精品解析：安徽省蒙城第一中学东校区2025-2026学年高一上学期周测（一）数学试题

高一数学周测卷 建议用时：90分钟，满分：120分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 不等式的解集 B. 著名的数学家 C. 非常接近的数 D. 面积非常小的三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合具有确定性，无序性，互异性逐一判断即可； 【详解】对于A，不等式的解集为空集，可以构成集合，故A正确； 对于B，著名的数学家没有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C，非常接近0的数没有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D，面积非常小的三角形没有确定性，不成构成集合，故D错误； 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用集合的并运算求结果. 【详解】由题设. 故选：D 3. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合即可. 【详解】 ， . 故选：C 4. 设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】因为是的充分不必要条件，所以，且， 因为是的必要不充分条件，所以，且， 因为是的充要条件，所以，且， 所以，， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 5. 设集合 ​, 若​, 则​的值为（ ） A. ​ B. -3 C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解. 【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​. 当 ​时,​或​; 当​时,​. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求. 综上, ​或​. 故选: D. 6. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 7. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 8. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可得，结合条件列方程求，结合元素互异性检验所得结果. 【详解】因为， 所以，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾， 故选：BC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”成立的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 11. 已知，则集合A的非空真子集的个数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 12. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设集合或，或，由题意可得，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设集合或，或， 若是的必要条件，则， 当时，即时，此时，成立； 当时，即时，若，此时，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的性质分类讨论求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 因此； 【小问2详解】 因为，所以， 若，则，可得 ； 若，因此有，无解， 所以实数的取值范围为. 14. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【小问1详解】 非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； 【小问2详解】 存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 15. 已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是 【解析】 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】略. 16. 已知集合． （1）若，求的值； （2）若中只有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或时， （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【小问1详解】 由于，所以是的实数根，故，故 【小问2详解】 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． 【小问3详解】 若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学周测卷 建议用时：90分钟，满分：120分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 不等式的解集 B. 著名的数学家 C. 非常接近的数 D. 面积非常小的三角形 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设集合 ​, 若​, 则​的值为（ ） A. ​ B. -3 C. ​ D. ​ 6. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”成立的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 11. 已知，则集合A的非空真子集的个数为________． 12. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围. 14. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 15. 已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 16. 已知集合． （1）若，求的值； （2）若中只有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $