18.5.1分式方程 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程，系统讲解概念识别、求解步骤及增根检验。通过复习一元一次方程、对比整式与分式方程，结合轮船航行情境导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以情境问题驱动，培养数学眼光，如从航行时间相等抽象分式方程。通过化归思想将分式方程转化为整式方程，结合程序化步骤和“分式方程先转换，去掉分母是关键”口诀，培养数学思维。增根辨析实例（如x=5使分母为0）强化推理，规范书写提升数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可高效落实核心素养教学。

分式方程 人教版八年级上册 1 导入新课 1． 什么叫一元一次方程? 2． 下列方程哪些是一元一次方程? 导入新课 2x+5=7； 9x–5； (3) 6y+1>2y； (4) 7–2=5； (5) 4x+3y=3； ； . 分母中含有未知数的方程在生活中很常见 下列哪些是方程？ 是方程的有：(1)(5)(6)(7). 等号两边都是整式 整式方程 等号两边含分式 一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少? 解:设江水的流速为 v km/h. 根据题意，得. 这样的方程与以前学过的方程一样吗？ 情境导入 能够识别分式方程，了解解分式方程的整体思想及检验的意义； 会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想． 在经历“实际问题-分式方程-整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 延时符 探究 6 为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ． 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 分式方程的概念 知识点 1 　 方程 　　　　　　　　　　　 与上面的方程有什么共同特征？ 追问1： 分母中都含有未知数． 探究新知 7 分式方程的概念： 　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的特征：分母中含有未知数. 注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 你能再写出几个分式方程吗？　　 追问2： 分式方程的概念 分式方程的特征： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数. 结论 9 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 10 下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 　 （填序号）． （2） （1） （3） 明辨是非 辨别下列方程是否是分式方程： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. （a为常数） 8. 9. 方法：一看原形式，二只看分母，三辨别未知数。 总结： 　　这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程． 你能试着解分式方程 吗？ 解分式方程 知识点 2 问题1： 这些解法有什么共同特点？ 问题2： （1）如何把分式方程转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？ （4）这样做的依据是什么？ 想一想 例　解分式方程 即 解得 则得到 方程两边同乘各分母的最简公分母 = （20+x）(20-x) 方程中各分母的最简公分母是： 解： 方程两边同乘（20+x)(20-x)，得. 检验：将x=5代入原方程中，左边=4=右边，因此x=5是原分式方程的解。 （1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了． （2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 归纳总结 （1）分析： 方程可化为 两边都乘 ，得 化简，得 解得 解： 先约分，再去分母,可以使计算简便 （2）计算： 你得到的解 是分式方程 的解吗？　　　 检验：把v=6代入分式方程得： 左边= 右边= 左边=右边，所以v=6是原方程的解. 追问： 解分式方程： 　　　　 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解． 问题3： 你得到的解 是分式方程 的解吗？该如何验证呢？　　 追问1： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得. x+5=10. 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 的解 是分式方程 的解，而整式方程x＋5=10 的解 　 却不是分式方程　 的解？ 追问2： 原因： 　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0． 结论：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 我们称它为原方程的增根. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验------必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 结论 检验的方法主要有两种： （1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等； （2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0． 显然，第(2)种方法比较简便！ 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a 最简公分母是 否为零？ 否 是 解分式方程容易犯的错误主要有： （1）去分母时，原方程的整式部分漏乘． （2）约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． （3）增根不舍掉. （4）符号问题. 30 30 回顾解分式方程 与 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？ 问题4： 基本思路：将分式方程化为整式方程. 一般步骤： （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验． 注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 分式方程 概括总结 解分式方程 的一般步骤 整式方程 转 X=a 解 a是分式方程的解 a不是分式方程的解 验 结论 定 口诀： 分式方程先转换 去掉分母是关键 化为整式来计算 结果必须要检验 指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程. ① ② 解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x； ②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4； 例　解下列方程： 解分式方程 解：方程的两边同乘以x(x–2) 得2x=3x–6 解得：x=6 检验：当x=6时，x（x–2）≠0. 所以，原方程的解是x=6. 素养考点 解下列方程： 解：方程的两边同乘以2x(x+3) 得(x+3)=4x 解得：x= 1 检验：当x=1时，2x（x+3）≠0. 所以，原方程的解是x=1. (1)把未知数的值代入原方程(一般方法); (2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法). 检验 方法 分式方程 整式方程 x=a a 是分式方程的根 a 不是分式方程的根 （a是分式方程的增根） 目标 去分母 解整式方程 最简公分母为0 最简公分母不为0 这里的检验要以解整式方程正确为前提 注意： 例 解方程　 解：方程两边同乘 得 =3. 化简，得 =3. 解得 =1. 检验：当 =1时， =0. 因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 解含有整式项的分式方程 素养考点 解方程： 方程两边都乘2x，得. 960-600=90x. 解这个方程,得 x=4. 经检验，x＝4是原方程的根. 解： 例 解分式方程的一般步骤: 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4.写出原方程的解. 解分式方程的思路： 分式方程 整式方程 去分母 一化二解三检验 当m=______时,解分式方程 会出现增根.  　2　 已知分式方程根的情况求待定字母 素养考点 例 解析：方程两边都乘(x-3)，得 x-5=-m。 解这个方程，得 x=5-m。 若x是方程的增根，则有x=3，即5-m=3，解得m=2. 方法总结 分式方程的增根 1.确定分式方程增根的方法:使得分式方程的分母为零的未知数的值. 2.产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式. 3.分式方程无解的两种情况: (1)由分式方程转化得到的整式方程的解,使得最简公分母为零,此时分式方程有增根. (2)由分式方程转化的整式方程无解,此时分式方程也无解. 若关于x的分式方程 无解，求m的值． 分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根． 变式训练 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2. 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10. 解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6. 解分式方程的一般步骤： 归纳总结 分式方程 整式方程 x=a x=a是分式方程的解 x=a不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 去分母 解整式方程 检验 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）. A. 2(x–8)+5x=16(x–7) B. 2(x–8)+5x=8 C. 2(x–8)–5x=16(x–7) D. 2(x–8)–5x=8 解析：原方程可以变形为 ，两边都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7). A 易错易混点拨： (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉. 方法点拨 1.分式方程 =1的解是（　　） A．x=1 B．x=–1 C．x=3 D．x=–3 A 2.关于x的分式方程 解为x=4，则常数a的值为（　 ）. A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10 D 链接中考 3.（海南）分式方程 的解是 (　 ) A. x=-1　　 B. x=1 C. x=5　　 D. x=2 C 我们一起来 吧! 1.若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值为（　）. A．5 B．4 C．3 D．2 B 基础巩固题 2.方程的解为（　　） A．x=–1 B．x=0 C．x= D．x= D 3.关于x的方程 的解为x=1,则a=(　 　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 D 4.关于x的分式方程 +5= 有增根,则m的值为 (　)。 A.5 B.4 C.3 D.1 B 基础巩固题 5.若关于x的分式方程 =2的解为非负数,则m的取值范围是________________. 　m≥-1且m≠1　 6. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）. A. 2（x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8 C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8 A 基础巩固题 7.解方程： 方程两边都乘x(x－1) 得 3x＝4(x－1)． 解这个方程，得x＝4. 检验：将x＝4代入原方程 得左边＝1＝右边． 所以，x＝4是原方程的根． 解： 方程两边都乘2x－3 得x－5＝4(2x－3)． 解这个方程，得x＝1. 检验：将x＝1代入原方程 得左边＝4＝右边． 所以，x＝1是原方程的根． 解： 基础巩固题 (3) 方程两边都乘 (x+1)(x-1) 得 2(x-1)+3(x+1)＝6． 解这个方程，得x＝1. 检验：当x＝1时， (x+1)(x-1)=0。 所以，x＝1是原方程的増根。 所以，原方程无解. 解： 解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx. 整理，得x2+（k–2）x–4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1. 1.已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 能力提升题 2.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是____________． 解析：去分母得,2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1.∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2.∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2. a＜－1且a≠－2 能力提升题 3.若关于x的方程 有增根，求m的值. 解：方程两边同乘以x-2，得. 2-x+m=2x-4 合并同类项,得3x=6+m. ∴m=3x-6. ∵该分式方程有增根. ∴x=2，∴m=0. 能力提升题 1.解方程: 拓广探索题 解：方程可化为： 得 解得x=–3 经检验：x=–3是原方程的根. 2.若关于x的分式方程 =m-3无解,求m的值. 解:分式方程去分母得:m(x+1)-5=(m-3)(2x+1). 整理得:mx+m-5=(2m-6)x+m-3,即(m-6)x=-2. 当m-6=0,即m=6时,方程无解; 由分式方程有增根,得到2x+1=0,即x=- . 把x=- 代入整式方程得:m=10. 综上,m的值为6或10. 拓广探索题 解分式方程 整式方程 x=a x=a是分式方程的解 x=a不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 去分母 解整式方程 检验 分式方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 谢 谢 再 见 下课了! 64 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $