专题2 重难突破4 衍生数列问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P151] 1．(2025·广州华南师大附中三模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝4，S5＝50，数列{bn}满足b1＝4，bn＋1＝4bn，n∈N*. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)若将数列{an}和{bn}的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得d＝3， 所以由等差数列的通项公式可得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)3＝3n＋1. 由b1＝4≠0，bn＋1＝4bn得数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，所以由等比数列的通项公式可得bn＝b1qn-1＝4×4n-1＝4n. 即对于数列{bn}中的任意一项，都在数列{an}中存在公共项，所以数列{bn}是数列{an}的子数列，从而可得cn＝4n，所以Tn＝＝. 2．(2025·山东烟台高三诊断)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝b1＝4，b2＝a2＋1，b3＝2a3－4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列{cn}，求{cn}的前50项的和． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 则即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n＋1，bn＝b1qn-1＝2n+1. (2)当数列{cn}的前50项中含有数列{bn}的前5项时， 令3n＋1＝25+1＝64，得n＝21，则第26项为64， 当数列{cn}的前50项中含有数列{bn}的前6项时， 令3n＋1<26+1＝128，得n<，则第48项为128； 所以数列{cn}的前50项中含有数列{bn}的前6项且含有数列{an}的前44项，故数列{cn}的前50项和为S50＝＋＝3266. 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn＋1，其中n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在不同的三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 解析　(1)当n≥2时，Sn＋1＝3Sn＋1， Sn＝3Sn－1＋1， 两式相减得an＋1＝3an， 又因为{an}是等比数列，所以公比为3， 由Sn＋1＝3Sn＋1知，a1＋a2＝3a1＋1， 即a2＝2a1＋1. 因为a2＝2a1＋1＝3a1，所以a1＝1，所以an＝3n-1. (2)由(1)可知an＝3n-1，an＋1＝3n， 因为an＋1＝an＋(n＋2－1)dn，所以dn＝， 假设在数列{dn}中存在不同的三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列， 则d＝dm·dp， 即2＝·， 所以＝(*)， 因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k， 代入(*)式整理得(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， k2＋2k＋1＝mp＋m＋p＋1，得k2＝mp， 即＝mp，所以(m－p)2＝0， 所以m＝k＝p，与题设矛盾． 所以在数列{dn}中不存在不同的三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 4．记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，已知a1＝b2＝4，q＝d，S9＝9b4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)将数列{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列{cn}，求{cn}的前100项和． 解析　(1)由S9＝9b4， 得9a1＋d＝9×b2q2， 因为a1＝b2＝4，所以1＋d＝q2. 结合q＝d，可得1＋q＝q2， 即＝0，q>0，解得q＝2，d＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝4＋3＝3n＋1， 数列{bn}的通项公式为bn＝4×2n-2＝2n. (2)由(1)可知，当n＝100时，a100＝301. 又bn＝2n，所以b1＝2，b2＝4，b3＝8，b4＝16，b5＝32，b6＝64，b7＝128，b8＝256，b9＝512>301， 令2＝3n＋1，解得n＝， 令4＝3n＋1，解得n＝1， 令8＝3n＋1，解得n＝， 令16＝3n＋1，解得n＝5， 令32＝3n＋1，解得n＝， 令64＝3n＋1，解得n＝21， 令128＝3n＋1，解得n＝， 令256＝3n＋1，解得n＝85， 所以数列{an}的前100项中与数列{bn}中相同的项共有4项， 即4，16，64，256，即为{bn}的前8项中的偶数项． 将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，则{cn}的前100项为数列{an}的前100项中剔除与数列{bn}中相同的4项后剩余的96项与{bn}的前8项中剔除与数列{an}中相同的4项后剩余的4项，所以{cn}的前100项和为＋－2×＝15 080. 学科网（北京）股份有限公司 $