精品解析：江苏省常州市市北实验初级中学2025-2026学年上学期九年级期中质量调研数学试题

常州市市北实验初级中学 2025—2026学年第一学期期中质量调研 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． A． ，最高次数为3，不符合题意； B． ，含有两个未知数，不符合题意； C． ，只含x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意； D． ，含有分式，不是整式方程，不符合题意． ∴ 关于x的一元二次方程是C项． 故选：C． 2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，4 B. ， C. 3， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式为（为常数，且）进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为2，则一元二次方程的一般形式为， ∴一次项系数和常数项分别是3，， 故选：C 3. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，利用方程根的定义，将所求表达式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线与的位置关系是相离． 【详解】∵的半径为2，圆心到直线的距离为4， ∴直线和的位置关系是相离． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可． 5. 如图，的半径为13，弦，于点，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可得： 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键． 6. 电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，需根据增长率模型计算各天票房并累加前三天的总和，从而列出方程． 【详解】解：设增长率为，则：第一天票房为4亿元；第二天票房为亿元；第三天票房为亿元． 依题意得： 故选D． 7. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D， ∴， ∵的周长：，，， ∴， 故选：D． 8. 如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 二、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 方程的解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 10. 若是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 11. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补，是解题的关键． 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据弧长公式即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由弧长公式得它的弧长为， 故答案为：． 13. 底面半径为2cm，母线为5cm的圆锥侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面积的公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，是解题的关键． 14. 如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 15. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，若设小路宽为，则根据题意可列方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据小路的宽度，可得出矩形花坛的长为，宽为，结合矩形花坛所占面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设小路宽为，则根据题意可列方程为， 故答案为：． 16. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件______________________时，与直线相交． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 17. 如图，在中，，是的内切圆，则的半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，掌握利用勾股定理求出斜边，结合直角三角形内切圆半径公式求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径公式计算半径． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得． 直角三角形内切圆半径公式为， 所以， 故答案为：2． 18. 如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 三、解答题（共8小题，64分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），  （2），  （3），  （4），  【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有配方法、公式法、直接开平方法、因式分解法．解题时需注意方程的形式． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：， ，  或 ， ∴ ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，  或 ， ∴ ， ； 【小问4详解】 解：， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及矩形的外接圆： （1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得，，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，根据勾股定理可得，即可得到，解方程即可． 熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键． 【小问1详解】 解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 所以 故； 【小问2详解】 解：由题可知： ∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2， ∴，，， 则， ∴， 由（1）知 ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． （1）圆心M的坐标为 ；请在图中标出圆心的位置． （2）判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】（1） 解：画图如下： 由图可知：圆心M的坐标为； （2） 解：圆的半径, 线段， 点D在外． 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）求出的半径，的长即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为108元/盒时，每天的销售量为________盒，每天盈利________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 【答案】（1）销售量44盒，每天盈利1232元 （2）每盒茶叶降价20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、进价的关系，是解题关键． （1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解； （2）设每盒茶叶降价x元，依题意得．结合尽可能让利于顾客，即可求解． 【小问1详解】 解：当销售单价为108元时，每天的销售量为： （盒）， 每天盈利：（元）， 故答案为：44；1232； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价x元， 依题意得：． 解得：，． ∵需要让利于顾客， ∴取． ∴每盒茶叶降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． （1）设运动时间为秒，则______，______； （2）经过多长时间，两点之间的距离是？ 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 根据点运动的方向和速度，可知，根据点运动的方向和距离可知，根据矩形的性质可知； 过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：点从点出发沿以的速度向点移动， ， 点从点出发沿以的速度向点移动， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 24. 如图，在中，，以为直径的⊙O交BC于点D，，垂足为点E． （1）求证：直线与相切： （2）当时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为直径， ， ∵， 为中点， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 25. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 26. [模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】 [问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用]（1）2或5； （2）； [拓展延伸] 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决]略； [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市市北实验初级中学 2025—2026学年第一学期期中质量调研 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，4 B. ， C. 3， D. ， 3. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 5. 如图，的半径为13，弦，于点，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 12 6. 电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 8. 如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 方程的解是_______． 10. 若是方程的一个根，则的值为_____． 11. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是___________． 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______． 13. 底面半径为2cm，母线为5cm的圆锥侧面积为___________． 14. 如图，在正n边形中，，则的值是______． 15. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，若设小路宽为，则根据题意可列方程为_______________． 16. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件______________________时，与直线相交． 17. 如图，在中，，是的内切圆，则的半径为__________． 18. 如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 三、解答题（共8小题，64分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． （1）圆心M的坐标为 ；请在图中标出圆心的位置． （2）判断点与的位置关系，并写出过程． 22. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为108元/盒时，每天的销售量为________盒，每天盈利________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． （1）设运动时间为秒，则______，______； （2）经过多长时间，两点之间的距离是？ 24. 如图，在中，，以为直径的⊙O交BC于点D，，垂足为点E． （1）求证：直线与相切： （2）当时，求线段的长． 25. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 26. [模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $