专题3 第1讲 空间几何体(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P152] 一、单项选择题 1．(2025·陕西榆林二模)已知圆锥的体积为96π，其侧面积与底面积的比为5∶3，则该圆锥的母线长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析　由S侧＝·2πr·，S底＝πr2，得＝，即h＝r， 又由V＝πr2·h＝96π，得r2h＝288，即r2·r＝288. 解得r＝6，h＝8，所以母线l＝＝＝10.故选D. 答案　D 2．(2025·山东济南一模)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 解析　如图所示，设展开图小圆半径和大圆半径分别为r，R，则圆台侧面积S＝＝4π，即R2－r2＝8， 上底面半径r1＝＝，下底面半径R1＝＝， 圆台上下底面面积之差的绝对值为πR－πr＝－＝π＝2π.故选B. 答案　B 3．(2025·广东揭阳二模)正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，A1B1＝AA1＝AB＝2，则四棱台ABCD -A1B1C1D1的体积为(　　) A． B． C．56 D．28 解析　如图所示，由正四棱台及AB＝4，C1D1＝2，BB1＝2，可知四边形BDD1B1为等腰梯形， 取上底、下底的中心为O1，O，OO1⊥平面ABCD，过B1作B1E⊥BD， 垂足为E，B1E∥OO1， 且BD＝4，B1D1＝2，BB1＝2， 所以h＝OO1＝B1E＝＝， 所以V＝h(S＋S′＋)＝××＝.故选B. 答案　B 4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A．π B． C． D． 解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心．球的半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝. ∴底面圆半径r＝＝， 故圆柱体积V＝πr2h＝π×1＝.故选B. 答案　B 5．已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于(　　) A．(9＋3)π B．(14＋3)π C．(5＋2)π D．(15＋3)π 解析　剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积，由题意r＝1，R＝2，h＝3， 所以圆环的面积为S1＝π(R2－r2)＝3π， 圆台母线l＝＝＝， 所以圆台侧面积为S2＝πl(R＋r)＝3π， 圆柱侧面积为S3＝2πRh＝12π， 所以剩余的几何体表面积等于S1＋S2＋S3＝(15＋3)π.故选D. 答案　D 6．(2025·福建莆田二模)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体(如图2).若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为(　　) A． B． C．2 D．4 解析　如图，连接AC，BD，PE，设AC∩BD＝O， 根据正八面体的对称性可知，PE 过点O，PO⊥平面ABCD，又AO⊂平面ABCD，所以PO⊥AO. 设正八面体的棱长为a，易知OA＝a，则OP＝＝a，同理 OE＝a，则正八面体的外接球球心为O，且外接球半径为a. 由3＝，可得a＝. 故该八面体的表面积 S＝8×a2sin 60°＝4.故选D. 答案　D 7．(2025·河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为6，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为(　　) A．3 B． C． D． 解析　设正三棱柱的底面边长为a，高为h， 则其表面积S＝2×a2＋3ah＝6，得h＝，又h>0，所以0<a<2， 故正三棱柱的体积V＝a2h＝， 则V′＝－a2，当0<a<2时，V′>0，V单调递增， 当2<a<2时，V′<0，V单调递减， 所以当a＝2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为. 故选B. 答案　B 8．(2025·四川达州二模)三棱锥P -ABC各个顶点均在球O表面上，AB⊥AC，△ABC外接圆的半径为，点P在平面ABC的射影为BC中点，且PA与平面ABC所成的角为，则球O的表面积为(　　) A．8π B．16π C．32π D．24π 解析　取BC中点D，连接PD，点P在平面ABC的射影为D点， 又因为AB⊥AC，所以△ABC外接圆圆心为D， 所以点O必在直线PD上， 因为△ABC外接圆的半径为，所以AD＝， 因为PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为， 则tan ∠PAD＝＝＝，从而PD＝3， 设球O的半径为R，在△OBD中，OD＝，则2＋()2＝R2，解得R＝2， 所以球O的表面积为S＝4πR2＝16π.故选B. 答案　B 二、多项选择题 9．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体E -ABCD -F的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体(　　) A．共有18个顶点 B．共有36条棱 C．表面积为6＋8 D．体积为8 解析　由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为6×1＋8×6××1×1×sin 60°＝6＋12，故C错误； 正八面体E -ABCD -F可分为两个全等的正四面体，其棱长为3， 过E作EO⊥平面ABCD于O，连接AO，如图． 因为EO⊥平面ABCD，且OA⊂平面ABCD， 所以OE⊥OA， 正方形ABCD中，由边长为3，则对角线长为3，则OA＝， 在Rt△AOE中，EO＝＝， 则EF＝2OE＝3，正八面体E -ABCD -F的体积为×32×3＝9， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为6××12×＝， 所以该阿基米德多面体的体积为9－＝8，故D正确．故选BD. 答案　BD 10．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上＝1，r下＝2，母线AB长为2，点E为AB的中点，则(　　) A．圆台的体积为π B．圆台的侧面积为12π C．圆台母线AB与底面所成角为60° D．在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为4 解析　对于A，圆台的高为，则圆台的体积V＝π×(12＋1×2＋22)×＝， 故A正确； 对于B，由题意，圆台的侧面展开图为半圆环， 其面积为S＝×2π×2×4－×2π×1×2＝6π，故B错误； 对于C，过A作AF∥O1O2交底面于F， 由O1O2⊥底面， 所以∠ABF即为母线AB与底面所成的角． 在等腰梯形ABCD中， AB＝2，BF＝2－1＝1， 所以cos ∠ABF＝＝. 因为∠ABF为锐角，所以∠ABF＝60°. 故C正确； 对于D，如图所示，在圆台的侧面上， 从C到E的最短路径的长度为CE. 由题意可得，FB＝FC＝4，AB＝2. 由E为AB中点，所以FE＝3， 所以CE＝＝＝5，故D错误．故选AC. 答案　AC 11．(2025·贵阳模拟)《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC -A1B1C1中，A1B＝2，则(　　) A．当AB⊥BC时，四面体ABCA1为鳖臑 B．当AC⊥AB时，四面体ABCA1为鳖臑 C．当AB＝AC＝2时，四面体ABCA1外接球的表面积为16π D．当AB＝AC时，堑堵ABC -A1B1C1体积的最大值为8 解析　对于A，在堑堵ABC -A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， 则AA1⊥AB，AA1⊥AC，AA1⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABA1， 因此BC⊥平面ABA1，而A1B⊂平面ABA1，于是BC⊥A1B， 四面体ABCA1的四个面均为直角三角形，即四面体ABCA1为鳖臑，A正确； 对于B，过A作AO⊥BC于O，连接A1O，由AC⊥AB，得O在线段BC上(除点B，C)外， 由AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得AA1⊥BC，而AO∩AA1＝A，AO，AA1⊂平面AA1O， 则BC⊥平面AA1O，又A1O⊂平面AA1O，于是BC⊥A1O，∠A1BC，∠A1CB均为锐角， 同理∠BA1C也为锐角，即△A1BC是锐角三角形，四面体ABCA1不是鳖臑，B错误； 对于C，当AB＝AC＝2时，O为BC中点，AB⊥AC，AO＝BC＝， 由A1B＝2，得AA1＝2，四面体ABCA1的外接球即为堑堵ABC -A1B1C1的外接球， 平面ABC与平面A1B1C1截该外接球的截面小圆平行且全等，则球心到截面ABC的距离h＝AA1＝， 而△ABC外接圆半径r＝AO＝，因此该外接球半径R＝＝2，该球的表面积为16π，C正确； 对于D，AB＝AC，则AB⊥AC，令AB＝x，由A1B＝2，得AA1＝， 堑堵ABC -A1B1C1体积V＝x2 ＝ ≤＝8， 当且仅当x2＝12－x2，即x＝2时等号成立，D正确． 故选ACD. 答案　ACD 三、填空题 12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为球面上的动点．若三棱锥O -ABC体积的最大值为9，则球O的体积为________． 解析　当OC⊥平面OAB时，三棱锥O -ABC的体积最大，设球O的半径为R， 则VO -ABC＝VC -OAB＝×S△OAB×OC＝9， 又∠AOB＝90°，则VO -ABC＝×R2×R＝R3＝9，R3＝54， 则V球O＝πR3＝π×54＝72π. 答案　72π 13．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，O是A1C1的中点，则三棱锥O -AB1C的体积为________． 答案　10 14．在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，若将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为60°的二面角B -AC -D，则四面体DABC的外接球球O的体积为________． 解析　如图，设M，N分别为△ABC，△ACD的外心，E为AC的中点， 则EN＝EM＝BE＝1， 在平面BDE内过点M作BE的垂线与过点N作DE的垂线交于点O. ∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴AC⊥平面BDE. ∵OM⊂平面BDE，∴OM⊥AC， ∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，BE，AC⊂平面ABC， ∴OM⊥平面ABC， 同理可得ON⊥平面ACD， 则O为四面体DABC的外接球的球心． 连接OE， ∵EM＝EN，OE＝OE， ∠OME＝∠ONE＝90°， ∴△OME≌△ONE， ∴∠OEM＝30°，∴OE＝＝. ∵AC⊥平面BDE，OE⊂平面BDE， ∴OE⊥AC，∴OA＝＝， 即球O的半径R＝. 故球O的体积V＝πR3＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $