专题3 第2讲 空间位置关系(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P154] 一、单项选择题 1．(2025·河北保定摸底考)已知a，b是异面直线，α，β是两个平面，a⊂α，b⊂β，设p：a∥β且b∥α，q：α∥β，则(　　) A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件也不是q的必要条件 解析　若α∥β，因为a⊂α，b⊂β，所以a∥β且b∥α，故由q可以推出p. 若a∥β且b∥α，如图，过直线b作平面γ交平面α于直线c. 因为b∥α，b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，又因为c⊄β，b⊂β，所以c∥β. 因为a，b是异面直线，b∥c且a，c⊂α，所以直线a，c相交，所以α∥β， 所以由p可以推出q，所以p是q的充要条件．故选C. 答案　C 2．(2025·北京丰台二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，则m∥α C．若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β 解析　如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中分析选项A，B，C. A．AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，但AB⊥B1C1，A错误． B．AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，B错误． C．平面ABCD⊥平面BCC1B1，AB⊥平面BCC1B1，AD⊥AB，但AD⊂平面ABCD，C错误． D．取直线m的方向向量m，直线n的方向向量n， ∵m⊥α，n⊥β，∴m，n分别为平面α，β的法向量， ∵m⊥n，∴m⊥n，∴α⊥β，选项D正确．故选D. 答案　D 3．(2025·四川南充三模)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是(　　) A．若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ B．若l∥m，m⊥α，则l⊥α C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m∥n 解析　对于A：因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系不能确定，故A错误； 对于B：因为两条直线平行，其中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，故B正确； 对于C：当m⊥n，m⊥α，n∥β时，平面α，β的位置关系不能确定，故C错误； 对于D：如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，AA1⊥平面ABCD，A1D1∥平面BCC1B1，且AA1⊥A1D1. 所以两个平面互相垂直，一个平面的垂线与另一个平面的平行线未必平行，故D错误． 故选B. 答案　B 4．(2025·湖北武汉一模)如图，已知在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，AB＝，△BCD的面积为，点A在平面BCD上的投影为点B，点M，N分别为AC，CD的中点，则(　　) A．MN与BD相交 B．MN与AD异面 C．BM⊥AN D．DM⊥BN 解析　A，B选项，连接MN，则MN∥AD，MN⊄平面ABD，AD⊂平面ABD， 由于AD与BD相交，故MN与BD异面，故A，B错误； C选项，△BCD的面积为，△BCD为等边三角形， 设△BCD的边长为a，则a2sin 60°＝，解得a＝2， 因为N分别为CD的中点，所以BN⊥CD， 又A在平面BCD上的投影为点B，故AB⊥平面BCD， 以B为坐标原点，BN所在直线为x轴，平行于CD且过点B的直线为y轴，BA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 又AB＝，故B(0，0，0)，A(0，0，)，N(，0，0)，M， 则＝，＝(，0，－)， ·＝·(，0，－)＝＋0－＝0， 所以BM⊥AN，C正确； D选项，D(，1，0)，＝－(，1，0)＝， ＝(，0，0)， ·＝·(，0，0)＝－≠0， 所以DM与BN不垂直，故D错误． 故选C. 答案　C 5．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析　在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M∈D1B1，而D1B1⊂平面D1B1D，即有M∈平面D1B1D，又MN与线段DB1相交，则交点必在直线DB1上，而DB1⊂平面D1B1D，于是MN⊂平面D1B1D，N∈平面D1B1D，因为N∈AC，AC⊂平面ABCD，即N∈平面ABCD，而平面D1B1D∩平面ABCD＝BD，因此N∈BD，即点N为AC，BD的交点O，又线段DB1与MN互相平分，取DB1的中点E，连接OE并延长交D1B1于O1，显然EO∥BB1∥DD1，于是O1为D1B1的中点，所以当点N与O重合，点M与O1重合时，线段MN与线段DB1相交且互相平分，这样的直线MN只有1条．故选B. 答案　B 6．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则以下命题中正确的是(　　) A．BM＝EN B．CD⊥MN C．A，M，N三点共线 D．直线BM与EN相交 解析　取CD中点F，连接EF，FN，取FD中点H，连接MH，HB，MN.又△ECD为正三角形，则EF⊥CD，MH⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，则EF⊥平面ABCD，MH⊥平面ABCD，又FN⊂平面ABCD，HB⊂平面ABCD，则EF⊥FN，MH⊥HB，设AB＝a，则EF＝2MH＝a，FN＝a，BH＝a，则BM＝＝a，EN＝＝a， 则BM≠EN.故选项A错误； 假设CD⊥MN，又MH⊥CD，MH∩MN＝M，MH，MN⊂平面MNH，则CD⊥平面MNH，又NH⊂平面MNH，则CD⊥NH，这与CD⊥NF矛盾，故假设不成立，CD，MN不互相垂直．故选项B错误；由A，N∈平面ABCD，可得直线AN⊂平面ABCD，假设A，M，N三点共线，则M∈AN，则M∈平面ABCD，这与M∉平面ABCD矛盾，故假设不成立．故选项C错误；由DM＝ME，DN＝NB，可得MN∥BE，MN＝BE，则四边形MNBE为梯形，则直线BM与EN相交．故选项D正确．故选D. 答案　D 二、多项选择题 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A．AC∥平面A1BC1 B．AD⊥平面A1BC1 C．A1C1⊥AD1 D．平面A1BC1⊥平面BB1D1D 解析　如图所示，对于A，因为AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，A正确；对于B，因为AD∥A1D1，而A1D1与A1C1不垂直，所以AD与A1C1不垂直，所以AD与平面A1BC1不垂直，B错误；对于C，因为AD1∥BC1，而BC1与A1C1不垂直，所以AD1与A1C1不垂直，C错误；对于D，易知BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，而A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D，而A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D，D正确．故选AD. 答案　AD 8．(2025·青岛二模)如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1，点E，F，G分别为棱BC，CC1，CD的中点，则下列结论正确的有(　　) A．AE与D1F共面 B．平面AB1D1∥平面EFG C．AE⊥EF D．BF∥平面AB1D1 解析　如图所示，对于A选项，连接BC1，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1∥AD1，因为E，F分别为BC，CC1的中点，则EF∥BC1，故EF∥AD1，所以AE与D1F共面，A正确； 对于B选项，因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD∥B1D1，又因为E，G分别为BC，CD的中点，则EG∥BD，所以EG∥B1D1，因为EG⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以EG∥平面AB1D1，同理可证EF∥平面AB1D1，因为EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB1D1，B正确； 对于C选项，不妨设正方体的棱长为2，则AE＝＝＝，EF＝＝＝，AC＝＝＝2， 因为CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则CC1⊥AC，所以AF＝＝＝3， 所以AE2＋EF2≠AF2，故AE，EF不垂直，C错误； 对于D选项，假设BF∥平面AB1D1， 因为EF∥平面AB1D1，EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BB1C1C，所以平面BB1C1C∥平面AB1D1， 事实上，平面BB1C1C与平面AB1D1不平行，假设不成立，D错误．故选AB. 答案　AB 三、填空题 9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则m＝________；n＝________． 解析　直线CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，则m＝4.如图，取CD的中点G，连接FG，EG，易证CD⊥平面EGF，又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD，从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1，∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4. 答案　4　4 10．已知四棱锥S -ABCD的底面ABCD为菱形，其中∠BCD＝120°，SA＝SB＝2AB＝SC，点H在线段SB上，若平面SAB⊥平面CDH，则＝________． 解析　设平面CDH与直线SA交于点G，连接DG，HG，取AB中点M，连接SM，CM，SM与GH交于点E，连接CE，因为CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以CD∥平面SAB，又平面SAB∩平面CDH＝HG，CD⊂平面CDH，所以CD∥HG，从而CD∥HG∥AB，又菱形ABCD中，∠BCD＝120°，所以△ABC是等边三角形，则CM⊥AB，而SA＝SB，所以SM⊥AB，又SM∩CM＝M，SM，CM⊂平面SCM，所以AB⊥平面SCM，而CE⊂平面SCM，所以CE⊥AB，从而CE⊥HG，因为平面SAB⊥平面CDH，平面SAB∩平面CDH＝HG，CE⊂平面CDH，所以CE⊥平面SAB，又因为SM⊂平面SAB， 所以CE⊥SM， 设AB＝1，则由已知得SA＝SB＝2，SC＝，CM＝，SM＝＝，在△SCM中，cos ∠SCM＝＝－，从而∠SCM＝135°，sin ∠SCM＝，CE＝＝＝＝，EM＝＝，所以＝＝＝. 答案　 四、解答题 11．如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点． (1)求证：EF∥平面BDD1B1； (2)设G为棱CD上的一点，问：当点G在什么位置时，平面GEF∥平面BDD1B1? 解析　(1)证明　如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，连接BM，因为E，F分别是BC，CM的中点，所以EF∥BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1. (2)当G是DC中点时，平面GEF∥平面BDD1B1，理由如下： 取CD的中点G，连接EG，FG，而E是BC的中点，所以EG∥BD，又EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，从而EG∥平面BDD1B1. 由(1)知EF∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，且EF，EG⊂平面GEF，因此平面GEF∥平面BDD1B1，所以当点G是DC的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1. 12．(2025·广州考前调研)如图，在三棱锥P -ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)证明：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P -ABC的体积． 解析　(1)证明　因为＝＝， 所以Rt△ABO∽Rt△CBA， 所以∠BAO＝∠BCA. 设AO ∩BF＝Q，因为AO⊥BF，所以∠BAO＝∠OBQ，所以∠BCA＝∠OBQ，则BF＝FC. 同理可证BF＝AF，所以AF＝FC， 即点F为AC的中点． 又点E为AP的中点，所以EF∥PC. 因为点D，O分别为BP，BC的中点， 所以DO∥PC， 所以EF∥DO. 因为EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)如图，过点P作PM⊥FO，交FO的延长线于点M，连接PF. 由(1)知，点F，O分别为AC，BC的中点， 所以OF∥AB， 又AB⊥BC，所以OF⊥BC. 因为PB＝PC，点O为BC的中点， 所以BC⊥PO. 因为PO∩OF＝O，且PO，OF⊂平面PFO， 所以BC⊥平面PFO. 又 PM⊂平面PFO，所以BC⊥PM. 又PM⊥FO，FO∩BC＝O，且 FO，BC⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC， 所以PM为三棱锥P -ABC的高． 因为PO＝＝2， ∠POF＝120°， 所以PM＝PO·sin 60°＝. 又S△ABC＝BA·BC＝×2×2＝2， 所以VP -ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $