专题4 第3讲 统计与成对数据的统计分析(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P168] 一、单项选择题 1．(2025·安徽池州二模)春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下(单位：天)：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是(　　) A．这组数据的众数为5 B．这组数据的平均数为5 C．这组数据的第60百分位数为6 D．这组数据的极差为5 解析　对于A，这组数据的众数为4，5，6，故A错误； 对于B，这组数据的平均数为＝，故B错误； 对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为4，4，5，5，6，6，7，8， 因为60%×8＝4.8， 所以这组数据的第60百分位数为6，故C正确； 对于D，这组数据的极差为8－4＝4，故D错误．故选C. 答案　C 2．某校举行了摄影艺术展览的参观活动，并在活动结束后让学生对此次活动进行打分(满分150分)，得到如图所示的频率分布折线图，则估计学生对此次活动打分的平均值为(　　) A．110分 B．109分 C．113分 D．105分 解析　由频率分布折线图可知(0.022＋0.028＋0.018＋0.012＋2a)×10＝1，解得a＝0.010. 故估计学生对此次活动打分的平均值为 (0.010×90＋0.022×100＋0.028×110＋0.018×120＋0.012×130＋0.010×140)×10＝113(分). 故选C. 答案　C 3．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为5∶3，则单位职工体重的方差为(　　) A．166 B．167 C．168 D．169 解析　依题意，单位职工平均体重为＝×64＋×56＝61，则单位职工体重的方差为s2＝[151＋(64－61)2]＋[159＋(56－61)2]＝169.故选D. 答案　D 4．人工智能技术(简称AI技术)已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑(以下简称AI电脑)也在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y(单位：万台)为AI电脑的月销量． 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号x 1 2 3 4 5 月销量y 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为＝0.21x＋，则2025年3月的残差(实际值与预计值之差)为(　　) A．－0.04 B．－0.02 C．0.02 D．0.04 解析　因为＝＝3，＝＝1， 所以＝－0.21＝1－0.21×3＝0.37，所以y关于x的线性回归方程为＝0.21x＋0.37， 2025年3月对应的x＝5，当x＝5时，＝0.21×5＋0.37＝1.42，故残差为1.4－1.42＝－0.02. 故选B. 答案　B 5．(2025·天津和平二模)某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中m＝2n，则下列结论不正确的是(　　) A．n＝0.015 B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分 解析　对于A，由频率分布直方图可得(0.01＋n＋0.035＋m＋0.01)×10＝1， 又m＝2n，解得n＝0.015，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可得，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为(55×0.01＋65×0.015＋75×0.035＋85×0.03＋95×0.01)×10＝76.5，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为0.25，所以满意度计分的第一四分位数约为70分，故D正确． 故选C. 答案　C 二、多项选择题 6．(2025·浙江嘉兴调研)已知一组数据1，3，5，7，9，其中位数为a，平均数为，极差为b，方差为s2.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a′，平均数为′，极差为b′，方差为s′2，则下列说法中正确的是(　　) A．若删去3，则a<a′ B．若删去9，则<′ C．无论删去哪个数，均有 b≥b′ D．若＝′，则s2<s′2 解析　由题意知a＝5，＝5，b＝8，s2＝×(16＋4＋0＋4＋16)＝8. 若删去3，则a′＝＝6>a＝5，A中说法正确； 若删去9，则′＝4<，B中说法错误； 无论删去哪个数，极差都不可能超过8，C中说法正确； 若＝′，则删去5，s′2＝×＝10>s2，D中说法正确．故选ACD. 答案　ACD 7．(2025·广东揭阳二模)洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世．某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度(单位：cm)作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是(　　) A．基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B．基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C．基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D．基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80 解析　对于A项，由图象可知，基地牡丹植株高度范围在之间，所以极差的估计值应不大于50，故A错误； 对于B项，基地牡丹植株高度不高于70的频率为×10＝0.3.故B正确； 对于C项，由频率分布直方图可知，基地牡丹植株高度不高于70的频率为0.3，不高于80的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7>0.5， 所以中位数位于[70，80]，设为x， 则应有×0.4＋0.3＝0.5，计算可得x＝75. 众数估计为[70，80]的中点，也是75，与中位数相同．故C正确； 对于D项，基地牡丹植株高度不高于80的频率为0.7，不高于90的频率为0.95， 所以，基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值应在[80，90]内．故D错误．故选BC. 答案　BC 8．(2025·江西南昌二模)某环保局对辖区内甲、乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数(单位：μg/m3)不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标．已知甲、乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是(　　) A．甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75 B．甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65 C．甲地区环境治理达标 D．乙地区环境治理达标 解析　甲地区平均数为80，乙地区平均数为70，则甲、乙两地区这10 天检查所得共 20个数据的平均数是＝75，故A正确； 设甲、乙两地区连续10天检查所得数据分别为xi(i＝1，2，3，…，10)和yi(i＝1，2，3，…，10)， 则s＝2＝40，得2＝400， s＝2＝90，得2＝900， 由＝80，得 ＝×10xi－×10×800＝×10×800－×10×800＝0， 由＝70，得 ＝×10yi－×10×700＝×10×700－×10×700＝0， 则甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是s2＝ ＝2＋2＝2＋2 ＝ ＋[(yi－70)2－10(yi－70)＋25]＝2＋[10(xi－80)]＋×10×25＋2－[10(yi－70)]＋×10×25＝×400＋×900＋25＝90，故B错误； 甲地区平均数为80，方差为40，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于×2＝40，所以能确定甲地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以甲地区环境治理达标，故C正确； 乙地区平均数为70，方差为90，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于×2＝90，所以能确定乙地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以乙地区环境治理达标，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 三、填空题 9．某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a即为优秀，如果优秀的人数为14，则a的估计值是________． 解析　优秀人数所占的频率为＝0.14， 测试结果位于[13，14)的频率为0.06<0.14， 测试结果位于[13，15)的频率为0.06＋0.16＝0.22>0.14， 所以a∈(14，15)， 由题意可得0.06＋(a－14)×0.16＝0.14，解得a＝14.5. 答案　14.5 10．(2025·杭州二模)一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500 g，为了了解这些白糖的实际质量，称出各袋白糖的实际质量(单位：g)如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510. (1)这10袋白糖的平均质量为________，标准差s为________； (2)从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的质量不在(－s，＋s)内的概率为________． 附：≈5.08，≈16.06. 解析　(1)＝＝501， s＝ ＝≈5.08. (2)(－s，＋s)＝(495.92，506.08)，设从这10袋中任取2袋白糖，其中恰有一袋的质量不在(－s，＋s)内为事件A，列举可得从这10袋中任取2袋白糖，总的结果有45种，恰有一袋的质量在区间(495.92，506.08)内的结果有16种，由古典概型的概率计算公式得P(A)＝. 答案　(1)501　5.08　(2) 四、解答题 11．(2025·湖北宜昌二模)2025宜昌马拉松比赛于2025年4月13日在宜昌城区举行，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表． 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 r s 50 非常满意 t 40 70 合计 60 l 120 (1)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ (2)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设X表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 解析　(1)完善二联表为 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 30 40 70 合计 60 60 120 零假设H0：不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价无差异， χ2＝＝>2.706， 故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异． (2)由于女性对服务非常满意的概率为＝，男性对服务非常满意的概率为＝， 故X可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 12．(2025·山东济南二模)每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况． 天数x 1 2 3 4 5 胚芽长度y(厘米) 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①＝x＋；②＝x2＋， (1)根据以上数据，计算模型①中的y关于x的相关系数r(结果精确到0.01)，若0.95≤≤1，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据(1)的结果，试建立y关于x的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度(结果精确到0.01). 附：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 样本相关系数为r＝. 参考数据： ＝8.1，2＝7.5，≈8.660. 令ui＝x， ＝52.1. 解析　(1)由题设，＝＝3，所以2＝(1－3)2＋(2－3)2＋…＋(5－3)2＝10， 所以r＝≈≈≈0.94，故应选模型②. (2)令ui＝x，则求出线性回归方程＝u＋， 所以＝＝11，＝＝2， 所以2＝(1－11)2＋(4－11)2＋…＋(25－11)2＝374， 所以＝＝≈0.14， 又2＝0.14×11＋，则＝0.46， 故＝0.14u＋0.46， 所以回归方程为＝0.14x2＋0.46，当x＝6时，＝0.14×36＋0.46＝5.50厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.50厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $