6.3.2角的比较与运算讲义-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第六章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1角的大小比较 2 知识点2 角的和与差 2 知识点3 角的平分线 3 题型精讲1角的比较 5 题型精讲2三角板中角度计算问题 6 题型精讲3几何图形中角度计算问题 7 题型精讲4角度的四则运算 7 题型精讲5实际问题中角度计算问题 8 题型精讲6角平分线的有关计算 9 题型精讲7角n等分线的有关计算 11 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：掌握角的比较方法（叠合法、度量法），能规范进行角的和差运算；理解角平分线定义，会利用其求角的度数，契合新教材运算逻辑。 2. 素养能力：通过动手操作比较角、推导运算关系，发展几何直观与逻辑推理能力，对接中考对角的计算、角平分线应用的基础考查要求。 3. 情感应用：结合生活场景（如钟表夹角计算、角的分割）运用知识，感受角运算的实用性，为后续余角补角、几何证明学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】 角的大小比较 1. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 和 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 边学边练在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【知识点2】 角的和与差 1. 角的和与差： 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC 边学边练已知，，那么 ． 【知识点3】角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 边学边练如图，平分，若，则 ． 题型精讲 题型精讲1角的比较 【例题1】如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 【变式训练2】如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【变式训练3】如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 题型精讲2三角板中角度计算问题 【例题1】用一副三角板，不能拼出（   ）的角 A．15度 B．20度 C．135度 D．150度 【变式训练1】如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【变式训练2】如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【变式训练3】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 题型精讲3几何图形中角度计算问题 【例题1】比较两个角的大小关系：小明用度量法量得；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，OB与OD重合，边OA和OC落在OB的同旁，则边OA （   ） A．在的内部 B．在的外部 C．与边OC重合 D．无法确定 【变式训练1】如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【变式训练2】如图，是的平分线，在内，，求和的度数． 【变式训练3】如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 题型精讲4角度的四则运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【例题1】计算： ． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】计算： ． 【变式训练3】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型精讲5实际问题中角度计算问题 【例题1】在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（   ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距 【变式训练2】一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【变式训练3】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 题型精讲6角平分线的有关计算 【例题1】若，平分，则= °． 【变式训练1】如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 题型精讲7角n等分线的有关计算 【例题1】定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【变式训练1】定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【变式训练2】如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【变式训练3】如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【拓展培优】 【典例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，，是的3倍，则的度数为 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·四川绵阳·月考）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 【典例2】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，已知点是线段上两点，且满足，点分别是线段和的中点．若，分别求线段和的长； （2）如图2，射线在内部，且满足．分别作的角平分线．已知，求的度数； （3）如图3，射线从出发以的速度逆时针旋转，运动时间为秒；在的外部作射线，使得，分别平分．已知，当时，______． 【典例3】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）嘉琪在商场买了一块机械手表，爱钻研的嘉琪发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“4”．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示．完成填空； ①时分针和时针夹角的度数_________； ②作射线，使，此时的度数_________； (3)如图4．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小聪回想今天的一天，发现从学校的课外活动，到放学回家的途中，再到去商店购买的笔筒、三角尺和机械手表，其中蕴含着丰富有趣的数学问题． 【基础设问】 （1）每年的6月5日是地球环境日，小聪所在的综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无菌纸盒． ①若准备制作一个无盖的正方体纸盒，经过折叠能围成的固定无盖正方体纸盒的是_____． ②知图1是他们的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是_____． （2）如图2，学校所在的位置为，小聪家所在的位置为，请你写出小聪放学回家距离最短的路径：_____，得出这个结论的依据是：______． （3）小聪从地图上测得学校在她家的北偏西方向（如图3），她看到家里的钟表如图4，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则可以说学校在家的_____． A.2点钟方向     B.10点钟方向    C.11点钟方向     D.8点钟方向． （4）小聪放学回家途经商店时买了一个圆柱形的笔筒，如图5，分别从前面、左面、上面观察这个笔筒，各能得到什么平面图形？ 【能力设问】 （5）小聪将买来的一副三角尺按不同的位置摆放，其中等式一定成立的是_____． （6）小聪打算用如图6的手表做限时训练，小聪将其理解成如图7的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上）．已知表盘的直径为，，若点是靠近点的三等分点，则手表全长_____． 【拓展设问】 （7）如图8，在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合），时针为，小聪一看现在正好是． ①时分针和时针的夹角为_____°． ②作射线，使，请直接写出此时的度数． ③自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时以内，探究经过多久的度数是． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图所示，如果，那么（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·天津·期末）已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 8．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，，，则 度． 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 11．（25-26七年级上·内蒙古·期末） ． 12．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，平分， (1)当，求的度数； (2)若，求的度数． 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 15．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，O是直线上的一点，，，平分，求的大小． 16．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1角的大小比较 2 知识点2 角的和与差 2 知识点3 角的平分线 3 题型精讲1角的比较 5 题型精讲2三角板中角度计算问题 6 题型精讲3几何图形中角度计算问题 7 题型精讲4角度的四则运算 7 题型精讲5实际问题中角度计算问题 8 题型精讲6角平分线的有关计算 9 题型精讲7角n等分线的有关计算 11 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：掌握角的比较方法（叠合法、度量法），能规范进行角的和差运算；理解角平分线定义，会利用其求角的度数，契合新教材运算逻辑。 2. 素养能力：通过动手操作比较角、推导运算关系，发展几何直观与逻辑推理能力，对接中考对角的计算、角平分线应用的基础考查要求。 3. 情感应用：结合生活场景（如钟表夹角计算、角的分割）运用知识，感受角运算的实用性，为后续余角补角、几何证明学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】 角的大小比较 1. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 边学边练在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵C点是内部任一点， ∴与的大小无法确定，必大于， 故选：D． 【知识点2】 角的和与差 1. 角的和与差： 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC 边学边练已知，，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【知识点3】角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 边学边练如图，平分，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，， ∴， 故答案为： 题型精讲 题型精讲1角的比较 【例题1】如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 【变式训练1】如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 【答案】＜ 【分析】本题利用正方形网格的特点，通过观察角的两边张开程度或结合网格构造特殊角，来比较两个角的大小. 【详解】解：在正方形网格中，观察,其两边所在线段可形成等腰直角三角形的角，故； 再观察,其两边的张开程度小于等腰直角三角形的角的张开程度，因此, 所以. 故答案为：. 【变式训练2】如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，数形结合是解题的关键．作，由图可知，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， 故选：A． 【变式训练3】如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 【答案】(1)另一边是 (2)这些角不相等， 【分析】本题考查了角的比较和运算，解答本题的关键是掌握角的有关知识． （1）根据正方形的对角线是，进行解答； （2）由图可知角的两边张口越小，角的大小就越小，由此解答． 【详解】（1）解：因为正方形的对角线是， 所以另一边是； （2）由图可知：角的两边张口越小，角的大小就越小， 则，，，这些角不相等， 按从大到小的顺序排列为：． 题型精讲2三角板中角度计算问题 【例题1】用一副三角板，不能拼出（   ）的角 A．15度 B．20度 C．135度 D．150度 【答案】B 【分析】本题考查的是角的和差运算，利用三角板的角度进行组合，判断各选项是否可拼出即可. 【详解】解：一副三角板包含、、和、、的角。通过角的加减组合： （可拼出，对应选项A）； （可拼出，对应选项C）； （可拼出，对应选项D）； ：无法通过上述角度的和或差得到（、、、均为15的倍数，20不是15的倍数），因此，无法拼出的角， 故选：B 【变式训练1】如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．在及中，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，，， 在中，， 故选：B． 【变式训练3】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型精讲3几何图形中角度计算问题 【例题1】比较两个角的大小关系：小明用度量法量得；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，OB与OD重合，边OA和OC落在OB的同旁，则边OA （   ） A．在的内部 B．在的外部 C．与边OC重合 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，由，图形直观得出答案． 【详解】解： 在的内部 故选：A． 【变式训练1】如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 【变式训练2】如图，是的平分线，在内，，求和的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及几何图形中角的计算，先由平分，求出，再设，则，列出方程求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【变式训练3】如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【详解】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 题型精讲4角度的四则运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【例题1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角的运算，需要将度与度相加，分与分相加，注意分的进位制，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度运算，需掌握度与分之间的换算关系，即，计算时，将度与度相加、分与分相加，若分之和超过，则需进位到度，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练2】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查度分秒的加法运算，需注意单位之间的换算关系，当分满60时需进位到度． 【详解】解：． 故答案为． 【变式训练3】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型精讲5实际问题中角度计算问题 【例题1】在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 【变式训练1】如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（   ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角定义；根据方向角的定义可求，即可得解． 【详解】解：如图： 由题意知， 所以， 所以超市（记作）在蕾蕾家的南偏东的方向上，相距， 故选：． 【变式训练2】一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，根据角度关系，列出方程，进行求解即可． （1）根据三角板的直角顶点落在直尺上，得出即可； （2）设，则，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角板的直角顶点落在直尺上， ∴； （2）解：设，则，根据题意得： ， 解得：， 即． 【变式训练3】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型精讲6角平分线的有关计算 【例题1】若，平分，则= °． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，掌握其知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：平分，， ， 故答案为：． 【变式训练1】如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 【变式训练2】如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练3】如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 题型精讲7角n等分线的有关计算 【例题1】定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式训练1】定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 【变式训练2】如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 【变式训练3】如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【拓展培优】 【典例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）或（3），理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． 平分， ． ． （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在D的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在D的右侧时， （3），理由如下 平分，平分， ，． ． ， ． ，即 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可分为当在的左边时，当在的右边时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，，是的3倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的运算，弄清角之间的关系是解题的关键． 先说明，再结合可求得，进而求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级上·四川绵阳·月考）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 【答案】30或50或90 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查角分线的应用、旋转的应用．分为四种情况进行讨论：，，，，先求出和，再代入即可求出n． 【详解】解：由题图可知． ①当时，和在直线的右侧，如图： ， ， ； ②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧， 此时， ∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角， 故， ， ， ， 解得； ③当时，如图所示， ， ， ∴， 解得； ④当时，如图： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，解得（舍去）． 故答案为：30或50或90． 【典例2】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 (4)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）由定义可直接得到答案； （2）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别讨论，即可求解； （3）根据定义分平分，平分，平分三种情况，根据三角板的运动状态，分别讨论，即可求解； （4）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别画图，结合射线的运动状态，分别列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：若射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧，故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 故答案为：． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； 若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图， ， ， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 故 解得：， 此时， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，射线在的下方， 该情况不存在． 综上：或时，射线是射线和的“和谐线”． （4）解：若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，， 此时，， ∴， 故， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，或时，射线为两条射线和的“和谐线”． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，已知点是线段上两点，且满足，点分别是线段和的中点．若，分别求线段和的长； （2）如图2，射线在内部，且满足．分别作的角平分线．已知，求的度数； （3）如图3，射线从出发以的速度逆时针旋转，运动时间为秒；在的外部作射线，使得，分别平分．已知，当时，______． 【答案】（1）6；（2）或；（3）或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）首先根据题意确定，，的长度，再结合线段中点的性质可得，，进而可得的值，然后由，即可获得答案； （2）设，则，易得，，由角平分线的性质可得，结合可解得，进而可得，的值，然后由，即可获得答案； （3）分、、三种情况，分别求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是线段和的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， 设，则， ∴， 可分两种情况讨论： ①如下图，当在外部时， 则， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图，当在内部时， 则， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或； （3）射线从出发以的速度逆时针旋转，运动时间为秒，，， 分四种情况讨论： ①当时，如下图， 则，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，如下图， 则，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴ ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ③当时，如下图， 则有，， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得； ④当时，如下图， 则有，， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 【典例3】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）嘉琪在商场买了一块机械手表，爱钻研的嘉琪发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“4”．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示．完成填空； ①时分针和时针夹角的度数_________； ②作射线，使，此时的度数_________； (3)如图4．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1)； (2)①；②或； (3)或. 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、钟面角、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）由中点的含义可得，结合，可得，再利用线段的和差可得答案； （2）①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟，20分钟时针走的路程为， 再进一步列式计算即可；②如图，作射线，使，结合角的和差与平角的含义可得答案； （3）设经过时间为t分钟，而时针与分针得速度差为，可得，结合是的角平分线，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵B是中点， ∴ ， ∴； ∵； ∴ ； ∴； ∴， ∴即的长度为； （2）①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟， 20分钟时针走的路程为，即时针从6点到分走的路程为， ∵每个大格是，6时和4时相隔两个大格，则 ∴时分针和时针夹角的度数： ，即时分针和时针夹角的度数为； 故答案为：； ②如图；作射线，使 当在如图位置处时，则：； 当在如图位置处时，则：； 故答案为：或； （3）设经过时间为t分钟，而时针与分针的速度差为， ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， ∴或， 解得或． ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解题意是关键． 6． 7． 8． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小聪回想今天的一天，发现从学校的课外活动，到放学回家的途中，再到去商店购买的笔筒、三角尺和机械手表，其中蕴含着丰富有趣的数学问题． 【基础设问】 （1）每年的6月5日是地球环境日，小聪所在的综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无菌纸盒． ①若准备制作一个无盖的正方体纸盒，经过折叠能围成的固定无盖正方体纸盒的是_____． ②知图1是他们的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是_____． （2）如图2，学校所在的位置为，小聪家所在的位置为，请你写出小聪放学回家距离最短的路径：_____，得出这个结论的依据是：______． （3）小聪从地图上测得学校在她家的北偏西方向（如图3），她看到家里的钟表如图4，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则可以说学校在家的_____． A.2点钟方向     B.10点钟方向    C.11点钟方向     D.8点钟方向． （4）小聪放学回家途经商店时买了一个圆柱形的笔筒，如图5，分别从前面、左面、上面观察这个笔筒，各能得到什么平面图形？ 【能力设问】 （5）小聪将买来的一副三角尺按不同的位置摆放，其中等式一定成立的是_____． （6）小聪打算用如图6的手表做限时训练，小聪将其理解成如图7的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上）．已知表盘的直径为，，若点是靠近点的三等分点，则手表全长_____． 【拓展设问】 （7）如图8，在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合），时针为，小聪一看现在正好是． ①时分针和时针的夹角为_____°． ②作射线，使，请直接写出此时的度数． ③自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时以内，探究经过多久的度数是． 【答案】（1）①C，②卫；（2）②，两点之间线段最短；（3）B；（4）从前面、左面观察这个笔筒得到的是长方形，从上面观察这个笔筒，得到的是圆形；（5）C；（6）；（7）①；②的度数为或；③经过分钟或分钟后，的度数是 【知识点】从不同方向看几何体、两点之间线段最短、方向角的表示、三角板中角度计算问题 【分析】（1）①根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；②根据正方体的平面展开图的特征，得出答案； （2）根据两点之间线段最短即可求解； （3）钟表一圈，共有12个数字，则平均分成12份故相邻两个数之间的夹角为，那么北偏西方向，相当于钟表的10点钟方向； （4）根据圆柱的结构特征即可求解； （5）根据三角板的角度特征，进行角度的和差计算即可； （6）先得到，则，那么，再由求解； （7）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可；③根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面， ∴B、D不符合题意； A图形中含有“田”字，根据“田、凹应弃之”可知它不能作为正方体的展开图， 而选项C的图形符合题意， 故答案为：C； ②正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”与“卫”相对， 故答案为：卫； （2）小聪放学回家距离最短的路径：②，得出这个结论的依据是：两点之间线段最短， 故答案为：②，两点之间线段最短； （3）钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小聪从地图上测得学校在她家的北偏西方向， ∴想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则可以说学校在家的10点钟方向， 故答案为：B； （4）小聪放学回家途经商店时买了一个圆柱形的笔筒，从前面、左面观察这个笔筒得到的是长方形，从上面观察这个笔筒，得到的是圆形； （5）A、，故； B、； C、； D、， 故C符合题意， 故答案为：C； （6）解：∵，点是靠近点的三等分点，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （7）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为， 故答案为：75； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； ③：设经过时间为分钟， 由（2）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图所示，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角的计算，根据角的和差关系得出，即，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差，由角的和差得，即可求解；能熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 5．（24-25七年级上·天津·期末）已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先找出图中所有的锐角，然后利用锐角之和为列出方程，解方程即可． 【详解】解：图中的锐角有：，，，，，， ∵，且图中所有锐角之和为， ∴， 故， 故选：B． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 8．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查角的和差，根据角的和差解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·内蒙古·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查角的度、分、秒加法运算，掌握度分秒之间的60进制换算关系是解题关键． 先将度与度相加，分与分相加，再以60为进制，把分化成度即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角平分线的定义，利用方程是解答本题的关键，难度适中． 先设为，为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． 【详解】解：设为，则为， 平分， ， 则可得， ， ， 则可得：， 解得， ， ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，平分， (1)当，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键： （1）设，根据角平分线的定义得出，进而求出x的值，即可得出答案； （2）设，根据角平分线的定义得出，进而求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为：； （2）∵，平分， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为：． 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 15．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，O是直线上的一点，，，平分，求的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键；由题意易得，，然后根据角平分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，两点间的距离，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解； （2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解； （3）设运动时间为，点、的速度分别为、，然后表示出、，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ； （2）解：设旋转时间为，则， ， ， ， ， ； （3）解：解：因为两点的速度比是， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $