、Q，且∠QBA＝∠PBA，求k的值； （3）若过曲线Ω2上的动点M（x1，y1）（x1＞0）的直线l与曲线Ω恰有两个公共点M、N，且直线l与x轴的交点在A点右侧，求的最大值． 题型18：抛物线的探究性问题 【名师点拨】抛物线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法. 【例29】（25-26高二·重庆·阶段练习）已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】 1．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 2．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．    (1)求与的方程； (2)若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值； (3)是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型19：抛物线中的几何证明 【例30】（2023•青浦区二模）如图，已知A、B、C是抛物线Γ1：x2＝y上的三个点，且直线CB、CA分别与抛物线Γ2：y2＝4x相切，F为抛物线Γ1的焦点． （1）若点C的横坐标为x3，用x3表示线段CF的长； （2）若CA⊥CB，求点C的坐标； （3）证明：直线AB与抛物线Γ2相切． 【跟踪训练】 1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 1．【2024年上海市高考数学第7题】已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 2．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则　　 A．7 B．6 C．5 D．4 3．（2023•全国）抛物线过点，求焦点　　 A．， B．， C． D． 4．（2022•全国）以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是　　 A． B． C． D． 5．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为　　． 6．（2020•新课标Ⅰ）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则　　 A．2 B．3 C．6 D．9 7．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　． 8．（2023•上海）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）． （1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值； （2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离； （3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围． 9．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点． （1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离； （2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数； （3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $