6.2.2线段的比较与运算同步练习2025-2026学年人教版数学七年级上册

6.2.2线段的比较与运算同步练习 一、单选题 1．下面是某教材中“用尺规作一条线段等于已知线段”的部分过程图，则下列与长短比较正确的是（    ）    A． B． C． D．无法比较 2．如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（    ） A．或 B． C． D．或 4．如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点C是线段上的一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知平面上一点和线段，下列条件：①；②；③；④，其中不能确定点C是线段中点的个数是有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，点，在数轴上，点为原点，．按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 8．点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，3，若，则等于（   ） A．3 B．1 C．4或8 D．2或6 9．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 10．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 11．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 12．如图1，M、N两个村庄在一条公路（不计河的宽度）的两侧，现要建一公交站台，使它到M、N两个村庄的距离之和最小，图2中所示的点即为所求的公交站台的位置，那么这样做的理由是 ． 13．点是线段的中点，，那么 ． 14．已知：线段a，b，按如下步骤完成尺规作图，则线段 ． ①作一条射线； ②在射线AE上依次截取线段； ③在线段AD上截取线段． 15．已知线段，延长至点，使，用圆规在的反向延长线上截取，是线段的中点，若，则的长为 ． 16．点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 17．如图，已知C为线段的中点，D在线段上．若，，则 ． 18．如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：    ①自来水厂应建在线段的中点处； ②自来水厂应建在线段与线段的交点处； ③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为； ④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于． 其中正确的有 .（填所有正确说法的序号） 19．已知点是射线上一点，当时，称点是射线的强弱点.若，点是射线的强弱点，则 ． 20．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 三、解答题 21．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 22．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点．求线段的长． 23．已知线段，点C，E，F在线段上，点F是线段的中点． (1)如图1，当点E是线段的中点时，求线段的长； (2)如图2，当点E是线段的中点时，请你猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 24．如图所示，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为，A，C间的路程为，现欲在C，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为． (1)若P为线段的中点，求的长； (2)用含x的代数式表示车站P到三个村庄的路程之和； (3)若车站P到三个村庄的路程之和为，则车站应建在何处？ (4)若要使车站P到三个村庄的路程总和最小，问车站应建在何处？最短路程是多少？ 25．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 26．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且满足， (1)直接写出_____；线段的中点表示的数为_____； (2)设点C在数轴上对应的数x，当时，直接写出x的值_____． (3)点M、N分别从A、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点？ ②若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t为何值时，有最小值？最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了比较线段的长度，由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断． 【详解】解：如图用圆规比较两条线段的长短，， 故选：C． 2．C 【分析】根据，即可的出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即：； 故选C． 【点睛】本题考查线段的和差计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键． 3．D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．根据题意分两种情况，①如图1，由，，可得的长度，由线段的中点的性质可得即可得出的长度；②如图2，由，，可得，根据线段中点的性质可得，即可得出的长度． 【详解】解：①如图1， ∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； ②如图2， ∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； ∴的长为或． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义可得，再结合已知和等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】根据题意求出长度，再分类讨论根据线段的和差计算即可； 本题主要考查两点间距离，分类讨论是解题关键． 【详解】解：如图所示： D为的中点，且， 如图1， 如图2， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义以及点C的位置逐项进行判断即可． 【详解】解：①由于平面上一点C和线段，当点C在线段上时，有，此时点C不一定是的中点，因此①不能确定点C是线段中点； ②由于平面上一点C和线段，当点C在线段外的平面内一点，虽然满足，但点C不一定是的中点，因此②不能确定点C是线段中点； ③当点C在线段的中垂线上时，均有，因此③不能确定点C是线段中点； ④由于平面上一点C和线段，当点C在线段外的平面内一点，虽然满足，但点C不一定是的中点，因此④不能确定点C是线段中点； 综上所述，①②③④均不能确定点C是线段中点，共4个， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是数形结合思想的应用．由．，点表示的数是，可得，即可得，点表示的数是． 【详解】解：由．，点表示的数是， 得， 得， 则点表示的数是， 故选：． 8．C 【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论．要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段上，点在线段的延长线上． 【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段上，点在线段的延长线上，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、3， ． 第一种情况：在线段上， ∵， ∴； 第二种情况：在线段的延长线上， ∵， ∴； 故选：C． 9．D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 10．D 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据题意可知，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：D． 11．B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 12．两点之间，线段最短 【分析】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．利用线段的性质进行判断即可． 【详解】解：图2中所示的点即为所求的公交站台的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 13．2 【分析】本题主要考查线段的中点定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据点C是线段的中点，由线段中点的定义计算解答． 【详解】解：∵ 点是线段的中点，， ∴， 故答案为：． 14．/ 【分析】根据题意画出几何图形即可，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】如图所示，. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 15．1 【分析】本题考查了作线段、线段的和差、线段中点的性质等知识点，正确画出图形是解答本题的关键．根据线段的和差可知长，根据线段中点的性质可知长，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：1． 16．或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 17． 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握各线段之间的关系是解决此题的关键．根据题意即可求出的长，然后根据中点的定义即可求出，从而求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在与的交点处，即可作答． 【详解】解：如图所示，连接，交于点E，在平面内任取一点，连接，，，，    ∵，， ∴， ∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段的性质，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短． 19．4或12 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键．分两种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到与的具体的数量关系，结合，从而可得答案． 【详解】解：①如图，，当且在线段上时，   ； ②如图，，当且在线段的延长线上时，   ； 综上：或12． 故答案为：4或12． 20． 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 21．(1)见解析； (2)5或11． 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图，以及线段长度的求解，熟练掌握以上知识点并分情况讨论，数形结合是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）分当点在线段上时和点在的左侧时两种情况，结合图形分别得出的长即可． 【详解】（1）解：如图，射线，直线，线段为所作： （2）解：分以下两种情况： 如图，当点在线段上时， ，， ； 如图，当点在的左侧时， ，， ； 综上所述，的长为5或11． 22．6 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可求出的长，进而求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的有关计算．解题的关键在于明确线段的数量关系． （1）由题意知，，有，进而可求的值； （2）由题意知，，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长为6； （2）解：， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 24．(1) (2) (3)车站应建在村庄C的右侧处 (4)车站建在村庄C处，路程和最小，最短路程是 【分析】本题考查了线段长的计算、代数式的应用、一元一次方程的应用等知识，根据题意画出图形分类讨论是解题关键． （1）根据计算出，再根据P为线段的中点，即可解答； （2）由题意列出车站P到三个村庄的路程，再求和即可； （3）由题意得解方程即可得到答案； （4）由题意得车站到三个村庄的总路程为，根据代数式的特点求出最小值，找到车站位置即可． 【详解】（1）解：， ∴． 又∵P为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：车站P到三个村庄的路程之和为 ； （3）解：若车站P到三个村庄的路程之和为，则， 故， 即车站应建在村庄C的右侧处； （4）解：要使车站P到三个村庄的路程总和最小，即最小，故取， 这时车站建在村庄C处，路程和最小，最短路程是． 25．(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 26．(1)， (2)或 (3)①或或；②的长度是变化的，时，取得最小值，最小值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离，中点公式，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性列方程求解出的值，再利用两点间的距离公式即可解答； （2）分点C在点A在左侧或点B在右侧，两种情况讨论即可； （3）①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为，则线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，分点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，三种情况讨论即可；②结合中点公式求得点P和点Q，利用两点之间的距离表示出，根据点M和点N表示出，则有，结合分类讨论求得对应的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点C在点A在左侧或点B在右侧， 当点C在点A在左侧时，， ∵， ∴，解得； 当点C在点B在右侧时，， ∵， ∴，解得； 综上，x的值为或， 故答案为：或； （3）解：①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为， 则线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 综上，当t为或或时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点； ②的长度是变化的，时，取得最小值，最小值是5， 由①知线段的中点表示的数为，即点P表示的数为， ∵线段的中点表示的数为，即点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴； 当时，， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，； 当时，， 当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值，最小值是5． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $