专题6 重难突破14 必要性探路、端点效应(课件PPT)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学高考复习课件聚焦函数与导数专题，覆盖必要性探路、端点效应等高考核心考点。依据高考评价体系梳理考查要求，分析考点权重分布，归纳常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件以“命题精研·巧突破”和“专题集训·课时练”为特色，通过真题训练强化应试技巧。如解析端点效应典型题型，培养学生数学思维中的推理能力与数学语言中的模型观念，帮助掌握得分技巧，助力学生高考冲刺，为教师复习教学提供系统指导。

重难突破14　必要性探路、端点效应 专题六　函数与导数 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 命题精研·巧突破 01 专题集训·课时练 02 栏目导航 专题六　函数与导数 1 2 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 命题精研·巧突破 栏目导航 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 栏目导航 专题六　函数与导数 1 专题集训·课时练 栏目导航 栏目导航 专题六　函数与导数 1 谢谢观看 栏目导航 专题六　函数与导数 1 1．必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法． 2．端点效应：在解决不等式恒成立问题时，端点处满足的临界条件，往往是使命题成立的必要条件，由此可缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求，这种通过观察区间端点值来解决问题的方法称为“端点效应法”，“端点效应”是特殊化思想的具体运用，往往可以简化问题的求解过程．根据端点处所满足的条件不同，“端点效应”常常有以下几种情况： (1)利用原函数在端点处的函数值建立不等式确定参数的取值范围； (2)利用函数的导函数在端点处的值满足相应条件建立不等式求解． 命题点1　端点探路 [例1]　已知f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥1)，若f(x)≥ln 2恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　必要性：对于x≥1，f(x)≥ln 2恒成立， 即ln (ax＋1)＋－ln 2≥0在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝ln (ax＋1)＋－ln 2， 所以g(1)＝ln (a＋1)－ln 2≥0，解得a≥1. 充分性：当a≥1时，g(x)≥ln ＋－1(x≥1). 令t＝≥1，则令h(t)＝ln t＋－1(t≥1)， 所以h′(t)＝－＝(t≥1)， 则h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)≥h(1)＝0， 所以g(x)≥0恒成立， 综上所述，a的取值范围是[1，＋∞). 已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1，对数函数常取1或e等． [预测练1] 已知f(x)＝ax2－4ln (x－1)，对x∈[2，e＋1]，f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围． 解析　必要性：因为对x∈[2，e＋1]，f(x)≤1恒成立． 即ax2－4ln (x－1)－1≤0， 令g(x)＝ax2－4ln (x－1)－1，则g(2)＝4a－1≤0，则a≤. 充分性：当a≤时，g(x)＝ax2－4ln (x－1)－1≤x2－4ln (x－1)－1， 根据ln x≥1－(证明略)，在x∈[2，e＋1]上，有x2－4ln (x－1)－1≤x2－4－1＝≤0， 所以g(x)≤0，即f(x)≤1， 故a的取值范围是. 命题点2　极值点探路 [例2]　已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ae2(x-1)＋1，a≥0. (1)当a＝1时，求f(x)在(0，＋∞)上的零点个数； (2)若关于x的不等式ln －ae2(x-1)≤x－a2e(x－1)－在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝ln (x＋1)＋1－e2(x-1). 当x∈(0，1)时，f(x)＝ln (x＋1)＋1－e2(x-1)>1－e2(x-1)>1－1＝0， 此时无零点． 当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＝－2e2(x-1)， 当x∈[1，＋∞)时，f′(x)单调递减， 且f′(x)<f′(1)＝－2<0， 当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减， f(1)＝ln 2＋1－1＝ln 2>0， f(2)＝ln 3＋1－e2<0， ∃x0∈(1，2)，使f(x0)＝0. ∴当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)必要性：ln －ae2(x-1)≤x－a2e(x－1)－在(1，＋∞)上恒成立， 即ln －≤a·e2(x-1)－a2·e(x－1)在(1，＋∞)上恒成立， 当a＝0时，ae2(x-1)－a2e(x－1)＝0， 因为y＝ln x－(x－1)≤0恒成立， 则ln －≤0， 当a>0时，令m(x)＝ln －，x>1， m′(x)＝，当x>时，m′(x)<0，m(x)单调递减，当1<x<时， m′(x)>0，m(x)单调递增，所以m(x)≤m＝0. 当a>0，x＝时，0≤a·e－a2·， 则a·e≥0，即1－≥0，得a≤2. 综上，a的取值范围为[0，2]， 充分性：当a∈[0，2]时， ln －－a[e2(x-1)－a·e(x－1)]≤0，① 当a∈[0，2]时，e2(x-1)－a·e(x－1)≥e2(x-1)－2·e(x－1). 令n(x)＝e2(x-1)－2·e(x－1)，x>1，则n′(x)＝2e2(x-1)－2e. 当x>1时，n′(x)单调递增，且n′＝2e－2e＝0， 故当x∈时，n′(x)<0，n(x)单调递减， 当x∈时，n′(x)>0，n(x)单调递增， ∴n(x)≥n＝e－e＝0，∴x>1，a·n(x)≥0. 由已知得x>1，ln －≤0. ∴①式成立，∴a∈[0，2]. (1)已知f(x)≤0(或f(x)≥0)，找f(x)的极大值(或极小值)点探路； (2)对于f(x)≤g(x)，找f(x)的极大值点，g(x)的极小值点探路． [预测练2] 已知a>0，函数f(x)＝ax2－x，g(x)＝ln x．是否存在实数a，使f(x)≥g(ax)恒成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 解析　必要性：令φ(x)＝f(x)－g(ax)＝ax2－x－ln (ax)，x>0， 则φ′(x)＝2ax－1－. 因为φ＝0，又φ(x)≥0， 则是φ(x)的一个极小值点，则φ′＝0，解得a＝1. 充分性：当a＝1时， φ′(x)＝2x－1－＝. 当0<x<1时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减； 当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增， 从而φ(x)≥φ(1)＝0，符合题意． 综上，可知a＝1. 命题点3　内点探路 [例3]　已知f(x)＝ex－ln (x－m)，若对定义域内的一切实数x，都有f(x)>4，求整数m的最小值．(参考数据：e≈3.49) [解析]　f(x)的定义域为(m，＋∞)，取x＝m＋1， 则有f(m＋1)＝em+1>4，∴m>ln 4－1>0， 以下证明m＝1时，f(x)>4成立， 当m＝1时，f(x)＝ex－ln (x－1)(x>1)， f′(x)＝ex－在(1，＋∞)上单调递增， f′＝3.49－4<0，f′＝e－2>0， ∴∃x0∈，使得f′(x0)＝0，即＝，x0＝－ln (x0－1)， f(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(x0)＝－ln (x0－1)＝＋x0， 显然f(x0)在上单调递增，∴f(x)>f＝e＋>4， ∴f(x)>4成立，故整数m的最小值为1. 由于本例函数f(x)的定义域为(m，＋∞)，含有参数m，我们取其定义域内的点m＋1，本例属于内点探路． [预测练3] 已知f(x)＝x ln x－x，g(x)＝ax2＋2sin (x－1)，若f(x)≥g(x)，求参数a的取值范围． 解析　∵f(x)≥g(x)，∴x ln x－x≥ax2＋2sin (x－1)， 取x＝1，则a≤－1. 下面证明：当a≤－1时，f(x)≥g(x)恒成立． ∵x2>0，∴ax2≤－x2， ∴ax2＋2sin (x－1)≤－x2＋2sin (x－1)， ∴只需证x ln x－x≥－x2＋2sin (x－1)， 设h(x)＝x ln x＋x2－x－2sin (x－1)， h′(x)＝2x＋ln x－2cos (x－1)， h″(x)＝2＋＋2sin (x－1)>0， h′(x)在(0，＋∞)上递增，又h′(1)＝0， 当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)递增， h(x)min＝h(1)＝0， ∴h(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即x ln x－x≥－x2＋2sin (x－1)在(0，＋∞)上恒成立， 故a∈(－∞，－1]. 即a的取值范围为(－∞，－1]. $