专题1 第2讲 三角函数的图象与性质(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P137] 一、单项选择题 1．(2025·山东潍坊检测)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　) A．y＝|sin x| B．y＝|cos x| C．y＝cos 2x D．y＝tan 解析　对于A，y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为π，当x∈时，y＝|sin x|＝sin x在上单调递增，A是； 对于B，由A的分析同理可知y＝|cos x|的最小正周期为π， 当x∈时，y＝|cos x|＝cos x在上单调递减，B不是； 对于C，y＝cos 2x的最小正周期为π，在上单调递减，C不是； 对于D，y＝tan 的最小正周期为2π，D不是．故选A. 答案　A 2．(2025·山东济宁一模)将函数y＝2cos 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2cos B．y＝2cos C．y＝2cos D．y＝－2cos 解析　函数周期T＝＝π，所以函数y＝2cos 的图象向右平移个周期可得y＝2cos ＝2cos ＝－2cos ＝－2cos ＝－2cos . 故选D. 答案　D 3．(2025·山东济宁一模)若函数f(x)＝2sin x＋cos x－，x∈(0，π)的两个零点分别为x1和x2，则cos (x1－x2)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　函数f(x)＝2sin x＋cos x－＝sin (x＋φ)－，其中锐角φ由tan φ＝确定， 由f(x1)＝f(x2)＝0，得sin (x1＋φ)＝sin (x2＋φ)＝，而x1，x2∈(φ，π＋φ)， 因此x1＋φ＋x2＋φ＝π，即φ＝－， 则sin ＝， 即sin ＝，于是cos ＝，所以cos (x1－x2)＝2cos2－1＝.故选C. 答案　C 4．(2025·陕西咸阳二模)已知函数f(x)＝A sin(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 解析　由图易知A＝2，函数的最小正周期T满足：＝－＝，得到T＝π， 又ω>0，所以＝π，解得ω＝2， 又函数图象经过点，则有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)＝2sin ，则f＝2sin ＝－，故选D. 答案　D 5．已知函数f(x)＝sin 的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g＝(　　) A． B． C．1 D．0 解析　由图知T＝－＝⇒T＝π， 则＝π⇒ω＝2， 由f＝sin ＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，则φ＝，故f(x)＝sin ， 由题意g(x)＝f＝sin ， 故g＝sin ＝sin ＝. 故选B. 答案　B 6．(2025·黑龙江模拟)函数f(x)＝2cos ·cos ωx－2sin2ωx＋1图象如图所示，若函数f(x)在上单调递增，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　∵f(x)＝2sinωx·cos ωx－2sin2ωx＋1， ∴f(x)＝cos2ωx＋sin 2ωx＝2sin ， ∵f(x)的图象过点， ∴2sin ＝0. ∴－ω＋＝0，ω＝， ∴f(x)＝2sin . 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 若函数f(x)在上单调递增，则m的取值范围是.故选C. 答案　C 7．(2025·河南安阳一模)已知函数f(x)＝sin 在x∈时满足f(x)>恒成立，且在区间内，仅存在三个数x1，x2，x3，使得f＝f＝f＝m，则＋x2＋＝(　　) A． B． C． D． 解析　x∈时，2x＋φ∈， 令y＝sin z，则当z∈(k∈Z)时，y>， 故要想f(x)＝sin 在x∈时满足f(x)>恒成立， 需满足φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， 当x∈时，2x＋∈， 画出y＝sin z在z∈上的图象，如下： 由图象可知，m∈，＝，＝， 则＝，＝， 故x1＋x2＝－＝，x2＋x3＝－＝， 两式相加得x1＋2x2＋x3＝＋＝， 所以＋x2＋＝. 故选C. 答案　C 8．“夸父一号”是我国首颗综合性太阳探测卫星，于2022年 10月9日在酒泉卫星发射中心成功发射．在北京时间2024年1月1日，“夸父一号”成功地记录了第25 太阳活动周最大的耀斑．在探测的过程中，某信息的传递可以用函数f(x)＝e·来近似模拟信号，其中t为常数，e是自然对数的底数，当t＝时，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点对称 B．函数f是偶函数 C．函数f(x)的最小正周期是π D．函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z) 解析　当t＝时， f(x)＝e·＝＝2， 作出函数图象，如图． 由图可知A错误． 函数f(x)的最小正周期 T＝×＝，故C错误． f＝2＝2|sin 2x|，是偶函数，故B正确． 由图可知函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，故D错误． 答案　B 二、多项选择题 9．(2025·山东烟台、东营一模)已知函数f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＋1，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x＝－对称 C．f(x)在区间上的取值范围为 D．f(x)的图象可由y＝2cos的图象向右平移个单位长度得到 解析　由f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＋1＝sin2x－cos 2x＝2sin ， 所以最小正周期为T＝＝π，A正确； f＝2sin ＝－2，即f(x)的图象关于直线x＝－对称，B正确； 由x∈得2x－∈，故f(x)∈[－2，1]，C错误； y＝2cos 的图象向右平移个单位长度，得到y＝2cos ＝2cos ＝2sin ，D正确．故选ABD. 答案　ABD 10．(2025·江苏南通一模)把函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(0<ω<3)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在上单调递增 D．若f(x)在区间上存在极大值点和极小值点，则实数a的取值范围为 解析　f(x)＝2sin ，f＝2sin ＝2sin ， 由f关于原点对称，得ω＋＝π＋kπ，k∈Z，ω＝2＋k，k∈Z， 而0<ω<3，则ω＝2，f(x)＝2sin ， 对于A，f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确； 对于B，C，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由－≤x<a，得0≤2x＋<2a＋，而f(x)在上有极大值点和极小值点，则2a＋>，解得a>，D正确，故选ABD. 答案　ABD 11．(2025·甘肃白银模拟)已知函数f(x)＝A sin (0<φ<π，A>0，ω>0)的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f(x)的两个交点，且＝，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　) A．f(x)＝2sin B．g(x)的图象关于原点对称 C．g(x)在上单调递增 D．若关于x的方程g(x)－＝0在x∈上有两个不同的根，则实数m的取值范围为 解析　由函数f(x)＝A sin 的图象知A＝2，设M，N， 由＝，可得x2－x1＝，令2sin ＝－1，即sin ＝－， 结合图象可得ωx1＋φ＝－，ωx2＋φ＝－，则ω＝，即ω·＝，得ω＝3， 把x＝－，y＝0代入f(x)＝A sin ，即2sin ＝0， 又0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin ，故A正确； 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)＝2sin ＝2sin ＝2cos 的图象， 易知g(x)不是奇函数，所以g(x)的图象不关于原点对称，故B错误； 当x∈时，3x＋∈， 由余弦函数的单调性可知g(x)在上不是单调函数，故C错误； 由g(x)－＝0，得2cos －＝0， 所以cos ＝， 当x∈时，3x＋∈， 因为关于x的方程g(x)－＝0在x∈上有两个不同的根， 所以≤<1，解得1<m≤2，故D正确．故选AD. 答案　AD 三、填空题 12．(2025·山东青岛二模)已知偶函数f(x)＝2sin 的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则函数f(x)在区间上的值域为________． 解析　因为函数f(x)＝2sin 的图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以函数f(x)的最小正周期为2×＝π，则＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin .又f(x)为偶函数，所以－＋φ＝＋kπ，k∈Z， 解得φ＝＋kπ，k∈Z，因为|φ|<， 所以φ＝－， 故f(x)＝2sin ＝2sin ＝－2cos 2x. 因为x∈，所以2x∈， 所以cos 2x∈， 所以－2cos 2x∈，故f(x)在区间上的值域为[－2，1]. 答案　[－2，1] 13．已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象关于点对称，则f(x)的最小正周期可能是____________(写出一个满足条件的答案即可). 解析　∵函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象关于点对称， ∴ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝4＋6k，k∈Z. ∵ω>0，∴ω＝4＋6k，k∈N. ∴f(x)的最小正周期为T＝＝，k∈N， 当k＝0时，f(x)的最小正周期为T＝. 故答案为(答案不唯一). 答案　(答案不唯一) 14．(2025·山东菏泽一模)已知函数f(x)＝cos x在闭区间I上的最大值记为MI，若实数k满足＝2M[k，2k]，则k＝________． 解析　根据区间的定义，左端点小于右端点，k<2k，得到k>0，即0∈.根据余弦函数的性质，＝cos 0＝1，由题意：M[k，2k]＝，根据函数f(x)＝cos x的周期为2π，而且其在上单调递减，在上单调递增，所以2k－k<2π，即k<2π.又f＝1，所以2k<2π，即k<π. 当0<k≤时，2k≤π，f(x)＝cos x在上单调递减，则M[k，2k]＝cos k＝，可得k＝； 当<k<π时，π<2k<2π，f(x)＝cos x在上单调递减，且f(x)<0，在上单调递增，则M[k，2k]＝cos 2k＝，k＝. 综上，k＝或. 答案　或 学科网（北京）股份有限公司 $