专题4 重难突破7 体育比赛与闯关问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P171] 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解析　(1)记事件M＝“甲连胜四场”，则P＝＝. (2)记事件A＝“甲输”，事件B＝“乙输”，事件C＝“丙输”，则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×＝，所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝. (3)记事件M＝“甲最终获胜”，事件N＝“丙最终获胜”，则甲最终获胜的基本事件包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，所以P＝＋7×＝.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以P＝1－2×＝. 2．(2025·安徽蚌埠模拟)某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立． (1)求甲代表队夺冠的概率； (2)比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 解析　(1)记甲代表队夺冠为事件A，甲代表队以2∶0夺冠为事件A1，2∶1夺冠为事件A2， P(A1)＝0.6×0.6＝0.36， P(A2)＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288， P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.36＋0.288＝0.648， 所以甲代表队夺冠的概率为0.648. (2)比赛2局结束的概率为0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52， 比赛3局结束的概率为1－0.52＝0.48， 随机变量X的可能取值为2，3，4， P(X＝4)＝0.52×＋0.48××＝0.123 2， P(X＝2)＝0.48××＝0.230 4， P(X＝3)＝0.52×＋0.48××＋0.48××＝0.646 4， 故随机变量X的分布列为 X 2 3 4 P 0.230 4 0.646 4 0.123 2 E(X)＝2×0.230 4＋3×0.646 4＋4×0.123 2＝2.892 8. 3．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1)，且不同对阵的结果相互独立． (1)若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 解析　(1)①记“甲获得第四名”为事件A，则P(A)＝(1－0.6)2＝0.16. ②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X， 则X的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：P(X＝2)＝(1－0.6)2＝0.16； X＝3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负． P(X＝3)＝0.62＋(1－0.6)×0.6×(1－0.6)＋0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.552； P(X＝4)＝(1－0.6)×0.6×0.6＋0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288. 故X的分布列如下 X 2 3 4 P 0.16 0.552 0.288 故数学期望E(X)＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128. (2)在“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P＝p3＋p(1－p)p2＋(1－p)p3＝(3－2p)p3，在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2， 由(3－2p)p3－p2＝p2(3p－2p2－1)＝p2(2p－1)·(1－p)，且0<p<1， 所以当p∈时，(3－2p)p3>p2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当p∈时，(3－2p)p3<p2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当p＝时，两种赛制甲夺冠的概率一样． 4．(2025·河北张家口二模)乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜．在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平．已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求乙同学最终获胜的概率． 解析　(1)在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件A为“再打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”， 则P(A)＝×＋×＝，P(AB)＝×＝， 故P(B|A)＝＝. (2)设事件C为“乙赢了本局”，事件M为“乙赢了上一局”， 设事件Di为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为i时，最终乙同学获胜”， 当i＝1时，乙肯定赢了上一局，此时P(C)＝，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为P(D0|)， 所以P(D1)＝P(D1|C)·P(C)＋P(D1|)·P()＝＋P(D0|)， 同理，当i＝－1时，乙肯定输了上一局，此时P(C)＝，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为P(D0|M)， 所以P＝P(D－1|C)·P(C)＋P(D－1|)·P＝P(D0|M)， 当i＝0时，若乙赢了上一局，此时P(C)＝，若赢球则获胜的概率为P(D1)， 若输球则获胜的概率为P， 所以P(D0|M)＝P(D1)P(C)＋PP＝P(D1)＋P， 若乙输了上一局，P(C)＝， 同理可得P(D0|)＝P(D1)P(C)＋PP＝P(D1)＋P， 又初始P(C)＝，故乙同学最终获胜的概率等价于P， 所以 解得P＝. 所以乙同学最终获胜的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $