专题1 第1讲 三角恒等变换与解三角形(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P135] 一、单项选择题 1．(2025·山东烟台、东营一模)已知tan α＝－2，则＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析　由＝＝－＝－2.故选C. 答案　C 2．(2025·山东泰安一模)已知tan ＝3，则cos 2α＝(　　) A.－ B．－ C．－ D． 解析　依题意，tan ＝＝3，解得tan α＝－2， cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选B. 答案　B 3．(2025·浙江杭州二模)若sinx＋cos x＝2sin α，sin x cos x＝sin2β，则(　　) A．4cos22α＝cos22β B．cos22α＝4cos22β C．4cos2α＝cos 2β D．cos 2α＝4cos 2β 解析　将sin x＋cos x＝2sin α平方得1＋2sin x cos x＝4sin2α， 结合sinx cos x＝sin2β可得1＋2sin2β＝4sin2α， 即1＋2sin2β－4sin2α＝0， 即2cos2α－cos 2β＝2－＝1＋2sin2β－4sin2α＝0， 即2cos2α＝cos 2β，故C，D错误； 又4cos22α－cos22β＝(2cos2α－cos 2β)(2cos 2α＋cos 2β)＝(1－4sin2α＋2sin2β)(2cos2α＋cos 2β)＝0，故A正确，B错误；故选A. 答案　A 4．(2025·山东菏泽一模)若α∈(0，π)，tan 2α＝，则sin ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　∵tan 2α＝，∴＝＝，∵α∈(0，π)，∴sin α≠0， ∴＝，化简得cos α＝－， ∴α＝，∴sin ＝sin ＝sin ＝. 答案　C 5．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知sin (α－β)＝，tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝(　　) A．－ B． C． D． 解析　∵sin (α－β)＝， ∴sin αcos β－cos αsin β＝， ∵tan α＝2tan β， ∴＝，即sin αcos β＝2cos αsin β， ∴cos αsin β＝，sin αcos β＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝.故选D. 答案　D 6．已知α，β∈，＋＝，则(　　) A．2β＋α＝π B．2α＋β＝π C．2β－α＝ D．2α－β＝ 解析　由已知得＝－，即＝，∴cos βsin α＝sin β－sin βcos α，即sin (α＋β)＝sin β，∵α，β∈，∴α＋β＝π－β， 即2β＋α＝π.故选A. 答案　A 7．(2025·辽宁鞍山二模)已知α，β均为锐角，sin α＝3sin βcos (α＋β)，则tan α取得最大值时，tan (α＋β)的值为(　　) A． B． C．1 D．2 解析　因为sin α＝sin (α＋β－β)＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)·sin β＝3sin βcos (α＋β)， 即4sin βcos (α＋β)＝sin (α＋β)cos β， 所以tan (α＋β)＝4tan β＝4tan (α＋β－α)＝4×，整理得tan α＝＝，因为α，β均为锐角，且 sin α＝3sin βcos (α＋β)，所以cos (α＋β)>0， 所以tan (α＋β)>0，所以tan (α＋β)＋≥2＝4，当且仅当tan (α＋β)＝，即tan (α＋β)＝2时等号成立，所以tan α＝≤，所以tan α取得最大值时，tan (α＋β)的值为2.故选D. 答案　D 8．如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好可以围成一个正八边形，设∠ACG＝α，∠EBH＝β，则tan (α＋β)＝(　　) A．－3 B．－2 C．－2＋1 D．－－1 解析　连接AE，BF，CG，DH，AC，BE，BH， 设线段AE与CG的交点为O，线段BH与线段AE的交点为M， 因为∠COB＝∠AOB＝，所以∠AOC＝， 又OC＝OA， 所以∠ACG＝∠ACO＝， 设OA＝a，则OB＝OE＝a， 所以OM＝MB＝a， 所以tan ∠EBH＝tan ∠EBM＝＝＝＋1， 所以tan α＝1，tan β＝＋1， 所以tan (α＋β)＝＝ ＝－－1. 故选D. 答案　D 二、多项选择题 9．(2025·江苏南京一模)已知cos αcos β＝，cos (α＋β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos (α－β)＝ C．tan αtan β＝－ D．sin 2αsin 2β＝ 解析　由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，则sin αsin β＝－，故A错误； 由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确； 由tan αtan β＝＝＝－， 故C正确； 由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4××＝－，故D错误．故选BC. 答案　BC 10．已知0<β<α<，且sin (α－β)＝，tan α＝5tan β，则(　　) A．sin αcos β＝ B．sin βcos α＝ C．sin 2αsin 2β＝ D．α＋β＝ 解析　∵tan α＝5tan β，即＝， ∴sin αcos β＝5cos αsin β， ∴sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝4cos αsin β＝， ∴cos αsin β＝，B选项正确， ∴sin αcos β＝，A选项错误， ∴sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×2sin βcos β ＝4sin αcos βsin βcos α＝4××＝，C选项正确， sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝＋＝， ∵0<β<α<，∴0<β＋α<，∴α＋β＝，D选项错误．故选BC. 答案　BC 11．(2025·浙江温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　) A．cos ＝ B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z) C．tan β＝ D．角β的终边在第一象限 解析　设坐标原点为O.因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)， 所以|OP|＝5，所以sin α＝，cos α＝－， 所以cos ＝－cos α＝，故A正确； sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，所以角2α的终边与单位圆的交点坐标为，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为，所以tanβ＝，且角β的终边在第一象限，故C，D正确； 又因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于直线y＝－x对称，所以＝kπ－(k∈Z)，β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误，故选ACD. 答案　ACD 三、填空题 12．已知α，β∈，且满足sin αtan β＝2cos2，则tan(α＋β)＝－，则sin 2β＝________． 解析　因为α，β∈，tan (α＋β)＝－， 所以α＋β∈，π－β∈. 由sin αtan β＝2cos2，得 sinαsin β＝cos β， 即cos (α＋β)＝－cos β＝cos (π－β)， 所以α＋β＝π－β， 所以tan (α＋β)＝tan (π－β)＝－tan β＝－， 得tan β＝， 所以sin 2β＝2sin βcos β＝＝＝. 答案　 13．(2025·江苏南京、盐城二模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 解析　由题意可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，故sinαcos α＝，则tan α＋tan β＝tan α＋＝＋＝＝. 答案　 14．(2025·河南名校联考)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若＝，则＝________． 解析　由题意可得 ＝ ＝ ＝sin α＝ ＝＝， 解得tanα＝2或 tan α＝－. 因为α是直角三角形中较大的锐角，所以<α<， 所以tan α＝2，cos α＝＝＝＝， 所以sinα＝tan α·cos α＝， 又直角三角形的直角边分别为a sin α，a cos α， 则b＝a sin α－a cos α， 所以＝sin α－cos α＝－＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $