数列：奇偶数列问题、取整数列问题、数列插项问题 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：奇偶数列问题、取整数列问题、数列插项问题专项训练 数列：奇偶数列问题、取整数列问题、数列插项问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 取整数列问题 数列插项问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 例2．（25-26高三上·甘肃·月考）记，分别为数列，的前项和，其中满足，，且，. (1)求及； (2)比较与的大小. 例3．（25-26高三上·天津西青·月考）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 变式1．（25-26高三上·天津南开·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式2．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，． (1)求数列的通项公式. (2)数列满足：，求数列的前项和． 变式3．（25-26高三上·山西运城·阶段练习）等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 考点二 取整数列问题 例1．（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 例2．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知数列是正项等比数列，是等差数列且，，. (1)求数列和的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，； 求（ⅰ）； （ⅱ）. 例3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知数列满足，且对任意的，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 变式1．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 变式2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求； (2)设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 变式3．（24-25高二下·云南保山·期中）设为数列的前项和，已知，. (1)求和的值； (2)求数列的通项公式； (3)记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 考点三 数列插项问题 例1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 例2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列中，为数列的前n项和，满足 (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)在和之间插入k个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 变式1．（24-25高三上·山东青岛·月考）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 变式2．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 变式3．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足，，令. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：奇偶数列问题、取整数列问题、数列插项问题专项训练 数列：奇偶数列问题、取整数列问题、数列插项问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 取整数列问题 数列插项问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 例2．（25-26高三上·甘肃·月考）记，分别为数列，的前项和，其中满足，，且，. (1)求及； (2)比较与的大小. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）数列中，由，得数列是等差数列，设公差为， 而， 由，，得，解得， 所以，. （2）依题意， . 例3．（25-26高三上·天津西青·月考）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 【答案】(1)，； (2)； (3)480. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得， 即，而，解得，因此； 设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 因此. （2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此， 设； 设，， 两式相减得， 因此，所以. （3）由，，，，，，， 得对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个， 所以. 变式1．（25-26高三上·天津南开·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）因为. ， 所以 . 变式2．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，． (1)求数列的通项公式. (2)数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 又， 故数列是以3为首项，公比是的等比数列； 所以 ，； （2）由得 ， 则 ． 变式3．（25-26高三上·山西运城·阶段练习）等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，设等比数列的公比为， 所以. 公差. . ，公比. （2）易知，， 则 考点二 取整数列问题 例1．（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . 例2．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知数列是正项等比数列，是等差数列且，，. (1)求数列和的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，； 求（ⅰ）； （ⅱ）. 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ） 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，，，得， 解得或 (舍去)； 故； （2）（i），因为，所以， ， ， 所以. （ii）①， 则②， 由①-②得：.， 所以. 例3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知数列满足，且对任意的，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 又，，即是以3为公差的等差数列， 又，得， ，解得，故， ． （2）， ， 又，当时，， 当时，，共3项， 当时，，共项， 当时，，共项， 当时，，共7项， ． 变式1．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得，则， 显然， 由于， 故，且， 故，. 变式2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求； (2)设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 【答案】(1) (2)24 【详解】（1）数列中，，，则当时，，即，解得， 当时，，于是， 即，整理得，而，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以通项公式. （2）由（1）知，当，2时，；当，4，5时，； 当，7时，；当，9，10时，；当，12时，， 所以. 变式3．（24-25高二下·云南保山·期中）设为数列的前项和，已知，. (1)求和的值； (2)求数列的通项公式； (3)记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）数列，，，当时，，解得， 当时，，即，所以. （2）数列，，当时，， 两式相减得，即，而，则， 即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. （3）由（2）得， ①当时，，即，， 则； ②当且时，不是整数， 设，则， 则，，得， 因此， 在上，，， 所以. 考点三 数列插项问题 例1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， ，又，， 则，，故. （2）因为，所以，则， ， ， 所以 所以. 例2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）由，得， 而，则，又， 所以数列是等比数列，，. （2）由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 （3）依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， 因此，整理得，则，与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 例3．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列中，为数列的前n项和，满足 (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)在和之间插入k个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 【答案】(1); (2); (3). 【详解】（1）由题意，当时，， 得，, ． 当时，，① ，② ①②得， 因为， 所以． 则， ∵，∴, 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 即，则． （2）由，则， 所以的前项和：； （3）在数列中，项之前（含）共有， 所以数列的前30项中包含了数列的前7项及数列的前23项， 所以 ． 变式1．（24-25高三上·山东青岛·月考）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 【答案】(1)，； (2)2080 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故. 变式2．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为，. （2）由（1）知，所以，则， 所以①， ②， 由①－②得： ，所以. 变式3．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足，，令. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）法一：∵， ∴若，则；若，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等比数列. 法二：∵，，∴， ∴， 即，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 由题意知，即， 假设存在3项，，成等比数列，则， ∴，∵， ∴化简可得， ∴，这与已知条件m，k，p互不相等矛盾， 所以不存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 2 学科网（北京）股份有限公司 $