专题4 第1讲 概率(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P162] 一、单项选择题 1．(2025·四川成都二模)袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球．从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　从袋中不放回地依次随机取出2个球的试验有C个基本事件， 取出的2个球颜色相同的事件有C＋C个基本事件， 所以这2个球颜色相同的概率为＝＝.故选D. 答案　D 2．(2025·山东济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则P(A)＝0.7×0.7＋2×0.7×0.3×0.7＝0.784，P(AB)＝2×0.7×0.3×0.7＝0.294， 所以P(B|A)＝＝＝.故选C. 答案　C 3．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为， 由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球， 则概率为×1×＋××1＋××＝. 答案　D 4．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3∶2∶1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设事件D为这个人患流感，A1，A2，A3分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P＝＝， 又P＝6%，P＝5%， P＝4%， 由全概率公式可得P(D)＝P(A1)·P＋P(A2)·P＋P·P ＝6%×＋5%×＋4%×＝.故选C. 答案　C 5．(2025·湖南岳阳二模)某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动．已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为1∶2∶2，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票(每人只能投一票且必须投一票).若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是m，2m，2m(m为比例系数)， 由题意知，家长代表中有的人投给1号，人数为×m＝；学生代表中有的人投给1号，人数为×2m＝；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为×2m＝. 所以投给1号的总人数为＋＋＝，学生代表中投给1号的人数为， 因此所求概率为＝.故选A. 答案　A 6．(2025·河北廊坊模拟)某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　令事件A表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件B表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件C表示“获奖”，则有P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝，P＝， 根据全概率公式有P(C)＝P(A)P＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝， 令事件D表示“3人均获奖”，则P(D)＝3＝3＝， 令事件E表示“这3人全是物理组合学生”，则P(E)＝3＝， 令事件F表示“这3人全是历史组合学生”，则P(F)＝3＝， 令事件M表示“这3人既有物理组合又有历史组合”，则P(M)＝P(D)－P(E)－P(F)＝－－＝＝， 根据条件概率公式有P(M|D)＝＝＝＝.故选B. 答案　B 二、多项选择题 7．(2025·江苏南京二模)对于随机事件A，B，若P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则(　　) A．P(AB)＝ B．P(A|B)＝ C．P(A＋B)＝ D．P＝ 解析　对于A，因为P(B|A)＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， 故A错误； 对于B，由P(A|B)＝＝＝，故B正确； 对于C，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故C正确； 对于D，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()· P(B|)，则＝×＋·P， 所以P＝，所以P＝P· P＝×＝，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 8．(2025·山东泰安二模)我校举办清明诗会，在抽奖环节中，抽奖箱中放有分别写有“我”“是”“中”“国”“人”字样的五张卡片，甲，乙，丙三人每人抽一张，抽后不放回．抽奖规则如下：若抽到写有“我”或“是”字的卡片则不中奖，若抽到写有“中”字的卡片，则该同学中一等奖；若抽到写有“国”或“人”字的卡片，则抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币国徽一面朝上，则该同学中二等奖，否则不中奖．则下面说法正确的是(　　) A．每位同学中一等奖的概率为 B．甲同学中二等奖的概率为 C．已知甲同学中奖，则其中一等奖的概率为 D．三位同学都中奖的概率为 解析　对于选项A，由题知，抽奖箱共有五张卡片，写有“中”字的卡片只有一张， 由古典概率公式可知，从五张中取一张卡片，中一等奖的概率为，由简单随机抽样可知选项A正确； 对于选项B，由题知甲同学中二等奖的概率为P＝×＝，所以选项B错误； 对于选项C，记事件E：甲同学中奖，事件F：甲同学中一等奖， 则P(E)＝＋×＝，P(EF)＝， 所以P(F|E)＝＝＝，故选项C正确； 对于选项D，因为三位同学都中奖，则甲，乙，丙三人抽到的三张卡片为“中”“国”“人”， 且抛掷一枚质地均匀的硬币两次，硬币均国徽一面朝上，所以三位同学都中奖的概率为P＝××＝，故选项D正确，故选ACD. 答案　ACD 9．(2025·安徽马鞍山一模)甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：(1)先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件A1为“取出的是红球”，事件A2为“取出的是白球”；(2)再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则(　　) A．P(B|A1)＝ B．P(C|A2)＝ C．P(B)＝ D．P(C)＝ 解析　由题意知P(A1)＝＝， P(A2)＝＝， P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝， P(C|A1)＝＝，P(C|A2)＝＝， P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝， P(C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝×＋×＝.故选AD. 答案　AD 三、填空题 10．(2025·山东名校联盟开学考试)如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜(它通过各扇门的机会相等)，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是________． 解析　小鼠逃生路线有以下六种情况： 1→2→3→6→9； 1→2→5→6→9； 1→2→5→8→9； 1→4→5→6→9； 1→4→5→8→9； 1→4→7→8→9. 概率分别为P1＝×××＝； P2＝×××＝； P3＝×××＝； P4＝×××＝； P5＝×××＝； P6＝×××＝. 所以小老鼠逃生概率为 P＝P1＋P2＋P3＋P4＋P5＋P6＝＋＋＋＋＋＝.故答案为. 答案　 四、解答题 11．(2025·湖北武汉二模)13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1～8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行． (1)求五张字母牌互不相邻的概率； (2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； (3)对于给定的整数k(1≤k≤8)，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件Ak，求Ak发生的概率(结果用含k的式子表示). 解析　(1)记五张字母牌互不相邻为事件为B， 则P(B)＝＝. (2)记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件C， 由于标1～7的牌都在标有8的牌的右侧，有A种排法， 所以P(C)＝＝. (3)标号比k小的卡牌有k－1张，比k大的卡牌有8－k张， P(Ak)＝＝. 12．(2025·江苏盐城三模)在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备． (1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句．小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”． (ⅰ)求小王答对第一组题的概率P(A)； (ⅱ)在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率P(B|A). (2)小王答对第一组题后开始答第二组题．第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为n，已知每一题答对的得分表如下(答错得分为0). 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率． 解析　(1)(ⅰ)已知P(B)＝，则P()＝1－P(B)＝1－＝. 在知道诗句的情况下一定答对，即P(A|B)＝1；在不知道诗句的情况下答对的概率P(A|)＝. 根据全概率公式P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)，将上述概率值代入可得 P(A)＝×1＋×＝＋＝. (ⅱ)计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率为P(B|A). 根据贝叶斯公式P(B|A)＝. 由前面计算可知P(B)＝，P(A|B)＝1，P(A)＝，代入可得 P(B|A)＝＝×＝. (2)设事件Cn为“小王答对第二组题中的第n题”(n＝1，2，3). 已知小王知道第n题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为n. 则P(C1)＝＋×＝＋＝； P(C2)＝＋×2＝＋＝； P(C3)＝＋×3＝＋＝. 因为获得8分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第2，3题，答错第1题，其概率为P(C2C3)＝××＝××＝. 答对第1，3题，答错第2题，其概率为P(C1C3)＝××＝××＝. 答对第1，2，3题，其概率为P(C1C2C3)＝××＝. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为P＝＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $