专题4 重难突破8 概率与数列、函数的融合创新问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P173] 1．(2025·安徽安庆模拟)2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算(AI for Science)的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级．未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代．现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天(S)和雨天(R)，变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴． 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用Pn表示，求Pn的表达式． 解析　(1)由题意可知：X的值可以为0，1，2，3. 且P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)由题意，数列中：P1＝，Pn＝Pn－1×＋×＝Pn－1＋. 设Pn＋x＝⇒Pn＝Pn－1－x， 令－x＝⇒x＝－. 所以Pn－＝，且P1－＝－＝. 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 所以Pn－＝×n-1＝×n⇒Pn＝×＋. 2．(2025·湖南部分学校大联考)将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标xi和区域内该植物分布的数量yi(i＝1，2，…，15)，得到数组(xi，yi).已知2＝45， (yi－2＝8000， ＝480. (1)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，15)的相关系数； (2)假设该植物的寿命为随机变量X(X可取任意正整数).研究人员统计大量数据后发现：对于任意的k∈N*，寿命为k＋1的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”． (ⅰ)求P(X＝k)(k∈N*)的表达式； (ⅱ)推导该植物寿命的期望E(X). 附：相关系数r＝. 解析　(1)由2＝45，2＝8000， ＝480， 得相关系数r＝＝＝0.8. (2)(ⅰ)依题意，P(X＝1)＝P(X＝k＋1|X>k)＝0.1，又P(X＝k＋1|X>k)＝，则P(X＝k＋1)＝0.1P(X>k)①， 当k≥2时，把k换成k－1， 得P(X＝k)＝0.1P(X>k－1)②， ①－②，得P(X＝k)－P(X＝k＋1)＝0.1P(X＝k)，即＝0.9(k≥2)， 又P(X＝2)＝0.1P＝0.1×(1－P(X＝1))＝0.9P(X＝1)，于是＝0.9对任意 k∈N*都成立， 从而{P(X＝k)}是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，所以P(X＝k)＝0.1×0.9k-1. (ⅱ)由定义知，E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＋…＋kP(X＝k) ＝0.1×0.90＋0.2×0.91＋…＋0.1×(k－1)×0.9k-2＋0.1×k×0.9k-1 ＝0.1[0.90＋2×0.91＋…＋(k－1)×0.9k-2＋k×0.9k-1]， 令Tk＝1×0.90＋2×0.91＋…＋(k－1)×0.9k-2＋k×0.9k-1， 则0.9Tk＝1×0.91＋2×0.92＋…＋(k－1)×0.9k-1＋k×0.9k， 两式相减得 0.1Tk＝1＋0.91＋0.92＋…＋0.9k-1－k×0.9k＝－k×0.9k＝10－(k＋10)×0.9k， 因此 E(X)＝0.1Tk＝10－k×0.9k－10×0.9k，当k足够大时，k×0.9k≈0，10×0.9k≈0，则E(X)≈10，可认为E(X)＝10.所以该植物寿命的期望E(X)是10. 3．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢k(k>1，k∈N*)局，谁便赢得全部奖金a元．假设每局甲赢的概率为p(0<p<1)，乙赢的概率为1－p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m(m<k)局，乙赢了n(n<k)局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金． (1)若k＝3，m＝2，n＝1，p＝，求P甲∶P乙； (2)记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝2时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f(p)，并判断当≤p<1时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件． 解析　(1)设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多再进行2局，当X＝1时，甲以3∶1赢，P(X＝1)＝，当X＝2时，甲以3∶2赢，P(X＝2)＝×＝，因此甲赢的概率为＋＝，则乙赢的概率为1－＝，所以P甲∶P乙＝15∶1. (2)设比赛再继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，当Y＝2时，乙以4∶2赢，P＝，当Y＝3时，乙以4∶3赢，P＝Cp＝2p， 于是得乙赢得全部奖金的概率P(A)＝＋2p＝， 甲赢得全部奖金的概率f＝1－，≤p<1， f′＝－2－2(1－p)(－1)＝6p>0，即函数f(p)在上单调递增， 则有f＝f＝，因此乙赢的概率最大值为1－＝≈0.055 4<0.06，所以事件A是小概率事件． 4．(2025·烟台三模)某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是，开黄色花的概率是；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为，开黄色花的概率为.设第n代开粉红色花的概率为Pn. (1)求第2代开黄色花的概率； (2)证明： <2. 解析　(1)设事件Ai表示第i代开粉红色花，事件Bi表示第i代开黄色花， 由题意可得P(B2)＝P(A1)P＋P(B1)·P＝×＋×＝， 所以第2代开黄色花的概率为. (2)证明　由题可知P1＝，Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)，即Pn＝Pn－1＋. 设Pn＋λ＝， 则Pn＝Pn－1－λ，－λ＝， 解得λ＝－， 即Pn－＝， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则Pn－＝×n-1， 即Pn＝＋×n-1.因此 ＝ ＝－， 则 ＝－＋－＋…＋－＝2－<2，所以 <2. 学科网（北京）股份有限公司 $