专题3 重难突破6 立体几何中的截面、交线问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P160] 一、单项选择题 1．过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的(　　) A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①②④ 解析　根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示， 故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分．故选A. 答案　A 2．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　) A． B． C．9 D．18 解析　连接BC1，AD1，D1F，如图所示， 因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1， 在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1， 所以A，D1，F，E在同一平面内，所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A， 因为正方体的棱长为2，所以EF＝，AD1＝2，D1F＝AE＝＝， 则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高，为＝，所以截面面积为S＝(＋2)×＝.故选B. 答案　B 3．(2025·哈尔滨二模)在正三棱柱 ABC -A1B1C1中，所有棱长均为2，E，F分别为棱 BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为(　　) A．2＋2 B．2＋ C．2＋ D．2＋ 解析　如图，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，延长AF与CC1使延长线交于点M，连接EM交B1C1于点P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面． 过点E作EN平行于BC交CC1于点N， 则N为线段CC1的中点． 由△MFC1∽△MAC，可得MC1＝2， 由△MPC1∽△MEN，可得＝，则PC1＝，则B1P＝. 在Rt△AA1F中，AA1＝2，A1F＝1， 则AF＝＝. 在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝1， 则AE＝＝. 在Rt△B1EP中，B1E＝1，B1P＝，则PE＝＝. 在△C1FP中，C1F＝1，C1P＝，∠FC1P＝60°，由余弦定理得PF2＝12＋2－2×1××cos 60°＝，则PF＝，所以所求截面的周长为＋＋＋＝2＋.故选B. 答案　B 4．在侧棱长为2的正三棱锥A -BCD中，点E为线段BC上一点，且AD⊥AE，则以A为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为(　　) A． B．π C． D．3π 解析　取BC的中点F，连接AF，DF，则有AF⊥BC，DF⊥BC，又AF∩DF＝F，AF，DF⊂平面ADF，故BC⊥平面ADF，又AD⊂平面ADF，故BC⊥AD，又AD⊥AE，BC∩AE＝E，BC，AE⊂平面ABC，故AD⊥平面ABC， 又AC，AB⊂平面ABC，故AD⊥AC，AD⊥AB，由正三棱锥的性质可得AD，AB，AC两两垂直， 故AF＝ ＝，即以A为球心，为半径的球面与侧面ABC的交线长为×＝π，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为3×π＝.故选C. 答案　C 二、多项选择题 5．如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E的描述中正确的是(　　) A．短轴长为2r，且与θ大小无关 B．离心率为cos θ，且与r大小无关 C．焦距为2r tan θ D．面积为 解析　由题意，椭圆短轴长2b＝2r；而长轴长随θ变大而变长且2a＝， 所以c＝＝r tan θ，故e＝＝sin θ，焦距为2c＝2r tan θ； 由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积为S＝.综上，A，C，D正确，B错误.故选ACD. 答案　ACD 6．在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则(　　) A．直线EF与BC1所成的角为60° B．过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1，A1D1所成的角都是60° C．过A1，E，F三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3＋2 D．过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 解析　对于A，如图所示，连接AC，A1C1，A1B， 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EF∥AC， 又AC∥A1C1，所以EF∥A1C1， 所以∠A1C1B或其补角即为EF与BC1所成的角， 因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以EF与BC1所成的角为60°，故A正确； 对于B，因为直线A1B1，A1D1所成角是90°，且两条直线相交于A1， 所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误； 对于C，易知平面A1EFC1为过A1，E，F三点的截面，该截面为梯形， 显然A1C1＝2，A1E＝C1F＝＝，EF＝， 所以截面图形的周长为A1C1＋A1E＋EF＋C1F＝2＋＋＋＝3＋2，故C正确； 对于D，如图所示，分别取AA1，CC1的靠近A，C的三等分点G，H， 连接GD1，GE，HD1，HF，易知GE∥HD1，HF∥GD1， 故点D1，G，E，F，H共面，该截面图形为五边形，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 7．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线．探究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，若截面与轴所成的角为β，则截口曲线的离心率e＝.例如，当α＝β时，e＝1，由此知截口曲线是抛物线．如图，圆锥SO中，M，N分别为SD，SO的中点，AB，CD为底面的两条直径，且AB⊥CD，AB＝4，SO＝2.现用平面γ(不过圆锥顶点)截该圆锥，则(　　) A．若MN⊂γ，则截口曲线为圆 B．若γ与SO所成的角为60°，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分 C．若M，A，B∈γ，则截口曲线为抛物线的一部分 D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则O∉γ 解析　对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误；对于B，γ与SO所成的角为60°，所以β＝，因为OD＝OS＝2， 所以∠OSD＝，即α＝，所以e＝＝＝<1，所以平面γ截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分，故B正确； 对于C，因为SO⊥平面ABD，AB⊂平面ABD， 所以SO⊥AB， 因为AB⊥CD，CD∩SO＝O，CD，SO⊂平面SOD， 所以AB⊥平面SOD，又因为SD⊂平面SOD， 所以SD⊥AB， 又SO＝OD，M为SD的中点，所以SD⊥OM， 又AB∩OM＝O，AB，OM⊂平面MAB， 所以SD⊥平面MAB，所以γ与SO所成的角为∠SOM＝，∠OSD＝，所以β＝，α＝，e＝＝1，故C正确；对于D，截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则＝＝，∴cos β＝1，∵β∈，∴β＝0，所以平面γ∥OS，故平面γ不经过原点O，故D正确． 故选BCD. 答案　BCD 三、填空题 8．如图所示，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝________． 解析　因为AB∥CD，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD⊂平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝. 答案　 9．已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，点M在AC上，且AM＝2MC，过点M作空间四边形ABCD 外接球的截面，则截面面积的最小值为________． 解析　由题意知△ABD和△BCD为等边三角形，取BD的中点为E，连接AE，CE，则AE⊥BD， 由平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，AE⊂平面ABD， 得AE⊥平面CBD，AE＝＝＝3，则易知CE＝AE＝3，易知球心O在平面BCD的投影为△BCD的外心O1. 过球心O作OH⊥AE交AE于点H，易得OH∥O1E，OO1∥HE， 则在Rt△OHA中，OH＝，AH＝2， 所以外接球半径 r＝＝， 连接OM， 因为AH＝2HE，OH∥CE，AM＝2MC， 所以H，O，M三点共线， 所以OM＝MH－OH＝CE－OH＝， 当点M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为＝ ＝2，截面面积为π(2)2＝12π. 答案　12π 学科网（北京）股份有限公司 $