观察法求数列的通项专项训练 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专项训练 观察法求数列的通项（解析版） 解题通法： 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．　 专项训练： 一、单选题 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2．数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 3．已知数列，则5是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据规律找出数列通项求解即可. 【详解】因为 ，所以数列为所以通项公式为 令，得，所以5是这个数列的第23项. 故选：C. 4．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 5．数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】观察法求数列通项 【分析】利用观察法求解即可. 【详解】所给数列可以写出， 故. 故选：D 6．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据给定数列的前几项，利用观察法求出通项公式. 【详解】前4项的整数部分依次为， 则第项的整数部分为，分数部分的分子是正奇数，分母是2的项数次幂， 则第项的分数部分为，并且按减加相间将两项连结， 所以. 故选：D 7．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】观察法求数列通项 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】观察法求数列通项 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 二、多选题 9．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】观察法求数列通项、判断或写出数列中的项 【分析】将代入选项中的通项公式，看得到的数列是否与已知数列一致即可. 【详解】对于，符合题意，故A正确； 对于，符合题意，故B正确； 对于，不符合题意，故C错误； 对于，符合题意，故D正确. 故选：ABD. 10．数列的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】观察法求数列通项 【分析】代入验证即可求解. 【详解】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确； 对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误. 故选:AC. 11．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项 【答案】BC 【知识点】观察法求数列通项、判断或写出数列中的项、根据规律填写数列中的某项 【分析】由题意首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第16项及200是否是数列的项即可. 【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50， 即，，，，， 即偶数项对应的通项公式为， 则数列的第16项为第8个偶数 即， 故选:BC． 三、填空题 12．数列  的一个通项公式为 . 【答案】 【知识点】观察法求数列通项 【分析】观察其分子，分母与项之间的关系即可求. 【详解】可化为， 所以分子部分为， 分母部分为， 奇数项为正，偶数项为负，则， 则. 故答案为： 13．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)    【答案】/ 【知识点】观察法求数列通项 【分析】由图分别得到第1个图，第2个图，第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第个图中化学键的个数. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键； 第2个图中有11个化学键； 第3个图中有16个化学键， 观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键， 则第个图有个化学键. 故答案为： 14．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解即可. 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为，…， 第n行的第一个数为， 表中一共2018行， ∴第2018行的第一个数即． 故答案为： 四、解答题 15．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 【答案】(1)（） (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】观察法求数列通项 【分析】（1）根据奇偶项的特征即可写出通项公式； （2）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （3）根据奇偶项的符号与序号之间的关系即可写出通项公式； （4）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （5）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （6）根据前4项的结构特征即可写出通项公式； 【详解】（1）数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示， 记为，也可记为． （2）这个数列的前4项为，，，， 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， 故． （3）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的奇数，且奇数项为正，偶数项为负， 故． （4）这个数列的前4项为，，，， 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 故. （5）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察， 其分母都是2，分子都是序号的平方， 故. （6）因为 所以． 16．下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前4项，写出数列的一个通项公式，并作出它的图象．    【答案】,图象见解析 【知识点】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项 【分析】根据图形规律即可求解. 【详解】解：，，，，， 由规律可知， 如图：    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练 观察法求数列的通项（学生版） 解题通法： 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．　 专项训练： 一、单选题 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列，则5是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 4．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 7．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 10．数列的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 11．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项 三、填空题 12．数列  的一个通项公式为 . 13．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)    14．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 四、解答题 15．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 16．下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前4项，写出数列的一个通项公式，并作出它的图象．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $