专题1 重难突破2 三角形的特殊线段问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P145] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b(1＋cos A)＝c(1－cos 2B). (1)证明：b＝c； (2)若BC边上的高AD为2，AC边上的中线BE为2，求△ABC的面积． 解析　(1)证明　因为b(1＋cos A)＝c(1－cos 2B)， 则b(1＋cos A)＝c·2sin2B，由正弦定理得sinB(1＋cos A)＝sin C·2sin2B，因为B∈(0，π)，sinB≠0，所以1＋cos A＝2sin C sin B，又因为B＋C＋A＝π，所以1－cos (B＋C)＝2sin C sin B， 所以1－cos B cos C＋sin C sin B＝2sin C sin B， 所以cos (B－C)＝1，因为B－C∈(－π，π)， 所以B－C＝0，所以B＝C，即b＝c得证． (2)因为BC边上的高AD为2，AC边上的中线BE为2，所以AD⊥BC，所以cos C＝＝， 在△BEC中，由余弦定理得BE2＝BC2＋EC2－2BC·EC cos C，所以28＝a2＋－2a··，即28＝＋，且＋4＝b2，解得a＝4，b＝c＝4，所以S△ABC＝a×AD＝4. 2．(2025·湖南岳阳一模)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a sin C＋a cos C－b＝c，点D为BC边的中点，若AD＝，且2b2－a2＝4. (1)求A； (2)求△ABC的面积． 解析　(1)因为a sin C＋a cos C－b＝c， 利用正弦定理可得 sin A sin C＋sin A cos C－sin B＝sin C， 又sin B＝sin ＝sin A cos C＋cos A sin C， 故sin A sin C＋sin A cos C－sin A cos C－cos A sin C＝sin C， 即sin A sin C－cos A sin C＝sin C， 因为C∈，所以sin C>0，故sin A－cos A＝1， 由辅助角公式得2sin ＝1， 又A∈，故－<A－<， 即A－＝，所以A＝. (2)∠ADB＋∠ADC＝π， 故cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 由余弦定理得＋＝0， 由D为BC中点，化简得AC2＋AB2＝2(AD2＋BD2)， AD＝，故b2＋c2＝2， 又2b2－a2＝4，所以c＝2， 又cos A＝＝，故b2＋4－a2＝2b， 将a2＝2b2－4代入上式得b2＋4－2b2＋4＝2b， 即b2＋2b－8＝0， 解得b＝2(负值舍去)， 则△ABC的面积为bc sin A＝×2×2×＝. 3．(2025·山东省实验中学模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足－1＝，且A≠C. (1)求证：B＝2C； (2)已知BD是∠ABC的平分线，若a＝4，求线段BD长度的取值范围． 解析　(1)证明　由题意得＝， 由正弦定理得＝＝， 因为A≠C，则a≠c， 可得＝，整理得b2＝c2＋ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cosB，所以c＝a－2c cos B， 由正弦定理得sin C＝sin A－2sin C cos B， 故sin C＝sin －2sin C cos B， 整理得sin C＝sin ， 又因为△ABC为锐角三角形，则C∈，B∈，可得B－C∈， 所以C＝B－C，即B＝2C. (2)在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以BD＝＝＝， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C， 所以解得<C<. 故<cos C<，所以<BD<2. 因此线段BD长度的取值范围为. 4．(2025·辽宁名校联盟联考)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边 AB上，b＝2，CM＝1，且＝，________． 在①CM为△ABC的一条中线；②CM为△ABC的一条角平分线；③CM为△ABC的一条高线这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． (1)求边长AB； (2)若△ABC外接圆的面积为S1，内切圆的面积为S2，求S1－S2的值． 解析　(1)＝，由正弦定理可得＝， 由倍角公式可得＝， 则2sin A＝2cos B sin C－sin B， 又因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以2sin B cos C＋2cos B sin C＝2cos B sin C－sin B，即(2cos C＋1)· sin B＝0. 因为B ∈(0，π)，所以sin B≠0，可得cos C＝－，又因为C∈(0，π)，所以C＝. 若选择①：若CM为△ABC的中线，设AM＝BM＝x(x>0). 由余弦定理可得cos ∠CMA＝， cos ∠CMB＝， 因为∠CMA＋∠CMB＝π， 所以cos ∠CMA＋cos ∠CMB＝0， 即＋＝0， 整理得BC2＝2x2－2>0，可知x>1， 又因为cos ∠ACB＝＝－， 将BC2＝2x2－2代入上式可得x2＝3或x2＝1(舍去)， 所以AB＝2x＝2. 若选择②：若CM为△ABC的角平分线，则∠ACM＝∠BCM＝， 在△ACM中，由余弦定理得AM2＝22＋12－2×2×1×＝3，即AM＝， 可知AM2＋CM2＝AC2，即CM⊥AB，可知AC＝BC，AM＝MB＝，所以AB＝2AM＝2. 若选择③：若CM为△ABC的高线，则∠CMA＝∠BMC＝， 则AM2＝AC2－CM2＝3，即AM＝，则A＝， 可知B＝，所以AC＝BC，AM＝MB＝， 所以AB＝2AM＝2. (2)设△ABC外接圆的半径为R， 由正弦定理可得2R＝＝4， 解得R＝2， 所以S1＝4π. 由(1)可知，BC＝2，AB＝2， 所以△ABC的面积S△ABC＝×2×1＝，△ABC的周长 L＝4＋2. 设△ABC 内切圆的半径为r， 则rL＝S△ABC， 解得r＝2－3， 可得S2＝(2－3)2π＝(21－12)π， 所以S1－S2＝(12－17)π. 学科网（北京）股份有限公司 $