专题1 重难突破1 三角函数中ω的最值(范围)问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P143] 一、单项选择题 1．将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin ＝sin . 因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z). 因为ω>0，所以ωmin＝.故选C. 答案　C 2．若函数f(x)＝sin 在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　当x∈时， ωx＋∈， 若函数f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增， 则k∈Z， 解得k∈Z， 又ω>0，当k＝0时，可得0<ω≤2.故选A. 答案　A 3．已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)，f(0)＝f(4)＝－2，函数f(x)在(0，4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则ω的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析　∵f(0)＝4sin φ＝－2，∴sin φ＝－. 又|φ|<，∴φ＝－. 当x＝＝2时，函数取到最小值，此时2ω－＝2kπ＋，k∈Z.解得ω＝kπ＋，k∈Z. 又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，最小值为. 故选C. 答案　C 4．已知函数f(x)＝cos 在区间内有且仅有一个极小值，且方程f(x)＝在区间内有3个不同的实数根，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　因为x∈，所以ωx＋∈，若f(x)在区间内有且仅有一个极小值，则π<＋≤3π　①.若方程f(x)＝在区间内有3个不同的实数根，则<＋≤　②，由①②，解得<ω≤. 所以ω的取值范围是.故选C. 答案　C 5．已知f(x)＝2cos (ω>0)，若方程|f(x)|＝1在区间(0，π)上恰有4个实根，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　由|f(x)|＝1，得＝1， 所以cos ＝或cos ＝－， 所以ωx－＝－＋2kπ，或ωx－＝＋2kπ，或ωx－＝＋2kπ，或ωx－＝＋2kπ，k∈Z， 由x∈(0，π)，得ωx∈(0，ωπ)， 所以ωx－∈， 因为方程|f(x)|＝1在区间(0，π)上恰有4个实根， 所以<ωπ－≤，解得2<ω≤，故选D. 答案　D 二、多项选择题 6．已知函数f(x)＝cos (ω>0)，则(　　) A．当ω＝2时，f的图象关于x＝对称 B．当ω＝2时，f(x)在上的最大值为 C．当x＝为f(x)的一个零点时，ω的最小值为1 D．当f(x)在上单调递减时，ω的最大值为1 解析　ω＝2时，f＝cos 2x，因为cos 2(π－x)＝cos (－2x)＝cos 2x，所以f关于x＝对称，故A正确； ω＝2时，由x∈可得2x＋∈，根据余弦函数的单调性可知cos 的最大值为cos ＝，故B错误；若f＝0，则ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝1＋6k，k∈Z，且ω>0，所以ω的最小值为1，故C正确；因为f(x)在上单调递减，且ω>0，根据余弦函数的单调性，令2kπ≤ωx＋≤2kπ＋π，k∈Z，即－≤x≤＋，k∈Z，所以≤，－≥－，所以0<ω≤1，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 7．(2025·湖南长沙联考)已知f(x)＝sin cos ＋cos2－，ω>0，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2 B．若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为1 C．若f(x)在[0，2π)上恰有4个极值点，则ω的取值范围为 D．存在ω，使得f(x)在上单调递减 解析　f(x)＝sinωx＋－＝sin . 对于A，由＝π，ω>0，得ω＝2，故A正确； 对于B，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到 y＝sin ＝sin 的图象， 若所得图象关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z，得ω＝1＋3k，k∈Z，又ω>0，所以ωmin＝1，故B正确； 对于C，由x∈[0，2π)，ω>0，得ωx＋∈， 若f(x)在[0，2π)上恰有4个极值点， 则<2πω＋≤，解得ω∈，故C正确； 对于D，由x∈，ω>0，得ωx＋∈， 因为∈，所以f(x)在上不可能单调递减，故D错误． 故选ABC. 答案　ABC 8．已知函数f(x)＝sin ，且f(0)＝，则下列陈述正确的是(　　) A．若函数f(x)的相邻对称轴之间的距离为，则函数f(x)的最小正周期为π B．若函数f(x)的相邻对称轴之间的距离为，则x＝为f(x)的一条对称轴 C．若函数f(x)在区间上有三个零点，则ω的范围为 D．若函数f(x)在无零点，则ω的范围为∪∪ 解析　f(0)＝sin φ＝，|φ|<，则φ＝， f(x)＝sin ， 选项A，T＝×2＝π，正确； 选项B，T＝＝×2，ω＝2，f(x)＝sin ， x＝时，2x＋＝，因此x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，正确； 选项C，x∈(0，π)时，f(x)有三个零点，则3π<ωπ＋≤4π，<ω≤，错误； 选项D，x∈时，因为ω>0， 则ωx＋∈，f(x)无零点， ＋<π⇒0<ω<， 或π<＋<＋<2π⇒2<ω<， 或2π<＋<＋<3π⇒5<ω<， 若＋>3π，则ω>8，此时－＝>π，f(x)在上一定有零点，不合题意， 所以ω∈∪∪，正确． 故选ABD. 答案　ABD 三、填空题 9．设常数ω>0，f(x)＝sin ωx cos ωx－cos2ωx＋，若函数y＝f(x)在区间上的最小值为0，则ω的最大值为________． 解析　由函数f(x)＝sinωx cos ωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－＋ ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋ ＝sin ＋， 因为x∈，可得2ωx－∈， 又因为f(x)的最小值为0，即y＝sin 的最小值为－， 所以－≤，解得ω≤， 即实数ω的最大值为. 答案　 10．(2025·山东烟台、德州诊断)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为________． 解析　f(x)＝2sin －1，由f(x)＝0，得sin ＝， 则ωx＋＝2kπ＋，k∈Z或 ωx＋＝2kπ＋，k∈Z， 由x∈[0，2π]，得ωx＋∈， 由f(x)在[0，2π]上恰有5个零点， 得≤2πω＋<，解得≤ω<， 由－≤ωx＋≤，得－≤x≤， 即函数f(x)在上单调递增， 因此⊆，即－≤－，且≥，解得0<ω≤， 所以正实数ω的取值范围为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $