专题4 第2讲 随机变量及其分布列(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P165] 1．(2025·江苏南京、盐城二模)已知某种机器的电源电压 U(单位：V)服从正态分布N(220，202).其电压通常有3种状态：①不超过200 V；②在200 V～240 V之间；③超过240 V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2. (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为pn，求pn取得最大值时n的值． 附：若Z～N(μ，σ2)，取P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.95. 解析　(1)记电压“不超过200 V”“在200 V～240 V之间”“超过240 V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D. 因为U～N(220，202). 所以P(A)＝P＝＝＝0.16， P(B)＝P(200<U<240)＝P(μ－σ<U<μ＋σ)＝0.68， P(C)＝P(U>240)＝＝＝0.16. 所以P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.16×0.15＋0.68×0.05＋0.16×0.2＝0.09， 即该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09. (2)从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则X～B(n，0.09)， 所以pn＝P(X＝2)＝C·0.91n-2·0.092. 由＝＝×0.91>1，解得n<. 所以当n≤21时，pn<pn＋1；当n≥22时，pn>pn＋1，所以p22最大．因此当n＝22时，pn最大． 2．(2025·山东烟台、东营一模)为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛．比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目．每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目．每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金．假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为.两个项目是否挑战成功相互独立． (1)设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P(A)； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平．某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额． 解析　(1)设Ai表示“第i次挑战第一个项目且挑战成功”，设Bi表示“第i次挑战第二个项目且挑战成功”，i＝1，2，则P(A1)＝P(B1)＝，P(A2|1)＝P(B2|1)＝. (1)由题意A＝A1B1∪A11B2∪1A2B1∪1A21B2， P(A1B1)＝×＝， P(A11B2)＝P(A1)P(1B2)＝P(A1)P(1)·P(B2|1)＝××＝， P(1A2B1)＝P(1A2)P(B1)＝P(1)P(A2|1)·P(B1)＝××＝， P(1A21B2)＝P(1A2)P(1B2)＝×××＝， 所以P(A)＝＋＋＋＝. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1000，2000，3000，4000， P(X＝0)＝P(12)＝P(1)(1－P(A2|1))＝×＝， P(X＝1000)＝P(1A212)＝P(1A2)P(12)＝×××＝， P(X＝2000)＝P(A112)＋P(1A21B2)＝××＋×××＝， P(X＝3000)＝P(A11B2)＋P(1A2B1)＝××＋××＝， P(X＝4000)＝P(A1B1)＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 1000 2000 3000 4000 P (3)由(2)知E(X)＝1000×＝. 因为本届挑战赛共有36支参赛队，36E(X)＝36×＝109 250， 所以，估计该赞助商提供奖金总额为109 250元． 3．(2025·陕西安康三模)现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球． (1)求小明第二次取到的球是红球的概率； (2)记X为小明取到的红球个数，求X的分布列及期望值． 解析　(1)记小明从甲袋中取2个球的颜色相同为事件A，记小明从甲袋中取2个球的颜色不相同为事件C，记小明第二次取到的球是红球为事件D， 则P(A)＝＝，P(C)＝＝， P(D|A)＝，P(D|C)＝＝， 所以由全概率公式，得P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(C)P(D|C)＝×＋×＝. (2)随机变量X的值为0，1，2，3， 小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个白球时X＝0，则P(X＝0)＝×＝； 小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个白球或小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个红球时X＝1， 则P(X＝1)＝×＋×＝； 小明先从甲袋中任取2个红球，再从乙袋中取1个白球或小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，再从甲袋中取1个红球时X＝2， 则P(X＝2)＝×＋×＝； 小明先从甲袋中任取2个红球，则再从乙袋中取1个红球时X＝3， 则P(X＝3)＝×＝. 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． (ⅰ)求每位员工经过培训合格的概率； (ⅱ)经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润(公司年利润＝员工创造的利润－其他成本和费用). 解析　(1)X的所有可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (2)(ⅰ)记C＝“每位员工经过培训合格”，Ai＝“每位员工第i轮培训达到优秀”(i＝1，2，3)， C＝A1A2A3∪1A2A3∪A12A3∪A1A23，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， P(C)＝P＋P＋P＋P ＝P(A1)P(A2)P＋PP(A2)P＋P(A1)P(2)P＋P(A1)P(A2)P ＝××＋××＋××＋××＝. 即每位员工经过培训合格的概率为. (ⅱ)记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则Y～B， E(Y)＝50×＝25， 则25×30＋25×20－50×3＝1100(万元). 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 5．(2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 解析　(1)设甲正确完成面试题数为X，乙正确完成面试题数为Y， 则X可取1，2，3，Y可取0，1，2，3， 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以甲正确完成面试题数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝2； P＝C×0×3＝， P＝C××2＝， P＝C×2×＝， P＝C×3×0＝， 所以乙正确完成面试题数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. (2)由(1)得D(X)＝×2＋×2＋×2＝， D(Y)＝×2＋×2＋×2＋×2＝， 因为D(X)<D(Y)， 所以甲的成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大． 6．某地举行中学生科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，预赛为闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛阶段比赛胜利，无需继续闯关，进入决赛．决赛设置了3个问题，每完整答对1个问题，该队决赛成绩记3分，否则记0分，未进入决赛的参赛队决赛成绩记0分．已知华夏队的甲，乙，丙三名选手在预赛闯关阶段以及决赛阶段每次完整答对1个问题的概率均为p，q，r，每次回答是独立的，Y表示华夏队的决赛总成绩． (1)若p＝，q＝，r＝，依次派甲，乙，丙进行闯关，求该小组进入决赛的概率； (2)预赛阶段，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)决赛阶段，若只能选出一人参加比赛，当E(Y)最大时，决赛阶段应由哪个选手参加？ 解析　(1)依次派甲乙丙进行闯关时，设事件A表示“该小组进入决赛”， 则P(A)＝＋×＋××＝， 则该小组进入决赛的概率为. (2)若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员的数目为X，期望为E1；若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为E2， X 1 2 3 P p (1－p)q (1－p)(1－q) 所以，E1＝pq－2p－q＋3， 同理，E2＝rq－2r－q＋3， 则E1－E2＝pq－2p－q＋3－(rq－2r－q＋3)＝(p－r)(q－2)， 因为0<r<p<q<1，所以E1－E2<0，即E1<E2， 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． (3)若甲，乙，丙三人分别参加决赛，设决赛阶段答对的题目个数分别为η1，η2，η3，得分分别为Y1，Y2，Y3， 则η1～B(3，p)，η2～B(3，q)，η3～B(3，r)， 所以E(η1)＝3p，E(Y1)＝E(3η1)＝9p， 同理E(Y2)＝9q，E(Y3)＝9r， 因为0<r<p<q<1， 所以E(Y2)>E(Y1)>E(Y3)， 所以决赛阶段应由乙选手参加． 学科网（北京）股份有限公司 $