专题2 第2讲 数列求和及其综合应用(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P148]

1．(2025·湖南郴州三模)已知数列{an}为等差数列，且a2＝3，a4＋a5＋a6＝27.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn－2，求数列{bn}的通项公式；

(3)已知数列{cn}满足：cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Mn.

解析　(1)因为数列{an}为等差数列，则a4＋a5＋a6＝3a5＝27，可得a5＝9，

所以数列{an}的公差为d＝＝＝2，

故an＝a2＋d＝3＋2＝2n－1.

(2)当n＝1时，b1＝S1＝2b1－2，解得b1＝2，

当n≥2且n∈N*时，

由Sn＝2bn－2得Sn－1＝2bn－1－2，

上述两个等式作差可得bn＝2bn－2bn－1，可得bn＝2bn－1，

所以数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，

故bn＝2×2n-1＝2n.

(3)由(1)(2)可得cn＝anbn＝·2n，

所以Mn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋·2n，

则2Mn＝1·22＋3·23＋…＋·2n＋·2n+1，

上述两个等式作差得－Mn＝2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－·2n+1

＝2＋－·2n+1

＝－6＋·2n+1，

整理得Mn＝·2n+1＋6.

2．已知数列{an}，若a1＝1，an＋1－2an＝1.

(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；

(2)若数列的前n项和为Sn，不等式loga(1－a)>Sn对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

解析　(1)证明　因为an＋1＝2an＋1，

所以an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2，

又因为a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

(2)由(1)易知an＋1＝2×2n-1＝2n，an＝2n－1，

所以＝＝－，

所以Sn＝ ＝ ＝1－，则Sn<1恒成立，

所以要使不等式loga(1－a)>Sn对任意正整数n恒成立，

只需loga(1－a)≥1，

由题意可得a>0，a≠1且1－a>0，则0<a<1，

所以1－a≤a，解得a≥，

所以≤a<1，即实数a的取值范围是.

3．(2025·山东日照一模)已知数列{an}为等差数列，且满足a2n＝2an＋1(n∈N*).

(1)若a1＝1，求数列的前n项和Sn；

(2)若数列{bn}满足2b1＋b2＝b1b2，且数列{an·bn}的前n项和Tn＝·2n+1＋8，求数列{bn}的通项公式．

解析　(1)当n＝1时，由a2n＝2an＋1，得a2＝2a1＋1，因为a1＝1，所以a2＝3，

所以等差数列{an}的公差为a2－a1＝2，

所以an＝1＋·2＝2n－1，

故＝＝

故数列{an}的前n项和

Sn＝＝＝.

(2)当n＝1时，a1b1＝T1＝×22＋8＝4，

可得b1＝，

当n≥2时，anbn＝Tn－Tn－1

＝[(3n－4)·2n+1＋8]－[(3n－7)·2n＋8]

＝3n·2n+1－2n+3－3n·2n＋7·2n

＝2n＝2n，

将n＝1代入上式，则a1b1＝2×＝4＝T1，

综上所述，anbn＝2n，n∈N*.

a2b2＝22×＝20，可得b2＝，

又因为a2＝2a1＋1，则b2＝，

由方程2b1＋b2＝b1b2，可得＋a1＝1，解得a1＝2，

由a2＝2a1＋1＝5，则等差数列{an}的公差为3，

所以an＝3n－1，

由anbn＝2n，n∈N*，得bn＝2n.

4．(2025·青岛质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且a1为a2与S2的等差中项，当n≥2时，总有 2Sn＋1－3Sn＋Sn－1＝0.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bm为数列落在区间内的项的个数，求数列{(－1)mb}的前m项和Wm.

解析　(1)∵当n≥2时，总有 2Sn＋1－3Sn＋Sn－1＝0，

∴2＝Sn－Sn－1，从而an＋1＝an.

∵a1为a2与S2的等差中项，∴a2＋S2＝2a1，

∵a1＝1，∴a2＝，从而a2＝a1.

综上可得，对于n∈N*，都有an＋1＝an，

即＝，

则数列{an}是以a1＝1为首项，为公比的等比数列，即an＝.

(2)根据(1)可得＝2n-1，由0<≤4m-1，即0<2n-1≤4m-1，得n≤2m－1，n∈N*，

∴bm＝2m－1，从而(－1)mb＝(－1)m2，

∴Wm＝－12＋32－52＋…＋(－1)m2.

当m为偶数时，Wm＝－12＋32－52＋72－92＋112－…－2＋2

＝＋＋(－92＋112)＋…＋

＝8＋24＋40＋…＋＝＝2m2.

当m为奇数且 m≥3时，Wm＝Wm－1－(2m－1)2＝2(m－1)2－2＝1－2m2，

由于W1＝－1满足上式，