专题1 第3讲 解三角形(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P139] 一、单项选择题 1．(2025·江西南昌二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，2a cos C＋2c cos A＝3a，则a＝(　　) A．2 B．3 C． D． 解析　因为2a cos C＋2c cos A＝3a， 由正弦定理，可得2sin A cos C＋2sin C cos A＝3sin A，所以2sin (A＋C)＝3sin A， 又因为A＋C＝π－B，所以sin (A＋C)＝sin B， 所以2sin B＝3sin A， 又由正弦定理，可得2b＝3a，即a＝b， 因为b＝3，所以a＝2.故选A. 答案　A 2．(2025·河南洛阳二模)如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D 点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点间的距离为(　　) A． 百米 B．2 百米 C．3百米 D．2 百米 解析　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2. 在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°， CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝， 则BC＝＝＝. 在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°， 则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝9，则AB＝3(百米).故选C. 答案　C 3．(2025·湖南长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A<，a＝2，b＝5，sin 2A＝，则△ABC的面积为(　　) A．36 B．18 C．36 D．27 解析　因为cos2A＋sin2A＝1，且2sinA cos A＝，因为A∈，所以sin A＝，cos A＝， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即4×17＝50＋c2－2×5c×，即c2－8c－18＝0，即(c－9)(c＋)＝0， 所以c＝9，所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×9×＝27.故选D. 答案　D 4．(2025·河北石家庄一模)如图，在△ABC中，已知∠CBA＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝(　　) A．4 B．5 C．2 D． 解析　在△ACD中，由余弦定理得cos C＝＝＝， 又因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝， 在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝.故选D. 答案　D 5．(2025·南京三模)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图①，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，即∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图②，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到 D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　依题意可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm). 因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝BD＝AD′＝20. 在△ABD中，cos ∠BAD＝＝＝， 所以cos ∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×2－1＝－.故选A. 答案　A 6．(2025·辽宁大连三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“＝＝”是“cos (A－B)· cos (B－C)· cos (C－A)＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　充分性：已知正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)， 当＝＝时，＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，显然 tan A＝tan B＝tan C≠0. 若tan A＝tan B＝tan C<0，又A，B，C∈(0，π)，则A，B，C均为钝角，显然不符合题意． 故tan A＝tan B＝tan C>0，A，B，C 均为锐角． 又y＝tan x在上单调递增， 所以A＝B＝C， 则A－B＝B－C＝C－A＝0，所以cos (A－B)·cos ·cos ＝1成立． 必要性：当cos ·cos ·cos (C－A)＝1时， 因为0<A<π，0<B<π，0<C<π，所以－π<A－B<π，－π<B－C<π，－π<C－A<π， 又y＝cos x，x∈的值域为(－1，1]， 所以cos ＝cos ＝cos (C－A)＝1， 所以A－B＝B－C＝C－A＝0，即A＝B＝C， 所以△ABC为等边三角形，则＝＝成立． 综上，“＝＝”是cos ·cos ·cos ＝1”的充要条件．故选B. 答案　B 二、多项选择题 7．(2025·河北秦皇岛二模)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为5，且满足4sin A＋3cos ＋3cos ＝8，则下列结论正确的是(　　) A．sin A＝ B．△ABC是锐角三角形 C．b＝2 D．△ABC的面积为10 解析　因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，因此cos ＝－cos A； 所以由4sin A＋3cos ＋3cos ＝8可得4sin A－3cos A＋3cos ＝8； 即5sin ＋3cos ＝8，其中cos φ＝，sin φ＝. 再由三角函数值域可知sin ≤1，cos ≤1， 因此只有当sin ＝1，cos ＝1时，等式5sin ＋3cos ＝8成立； 因此sin ＝1，即A－φ＝＋2kπ，k∈Z， 对于A，可知sin A＝sin ＝sin ＝cos φ＝，即A正确； 对于B，由分析可知cos ＝1，即B＝C； 又4sin A－3cos A＋3cos ＝8，sin A＝， 所以cos A＝－，因此A为钝角，即△ABC为钝角三角形，即B错误； 对于C，由分析知b＝c，且a＝2R sin A＝8， 根据余弦定理可得cos A＝＝＝－， 解得b＝2，即C正确； 对于D，此时三角形面积S＝bc sin A＝×2×2×＝8，即D错误． 故选AC. 答案　AC 8．(2025·山东济宁一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，且2c－b＝2a cos B，则下列结论正确的是(　　) A．A＝ B．△ABC外接圆的面积为π C．△ABC面积的最大值为 D．△ABC周长的最大值为3 解析　对于选项A：因为2c－b＝2a cos B， 由余弦定理可得2c－b＝2a×＝， 整理可得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝， 且A∈，所以A＝，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝＝＝1， 所以△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确； 对于选项C：由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc， 且b2＋c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝时，等号成立， 所以△ABC面积的最大值为×3×＝，故C正确； 对于选项D：由b2＋c2＝3＋bc可得2＝3＋3bc，即bc＝， 且bc≤，即≤， 解得2≤12，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立， 所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 三、填空题 9．(2025·湖南邵阳二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若2A＝B＋C，＝，则sin C＝________． 解析　由⇒A＝， 由＝，及正弦定理＝可得sin B＝cos B， 所以B＝，所以C＝π－－＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝. 答案　 10．(2025·广东佛山一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且＋＝，则＝________． 解析　因为＋＝， 故sin B sin C cos A＋2sin A sin C cos B＝3sin A sin B cos C， 所以bc×＋2ac×＝3ab×， 整理得3c2＝a2＋2b2，故＝. 答案　 四、解答题 11．(2025·福建厦门三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－c cos A＝c＋b. (1)求A； (2)D为边BC上一点，若∠BAD＝90°，且BD＝4DC＝4，求△ABC的面积． 解析　(1)方法一　已知a cos C－c cos A＝c＋b， 由正弦定理得，sin A cos C－sin C cos A＝sin C＋sin B， 因为sin B＝sin ＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以2sin C cos A＋sin C＝0， 由于0°<C<180°，故sin C>0，则cos A＝－， 而0°<A<180°，因此A＝120°. 方法二　由题意及余弦定理得， －＝c＋b， 所以a2－c2＝bc＋b2，即b2＋c2－a2＝－bc， cos A＝＝－， 而0°<A<180°，因此A＝120°. (2)方法一　由(1)及题设知，∠BAD＝90°，∠CAD＝30°，a＝5. 在△ABD中，由正弦定理得，＝， 在△ACD中，由正弦定理得，＝， 两式相除可得＝＝2，即c＝2b， 在△ABC中，由余弦定理得，25＝b2＋c2－2bc cos 120°＝7b2，即b2＝， 则△ABC的面积S＝bc sin A＝b2＝. 方法二　由(1)及题设知，∠BAD＝90°，∠CAD＝30°. 一方面，因为高相同，则△ABD与△ACD的面积之比等于＝4， 另一方面，△ABD与△ACD的面积之比为＝， 所以＝4，即c＝2b. 在△ABC中，由余弦定理得，25＝b2＋c2－2bc cos 120°＝7b2，即b2＝， 则△ABC的面积S＝bc sin A＝b2＝. 12．(2025·浙江宁波十校联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin (A－B)cos C＝cos B sin (A－C). (1)判断△ABC的形状； (2)若△ABC为锐角三角形，sin A＝，求＋＋的最大值． 解析　(1)由题意得(sin A cos B－cos A sin B)cos C＝cos B·(sin A cos C－cos A sin C)， 整理得cos A(cos B sin C－sin B cos C) ＝cos A sin (C－B)＝0， 故cos A＝0或 sin (C－B)＝0， 当cos A＝0时，A＝，△ABC为直角三角形； 当sin (C－B)＝0时，B＝C，△ABC为等腰三角形， 当cos A＝0且 sin (C－B)＝0时，A＝，B＝C＝，△ABC为等腰直角三角形． 故△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． (2)由(1)知，若△ABC为锐角三角形，则一定为等腰三角形，∴b＝c， 由＝得a sin B＝b sin A＝1， ∴a＝， ∴＋＋＝＋＝2sin2B＋sinA＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin ， ∵△ABC为锐角三角形， ∴解得<B<， ∴当2B－＝，即B＝时，＋＋取得最大值，最大值为＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $