专题5 第2讲 圆锥曲线的标准方程与性质(课件PPT)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何专题中的圆锥曲线标准方程与性质，依据高考评价体系明确定义理解、方程推导、几何性质应用三大考查要求，通过考点权重分析突出轨迹方程求解、焦点弦问题等高频题型，体现备考的针对性和系统性。 课件亮点在于“真题再现·明考向”模块，精选近五年高考真题训练，结合数学思维的逻辑推理与数学语言的模型观念，如针对抛物线y=x²/4的准线问题，归纳“定义转化+坐标运算”突破方法，帮助学生掌握解题技巧。教师可依托系统考点梳理与题型归纳，实现高效复习指导，助力学生高考冲刺。

第二讲　圆锥曲线的标准方程与性质 专题五　解析几何 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 命题精研·巧突破 01 真题再现·明考向 02 专题集训·课时练 03 栏目导航 专题五　解析几何 1 2 命题精研·巧突破 栏目导航 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 真题再现·明考向 栏目导航 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 栏目导航 专题五　解析几何 1 专题集训·课时练 栏目导航 栏目导航 专题五　解析几何 1 谢谢观看 栏目导航 专题五　解析几何 1 命题点1　圆锥曲线的定义与标准方程 [例1]　(1)(2025·四川成都三模)已知动圆C与圆(x＋1)2＋y2＝1外切，同时与圆(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆C的圆心轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 (2)(2025·湖南长沙一模)已知抛物线C：y＝的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M.若＝，则＝(　　) A．2 B． C．4 D．2 [解析]　(1)设圆(x＋1)2＋y2＝1圆心C2且与圆C切于点P， 圆(x－1)2＋y2＝25圆心C1与圆C切于点Q， 由题意得：|C1C|＝5－|CQ|，|C2C|＝1＋|CP|，其中|CQ|＝|CP|， 所以|C1C|＋|C2C|＝5－|CQ|＋1＋|CP|＝6>2＝|C1C2|， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆， 设为＋＝1(a>b>0)， 则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8， 故动圆圆心C的轨迹方程为＋＝1.故选A. (2)由抛物线的定义知|PF|＝|PM|，又|MF|＝|PF|， 所以△PMF为等边三角形，∠FMN＝30°(N为准线与y轴的交点)， 抛物线y＝的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，p＝2， 故|MF|＝＝＝2p＝4，故＝4. 故选C. [答案]　(1)A　(2)C 求圆锥曲线标准方程的步骤 (1)设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程． (2)求方程：利用待定系数法求出方程的系数．特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn>0). [提醒]　(1)双曲线的定义中注意“绝对值”．(2)确定圆锥曲线方程时需注意焦点位置． [预测练1] 1．(2025·湖南永州三模)已知椭圆E：＋＝1，点F(－1，0)，若直线x＋λy－1＝0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 解析　椭圆E：＋＝1的长半轴长a＝2，半焦距c＝＝1， 则点F(－1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)， 而直线AB：x＋λy－1＝0恒过定点(1，0)， 所以△ABF的周长为4a＝8.故选D. 答案　D 2．(2025·安徽蚌埠二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线与C的右支交于A，B两点，且＝3，则的值为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，因为直线AB的斜率为， 所以tan ∠AF2F1＝， 所以cos ∠AF2F1＝＝， cos ∠BF2F1＝－. 设|AF2|＝m，则|BF2|＝3m， 又|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a， 所以|BF1|＝2a＋3m，|AF1|＝2a＋m，在△BF1F2中， 由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|·|F1F2|cos ∠BF2F1， 即(2a＋3m)2＝(3m)2＋(2c)2－2·3m·2c×， 整理得－4b2＋12am＝3mc. 在△AF1F2中， 由余弦定理得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos ∠AF2F1， 即(2a＋m)2＝m2＋(2c)2－2·m·2c×，整理得－4b2＋4am＝－mc， 所以8am＝4mc，即c＝a，所以b＝a，m＝a， 所以＝＝.故选B. 答案　B 命题点2　椭圆、双曲线的几何性质 考向1　椭圆、双曲线的离心率问题 [例2]　(1)(2025·山东泰安二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥F1Q，△QF1F2的面积是△PF1F2面积的2倍，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·河北邯郸一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AF1|＋|BF1|＝3|F1F2|，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，3＋] B． C． D． [解析]　(1)由 可得|QF2|＝2|PF2|， 设|PF2|＝m，则|QF2|＝2m，|PF1|＝2a－m， |QF1|＝2a－2m， 由PQ⊥F1Q，则|PF1|2＝|PQ|2＋|QF1|2， 即(2a－m)2＝9m2＋(2a－2m)2， 解得m＝， 所以|QF1|＝2a－2×＝，|QF2|＝a， ∴|F1F2|2＝|QF1|2＋|QF2|2， 即4c2＝＋， 解得＝，所以椭圆的离心率e＝＝. 故选D. (2)由已知，设|AF1|≥|BF1|， 则|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a， 两式相加得|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a， 又|AF2|＋|BF2|＝|AB|， 所以|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a， 又|AF1|＋|BF1|＝3|F1F2|＝6c，所以|AB|＝6c－4a， 当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|＝， 所以≤6c－4a，又b2＝c2－a2， 则≤6c－4a，整理得2c2－6ac＋2a2≤0， 又e＝，两边除以a2得2e2－6e＋2≤0，解得≤e≤， 又双曲线的离心率e>1， 所以双曲线的离心率取值范围是.故选B. [答案]　(1)D　(2)B 考向2　椭圆、双曲线的几何性质 [例3]　(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l，M，N分别是l与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点．若M是线段FN的中点，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)椭圆C：＋＝1(b2<18且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D在椭圆内，平面四边形ABCD满足∠BAD＝∠BCD＝90°，且△ABC的面积是△ADC面积的2倍，则该椭圆的短轴长为________． [解析]　(1)设双曲线的右焦点为F(c，0)， 过第一象限的渐近线方程为y＝x， 当x＝c时，y＝， 即N，又M， 因为M是线段FN的中点，所以＝·，得c＝2b， 所以c2＝4b2＝a2＋b2，即a＝b， 所以C的渐近线方程为y＝±x＝±x. (2)根据题意可得A(0，b)，C(0，－b)， 设B(x1，y1)，D(x2，y2). 连接BD(图略)，由∠BAD＝∠BCD＝90°可得， 点A，B，C，D均在以BD为直径的圆E(E为BD中点)上， 又原点O为圆E上的弦AC的中点， 所以圆心E在AC的垂直平分线上，即圆心E在x轴上， 所以y1＋y2＝0. 又S△ABC＝2S△ADC，所以x1＝－2x2， 故圆心E的坐标为， 所以圆E的方程为＋y2＝x＋y， 将(0，b)代入圆E的方程，结合＋＝1可得b2＝9， 所以b＝3，短轴长为6. [答案]　(1)C　(2)6 (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围． (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到． [预测练2] 1．(2025·黑龙江哈尔滨一模)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则椭圆C2离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　由对称性可知，∠APB＝2∠APO， 因为sin ∠APO＝＝≥， ∠APO∈， 所以当点P位于长轴端点时∠APO最小， 由题可知，在椭圆C2上存在一点P，使得 ∠APB＝， 只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤， 即≤，故e＝≥， 又0<e<1，所以椭圆C2离心率的取值范围为.故选B. 答案　B 2．(多选)(2025·陕西西安二模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，下列说法正确的是(　　) A．若C的渐近线的斜率为±，则C的离心率为 B．若C的渐近线方程为y＝±x，且点在C上，则a＝2 C．过F2的直线与C的右支相交于A，B两点，若|AB|＝4a，∠F1AB＝90°，则C的离心率为 D．若C的左、右顶点分别为M，N，P是C上异于M，N的一点，则直线PM，PN的斜率之积为 解析　对于A，由C的渐近线的斜率为±，则＝， 所以C的离心率为＝＝，故A正确； 对于B，由C的渐近线方程为y＝±x， 设C：－y2＝k(k>0)，又点在C上，所以－＝1＝k， 即C：－y2＝1，所以a＝，故B错误； 对于C，过点F2的直线与C的右支相交于A，B两点，不妨设|AF2|＝m，|BF2|＝n， 若|AB|＝4a＝m＋n，∠F1AB＝90°，则|AF1|＝2a＋m，|BF1|＝2a＋n， 由勾股定理得(2a＋m)2＋(4a)2＝(2a＋n)2， 解得m＝a，n＝3a， 故|AF1|＝3a，|AF2|＝a， 在直角三角形AF1F2中，由勾股定理得(2c)2 ＝(3a)2＋a2，即4c2＝10a2， 所以e＝＝，故C正确； 对于D，设P(x0，y0)，则－＝1，即y＝(x－a2)， 又M(－a，0)，N(a，0)， 所以kPM·kPN＝· ＝＝＝， 故D正确；故选ACD. 答案　ACD 命题点3　抛物线的几何性质 [例4]　(多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18 [解析]　直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；当AB⊥x轴时，A，B，E，|AB|＝6，|AE|＝3，此时|AE|≠|AB|，故B错误；易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A，B，由得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确； 当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E，|EF|＝，S△AEB＝|AE|·|BE|sin ∠AEB＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)·＝9(1＋m2)>9，所以|AE|·|BE|>>18.综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确． 故选ACD. [答案]　ACD 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少运算量． [预测练3] 1．(2025·福建厦门一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝－1于点P，若＝，则△OAF与△OBF的面积之比为(　　) A． B． C． D．1 解析　抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1， 过A，B分别作直线x＝－1的垂线， 垂足分别为M，N，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|， 由＝，得2|AM|＝|BN|，即2|AF|＝|BF|， 所以△OAF与△OBF的面积之比为. 故选B. 答案　B 2．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|＝3|FN|，则直线MN的斜率为(　　) A． B． C． D． 解析　根据题意可得抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1， 则有A(－1，0)，设MN直线方程为y＝k(x＋1)，k>0，联立可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k2·k2＝－16(k－1)·(k＋1)>0，得－1<k<1，故0<k<1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，0<x2<x1，x1＋x2＝，x1x2＝1，过M作MM′垂直于准线于点M′， 过N作NN′垂直于准线于点N′，则M到准线的距离为|MM′|，N到准线的距离为|NN′|， 又|FM|＝3|FN|，有|MM′|＝3|NN′|，即1＋x1＝3(1＋x2)，得x1＝2＋3x2，∴x1x2＝(2＋3x2)x2＝1，又0<x2<x1，解得x2＝，x1＝3，∴x1＋x2＝＝3＋，又k>0，解得k＝.故选A. 答案　A 1．(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　因为lBF：y＝－2x＋2，令y＝0，则x＝1， 所以F(1，0)，p＝2，即抛物线C：y2＝4x， 故抛物线的准线方程为x＝－1， 故B(－1，4)，则yA＝4， 代入抛物线C：y2＝4x得xA＝4. 所以|AF|＝|AB|＝xA＋＝4＋1＝5. 故选C. 答案　C 2．(多选)(2025·全国二卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　) A．∠A1MA2＝ B．|MA1|＝2|MA2| C．C的离心率为 D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 解析　不妨设渐近线为y＝x，M在第一象限，N在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形， 故∠A1MA2＝π－＝， 故A正确； 对于B，因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M，且|MO|＝c， 设M(x0，y0)，则故故MA2⊥A1A2， 由选项A得∠A1MA2＝，故|MA2|＝|MA1|×， 即|MA1|＝|MA2|，故B错误； 对于C，由选项B知|MA2|＝b，则＝＝，则＝2，则e＝＝＝＝，故C正确； 对于D，当a＝时，由C可知e＝，故c＝，故b＝2，故四边形NA1MA2的面积为＝2××2×2＝8， 故D正确，故选ACD. 答案　ACD 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) 解析　方法一(代入法)　设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以x＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＋＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)，故选A. 方法二(数形结合法)　由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A. 答案　A 4．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 解析　(数形结合法)　对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，故A正确； 对于B，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B正确； 对于C，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误； 对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 5．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则(　　) A．a＝－2 B．点(2，0)在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤ 解析　(定义法＋逻辑推理法＋放缩法)　因为坐标原点O在曲线C上，所以2×|a|＝4，又a<0，所以a＝－2，所以A正确； 因为点(2，0)到点F(2，0)的距离与到定直线x＝－2的距离之积为(2－2)(2＋2)＝4， 所以点(2，0)在曲线C上，所以B正确； 设P(x，y)(x>0，y>0)是曲线C在第一象限的点，则有(x＋2)＝4，所以y2＝－(x－2)2，令f(x)＝－(x－2)2，则f′(x)＝－－2(x－2)，因为f(2)＝1，且f′(2)<0，所以函数f(x)在x＝2附近单调递减，(若f′(x0)>0，则函数f(x)在x＝x0附近单调递增；若f′(x0)<0，则函数f(x)在x＝x0附近单调递减)即必定存在一小区间(2－ε，2＋ε)使得f(x)单调递减，所以在区间(2－ε，2)上均有f(x)>1，所以P(x，y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误； 因为点(x0，y0)在C上，所以x0>－2且 ·(x0－2)＝4， 得y＝－(x0－2)2≤， 所以 y0≤|y0|≤ ＝，所以D正确．综上，选ABD. 答案　ABD 6．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 解析　方法一　依题意，设|AF2|＝2m，m>0，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)·(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos ∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos ∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 方法二　依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝.故答案为. 答案　 $