专题2 第1讲 等差数列、等比数列(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P146] 一、单项选择题 1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a3＋a5＝(　　) A．15 B．9 C．3 D．5 解析　在等差数列{an}中，已知a2＋a4＝6， 所以a2＋a4＝2a3＝6，所以a3＝3. 同样根据等差数列性质，所以a1＋a5＝2a3. 则a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3. 把a3＝3代入可得3a3＝3×3＝9.故选B. 答案　B 2．(2025·江西赣州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3an＝2Sn＋1，则S5＝(　　) A．11 B．31 C．61 D．121 解析　令n＝1，得3a1＝2S1＋1＝2a1＋1， 得a1＝1， 由3an＝2Sn＋1， 当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋1，两式相减得， 3an－3an－1＝2＝2an，即an＝3an－1， 即＝3， 所以数列{an}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列， 所以S5＝＝121.故选D. 答案　D 3．(2025·黑龙江一模)正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若a2＝a3＋2a4，S2＝32，则S6＝(　　) A．63 B．56 C．52 D．42 解析　正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和， 若a2＝a3＋2a4，则2q2＋q－1＝0， 所以q＝或q＝－1， 因为an>0，所以q>0，所以q＝， 又因为S2＝a1＋a2＝a1＋a1×＝a1＝32， 所以a1＝， 则S6＝＝2×＝2××＝42.故选D. 答案　D 4．在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位：L)依次成等差数列，若a1＋a2＋a3＝3.6，a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝(　　) A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 解析　∵{an}为等差数列， ∴a1＋a2＋a3＝3a2＝3.6，故a2＝1.2， ∴a1＋a2＋…＋a9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝×(1.2＋0.4)＝7.2. 答案　C 5．(2025·河南安阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2n(n＋2)Sn＋1＝(n＋1)(n＋2)Sn＋n(n＋1)Sn＋2，若a3＝5，S2025＝2025，则a508＝(　　) A．3 B．6 C．1015 D．2030 解析　由2n(n＋2)Sn＋1＝(n＋1)(n＋2)Sn＋n(n＋1)·Sn＋2，变形得到 ＝＋，即＝＋， 故为等差数列，设公差为d，则＝＋d＝a1＋d， 故Sn＝na1＋nd　①， 则Sn＋1＝(n＋1)a1＋n(n＋1)d　②， ②－①得an＋1＝a1＋2nd，则an＝a1＋d，an＋1－an＝2d， 所以{an}为等差数列，则S5＝＝＝5a3＝25， ＝＋2020d，即5＋2020d＝1， 解得d＝－， 所以＝－＝－n， 则＝－×1015＝3，S1015＝3045， 又S1015＝＝1015a508， 故a508＝＝3.故选A. 答案　A 6．(2025·山东临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn>0.99时，n的最小值为(　　) A．49 B．50 C．99 D．100 解析　因为Sn＋nan＝1，所以a1＝， 当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋an－1＝1， 所以(n＋1)an＝an－1，即＝， 此时an＝××…×××a1＝×××…×××× ＝， n＝1也满足该式， 故an＝，Sn＝1－nan＝1－， 若Sn＝1－>0.99，解得n>99，故n的最小值为100.故选D. 答案　D 二、多项选择题 7．(2025·安徽芜湖质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有(　　) A．若k＝15，则Sk＝15a8 B．若S4＝2，S8＝8，则S16＝20 C．若{an}为常数列，则{an}一定为等比数列 D．若0<a1≤1且Sn＝S4047－n，则公差d的最小值为－ 解析　选项A，若k＝15，则由等差数列的性质可得S15＝＝15a8，A正确． 选项B，由等差数列的性质可知，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，又S4＝2，S8＝8，则可得S12＝18，S16＝32，B错误． 选项C，若{an}为常数列，且an＝0，则{an}不是等比数列，C错误． 选项D，由Sn＝S4047－n得S4047－n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a4047－n＝0，根据等差数列的性质可知，an＋1＋a4047－n＝0，即a1＋nd＋a1＋d＝0，d＝－a1，因为0<a1≤1，所以dmin＝－，D正确．故选AD. 答案　AD 8．(2025·山东济宁一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋2，{bn}为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝{x∈N*bn≤x≤an}中元素的个数为cn，数列{cn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．an＝2n B．bn＝n C．cn＝2n－n D．Tn＝2n+1－－2 解析　对于A，设等比数列{an}的公比为q，由an＋1＝Sn＋2，得an＝Sn－1＋2， 两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，所以q＝2， 又a2＝S1＋2＝a1＋2，a2＝2a1，解得a1＝2， 所以an＝2×2n-1＝2n，正确； 对于B，设等差数列{bn}的公差为d， 由b2＝a1＝2，b8＝a3＝8，得6d＝b8－b2＝6， 解得d＝1， 所以bn＝b2＋d＝n，正确； 对于C，由A＝{x∈N*|bn≤x≤an}，得A＝{x∈N*|n≤x≤2n}， 则集合A中元素的个数为2n－n＋1，即cn＝2n－n＋1，错误； 对于D，Tn＝－＋n＝－＋n＝2n+1－－2，正确．故选ABD. 答案　ABD 三、填空题 9．(2025·广东湛江一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2n－1＝4n2－2an－1，a1＝1，则数列{an}的通项公式为________． 解析　设{an}的公差为d， 因为S2n－1＝4n2－2an－1， 所以S3＝4×22－2a2－1＝15－2a2， 又S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，故15－2a2＝3a2，解得a2＝3，所以d＝a2－a1＝2， 又a1＝1，所以an＝a1＋d＝1＋2＝2n－1. 答案　an＝2n－1 10．已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，且 n∈N*)，a1＝1，a2＝3，则数列{an}的前10项和为________． 解析　因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，且n∈N*)， 所以an＋1－an＝2(an－an－1)， 所以数列 {an＋1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列， 所以an＋1－an＝2n， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n-1＋2n-2＋…＋2＋1＝2n－1， 所以数列 {an}的前10项和为(2－1)＋(22－1)＋…＋(210－1)＝(2＋22＋…＋210)－10＝－10＝211－2－10＝2036. 答案　2036 四、解答题 11．(2025·山东枣庄二模)在数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－2. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an－2n，求数列{bn}的前n项和Sn的最大值． 解析　(1)方法一　因为an＋1＝an＋2n－2， 所以an＋1－an＝2n－2， 则当n≥2，n∈N*时，an－an－1＝2n-1－2，an－1－an－2＝2n-2－2，…，a2－a1＝2－2， 累加得，an－a1＝2n-1＋2n-2＋…＋2－2＝－2＝2n－2n， 所以an＝2n－2n＋20，n≥2. 又a1＝20，也满足上式． 所以an＝2n－2n＋20. 方法二　因为an＋1＝an＋2n－2， 所以an＋1－2n+1＝an－2n－2， 所以－＝－2. 因为a1＝20，所以a1－2＝18， 所以数列{an－2n}是首项为18，公差为－2的等差数列． 所以an－2n＝18＋×＝20－2n， 故an＝2n－2n＋20. (2)由(1)知bn＝an－2n＝20－2n， 则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝20n－2 ＝20n－2×＝－n2＋19n ＝－2＋， 所以当n取9或10时，Sn最大，且S10＝S9＝－2＋＝90. 即数列{bn}的前n项和Sn的最大值为90. 12．已知数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn＋an＝2，b1＝a1，T4＝4T2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cnan－bn＝1，求数列{cn}的前n项和． 解析　(1)由Sn＋an＝2，得S1＋a1＝2，即2a1＝2，解得a1＝1，则b1＝a1＝1，设等差数列{bn}的公差为d，由T4＝4T2，得4b1＋6d＝4，解得d＝2b1＝2，所以数列{bn}的通项公式为bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1； 由Sn＋an＝2，得当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2，两式相减得2an－an－1＝0，即an＝an－1，因此数列{an}是首项为1，公比为的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为an＝a1·＝. (2)由(1)及cnan－bn＝1，得cn＝＝2n·2n-1＝n·2n， 令数列{cn}的前n项和为An， 则An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 于是2An＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1， 两式相减得－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝－2－(n－1)·2n+1， 所以An＝(n－1)·2n+1＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $