专题2 重难突破3 数列中的奇偶项问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P150] 1．(2025·河北沧州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n+3－8. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝求数列的前n项和Tn. 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝24－8＝8. 当n≥2时，由Sn＝2n+3－8，得Sn－1＝2n+2－8， 则an＝Sn－Sn－1＝2n+3－2n+2＝2n+2. 因为a1＝8适合上式，所以an＝2n+2. (2)由(1)可得bn＝ 当n为偶数时，bn－1bn＋bnbn＋1＝(n＋1)2n+2＋(n＋3)2n+2＝(n＋2)2n+3， 则Tn＝4×25＋6×27＋8×29＋…＋(n＋2)2n+3， 则4Tn＝4×27＋6×29＋8×211＋…＋(n＋2)2n+5， 则－3Tn＝4×25＋2×－(n＋2)2n+5 ＝128＋－(n＋2)2n+5＝， 则Tn＝. 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bnbn＋1 ＝＋(n＋2)2n+3 ＝. 故Tn＝ 2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3＝13，S6＝36. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝(－1)nan＋[(－1)n＋1]2n，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a2＋2a3＝13，S6＝36， 得解得 所以an＝2n－1. (2)由(1)得bn＝(－1)n(2n－1)＋[(－1)n＋1]2n， 当n为奇数时，bn＝(－1)n(2n－1)＋[(－1)n＋1]2n＝－(2n－1)； 当n为偶数时，bn＝(－1)n(2n－1)＋[(－1)n＋1]2n＝(2n－1)＋2n+1， 所以T2n＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＋(23＋25＋…＋22n+1)＝2n＋＝＋2n， 所以数列{bn}的前2n项和T2n＝＋2n. 3．(2025·湖北名校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an·an＋1＝4n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝求数列{bn}的前2n项和S2n. 解析　(1)由题意，当n＝1时，a2＝4.因为an·an＋1＝4n①，所以an＋1·an＋2＝4n+1②，由①②可得＝4，所以数列{an}的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．因为a1＝1，a2＝4，所以当n为奇数时，an＝a1×＝2n-1；当n为偶数时，an＝a2×＝2n.综上，an＝ (2)由(1)得bn＝所以S2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝＋＝n2＋－. 4．(2025·浙江嘉兴二模)已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*). (1)若数列{an}是等差数列，求a1的值； (2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 解析　(1)若数列{an}是等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd. 由an＋1＋an＝4n－3， 得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3， 即2d＝4，2a1－d＝－3， 解得d＝2，a1＝－. (2)由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)， 得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*). 两式相减，得an＋2－an＝4， 由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1， 所以数列{a2n－1}是首项为a1＝2，公差为4的等差数列；数列{a2n}是首项为a2＝－1，公差为4的等差数列， 所以an＝ 当n为奇数时，an＝2n，an－1＝2n－7. Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(a1＋a3＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－1) ＝＋ ＝； 当n为偶数时，an＝2n－5，an－1＝2n－2， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an) ＝＋＝. 综上，Sn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $