精品解析：山东省济宁市附属中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025-2026学年第一学期期中考试初四数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为某个几何体从正面看得到的形状，则该几何体不可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（ ）． A. B. C. 或 D. 不能确定 4. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个同号不等实数根 5. 在平行投影下，矩形的投影不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线如何平移得到抛物线，平移方法是（ ） A. 向左平移个单位，向下平移个单位 B. 向左平移个单位，向上平移个单位 C. 向右平移个单位，向下平移个单位 D. 向右平移个单位，向上平移个单位 7. 如图，点，，在半径为的上， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值与最小值的和为（ ） A. 18 B. 0 C. 10 D. 无法确定 9. 如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ②③④ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③ 10. 已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（） A. B. C. D. 第2卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 如图，在中，若，则与的大小关系是： ___________．（填“>”，“＜”或“=”） 13. 如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这个立体图形中小正方体共有________个； 14. 如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ 若方程有四个根，则这四个根的和为4，其中正确的结论有________． 三、解答题（共75分．要有必要的解答过程） 16. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 17. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式． （2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 18. 如图，是某几何体的三视图． （1）直接写出该几何体名称； （2）若中，，，，求左视图的面积． 19. 如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 20. 金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，设每箱猕猴桃降价x元． （1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值． 21. 如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． （1）求证：； （2）当E为弧中点时，求证：． 22. 阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数的“旋转函数”； （2）若函数与互为“旋转函数”，求的值； （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试初四数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可．本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、是反比例函数，故本选项不正确． 故选：C． 2. 如图为某个几何体从正面看得到的形状，则该几何体不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，分别判断各选项从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、从正面看，有3列，每一列的数量分别为2，1，1，与给定的图形一致，不符合题意； B、从正面看，有3列，每一列的数量分别为2，1，1，与给定的图形一致，不符合题意； C、从正面看，有3列，每一列的数量分别为2，1，1，与给定的图形一致，不符合题意； D、从正面看，有3列，每一列的数量分别为1，2，1，与给定的图形不一致，符合题意； 故选D． 3. 已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（ ）． A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 4. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个同号不等实数根 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象平移即可求解． 【详解】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到， 而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣， 故与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧， 故有两个同号不相等的实数根， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握图像的平移是解题的关键． 5. 在平行投影下，矩形的投影不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行投影得出矩形的投影图形解答即可． 【详解】在平行投影下，矩形的投影图形可能是线段、矩形、平行四边形，不可能是直角梯形， 故选A． 【点睛】本题考查了平行投影，关键是根据平行投影得出矩形的投影图形． 6. 将抛物线如何平移得到抛物线，平移方法是（ ） A. 向左平移个单位，向下平移个单位 B. 向左平移个单位，向上平移个单位 C. 向右平移个单位，向下平移个单位 D. 向右平移个单位，向上平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行判断即可得答案． 【详解】∵原抛物线的顶点为，平移后的抛物线的顶点为， ∴需将原抛物线向右平移个单位，向上平移个单位． 故选：D． 7. 如图，点，，在半径为的上， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作直径，连接，勾股定理求得，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， 作直径，连接， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 已知函数的最大值与最小值的和为（ ） A. 18 B. 0 C. 10 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可． 【详解】∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3， 当x=3时，函数有最小值−4， ∵1≤x≤6， ∴当x=6时，函数的最大值为14， ∴最大值与最小值的和为−4+14=10. 故答案选C. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据抛物线与取值范围求出最值. 9. 如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ②③④ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 为公共弧， ， ，，故②③④正确． 故选：B． 10. 已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的图像和性质，是解题的关键． 函数的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当时，抛物线的值大于0由此可求出a的取值范围，将用a表示出即可得出答案． 【详解】由图象可知：，图象过点，点， ∴，， ∵对称轴， ∴点的对称点在点右侧， ∴当时，， 则， 将代入， 可得， 解得， ∴实数a的取值范围为． 又， ∴． 故选：C． 第2卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 12. 如图，在中，若，则与的大小关系是： ___________．（填“>”，“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：． 【详解】解：如图，连接、， 在中，若， ， 在中，． ． 故答案为：． 13. 如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这个立体图形中小正方体共有________个； 【答案】9 【解析】 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二、三层正方体的个数，相加即可． 【详解】综合主视图，俯视图，左视图，底层有2+2+1=5个正方体，第二层有2个正方体，第三层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5+2+2=9个． 故答案为9． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 14. 如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ 若方程有四个根，则这四个根的和为4，其中正确的结论有________． 【答案】③⑤## 【解析】 【分析】由二次函数的图象的开口向下，抛物线的对称轴为，二次函数的图象与轴交于正半轴，可得，故①不符合题意；由抛物线与轴有两个交点，可得，故②不符合题意；由，结合当时，，可得，故③符合题意；当时，函数最大值为：，当时，函数值为，可得，故④不符合题意；由方程有四个根，可得方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，则，，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③符合题意； 当时，函数最大值为：， 当时，函数值为， ∴， ∴，故④不符合题意； ∵方程有四个根， ∴方程与方程各自有两个根，设分别为，，，， ∴，， ∴方程有四个根，则这四个根的和为4，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，熟记二次函数的图象与性质是解本题的关键． 三、解答题（共75分．要有必要的解答过程） 16. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】根据从正面看，从左面看的画图要求，画图解答即可．本题考查了几何体的从不同方向看，熟练掌握几何体的画法是解题的关键． 【详解】略 17. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式． （2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 【答案】 （1） y=x2﹣2x﹣3； （2） S△DEF==8 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积. 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3； （2）联立得：， 解得：， ∴D（4，5） 对于直线y=x+1，当x=0时，y=1， ∴F（0，1） 对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3， ∴E（0，﹣3） ∴EF=4 过点D作DM⊥y轴于点M， ∴S△DEF=EF•DM=8. 18. 如图，是某几何体的三视图． （1）直接写出该几何体名称； （2）若中，，，，求左视图的面积． 【答案】（1）三棱柱 （2） 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，熟练掌握三视图之间的关系是解题的关键： （1）观察可知，几何体为三棱柱； （2）作，解直角三角形，求出的长，根据左视图和俯视图的宽相等，得到，再根据矩形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由三视图可知，该几何体为三棱柱； 【小问2详解】 解：作，由题意，， 在中，，， ∴， ∴左视图的面积为． 19. 如图，已知的弦垂直于直径，垂足是点．连接并延长交于点．若，求当时，的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，垂径定理结合中垂线的性质，得到，，进而得到为等边三角形，三线合一结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵的弦垂直于直径， ∴垂直平分， ∴， ∵连接并延长交于点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 20. 金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，设每箱猕猴桃降价x元． （1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． （2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值． 【答案】（1）6 （2）x为2时w最大，最大值为1960 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意，列出方程与函数解析式是解题的关键； （1）每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱，根据每箱的利润与箱数的乘积等于总利润，列出一元二次方程，解之即可； （2）根据题意得w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）； 答：x为6时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元． 【小问2详解】 解：由题意得：， 即， 配方得：， 由于二次项系数为负数，则当时，利润最大，最大利润为1960元； 答：x为2时w最大，最大值为1960． 21. 如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． （1）求证：； （2）当E为弧中点时，求证：． 【答案】（1） 证明：连接， 在中，， ， 在菱形中，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， 为弧中点， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，证即可； （2）先证，，结合即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的相关性质：圆的半径相等、在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造辅助线，利用圆的相关性质是解题的关键． 22. 阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数的“旋转函数”； （2）若函数与互为“旋转函数”，求的值； （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】（1） （2） （3） 证明：令，得；令，则； 则A、B、C三点的坐标分别为， ∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为， 设经过，，三点的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴经过，，三点的函数解析式为，即， ∴与原函数是旋转函数． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换． （1）由二次函数的解析式可得出的值，结合“旋转函数”的定义可求出的值，此问得解； （2）由函数与互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入即可求出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点，，的坐标，由点，，的坐标，利用交点式可求出过点，，的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出的值，再由，，，可证出经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【小问1详解】 解：由函数知，， ∵，，， ， 函数的“旋转函数”是； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， ； 【小问3详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $