6.2.1直线、射线、线段讲义-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第六章 几何图形初步 6.2.1 直线、射线、线段 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1直线、射线、线段 2 知识点2 画线段、延长线以及反向延长线 2 题型精讲1直线、射线、线段的联系与区别 5 题型精讲2画出直线、射线、线段 6 题型精讲3点与线的位置关系 7 题型精讲4直线、线段、射线的数量问题 7 题型精讲5直线相交的交点个数问题 8 题型精讲6线段的应用 9 题型精讲7两点确定一条直线 11 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解直线、射线、线段的定义及区别（端点数量、延伸性、表示方法），掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短的性质。 2. 素养能力：通过画图、比较三者特征，发展几何直观与抽象思维，对接中考对图形概念辨析、性质应用的基础考查要求。 3. 情感应用：联系生活实例（如笔直的公路、手电筒光束）理解三者，感受几何与生活的联系，为后续线段计算、角的学习奠定基础。 【新知学习】 【知识点1】直线、射线、线段 直线： 1. 直线的基本事实：经过 有一条直线，并且只有 直线，简单说成，两点 一条直线。 2. 直线可以用表示直线上任意 的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示. 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线 ，这个公共点叫作它们的 . 4. 直线没有 ，没有 ，不可度量.“延长直线”的说法是错误的. 射线： 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示 和射线上另一个点的西个大写字母来表示，也可以用一个少写字母来表示. 2. 射线只有 端点，没有 ，不可度量，如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”. 线段： 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的 大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a. 边学边练以下说法正确的是（    ） A．直线a上有两个端点 B．经过A，B两点的线段只有一条 C．延长线段到C，是 D．反向延长线段至A，使 【知识点2】画线段、延长线以及反向延长线 1. 画线段、延长线及反向延长线 文字语言 作法 图示 连接AB 画出一A、B为端点的线段 延长线段AB 按照从端点A到B的方向延长 反向延长线段AB 按照从端点B到A的方向延长 边学边练已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 题型精讲 题型精讲1直线、射线、线段的联系与区别 【例题1】如图：同一平面上有直线和射线，那么这两条线（   ）． A．一定相交 B．一定不相交 C．可能相交，可能不相交 【变式训练1】如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【变式训练2】如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【变式训练3】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 题型精讲2画出直线、射线、线段 【例题1】如图，在平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图． (1)画直线、交于点E； (2)画线段、交于点F； (3)画射线． 【变式训练1】如图，平面内有A，B，C三点． (1)按下列语句作出图形： ①作直线AB；②作射线AC；③作线段BC． (2)指出图中有哪几条线段． (3)指出图中有几条射线，并写出能用图中字母表示的射线． 【变式训练2】如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 【变式训练3】按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 题型精讲3点与线的位置关系 【例题1】如图，点A在直线l ，点B在直线l ． 【变式训练1】如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练2】下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【变式训练3】（1）经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？ （2）由此你能得到什么结论？ （3）点和直线有哪些关系？ （4）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ （5）直线、射线和线段之间有什么区别和联系？ 题型精讲4直线、线段、射线的数量问题 【例题1】如图，在直线AD上有四个不同的点，图中线段条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练1】下图中一共有 条线段． 【变式训练2】如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【变式训练3】平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型精讲5直线相交的交点个数问题 【例题1】如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式训练1】下列说法错误的是（    ）． A．经过一点的直线有无数条 B．经过两点的直线只有一条 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线相交，只有一个交点 【变式训练2】如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 题型精讲6线段的应用 【例题1】如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【变式训练1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【变式训练2】（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 【变式训练3】已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 题型精讲7两点确定一条直线 【例题1】如图，小强的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，这其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式训练1】值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【变式训练2】下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【拓展培优】 【典例1】如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【典例2】探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 【变式训练1】【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【变式训练2】李华同学通过七年级上学期的学习，得出如下结论：①对于任意有理数，代数式有最大值1；②10条直线两两相交，最多有90个交点；③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或；④规定，如果，，，那么．上述结论中正确的有 ． 【典例3】一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【变式训练1】（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【变式训练2】一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 【变式训练3】已知一个直角以O为端点在的内部画条射线，以、以及这些射线为边构成的锐角的个数是（   ）个． A． B． C． D． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 3．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点O在线段的延长线上 4．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 6．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 7．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，那么10条直线相交，最多可以将平面分成（   ）部分 A．53 B．54 C．55 D．56 二、填空题 9．（24-25六年级下·山东淄博·期末）可以用来解释木匠弹墨线的基本事实是 ．    10．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有 （填序号）． 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 12．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 14．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点A，B，C，D，按要求画图： (1)画直线、射线相交于点M； (2)连接，相交于点N； (3)画线段，并延长线段． 15．（24-25七年级上·河北保定·期末）根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 16．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.2.1 直线、射线、线段 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1直线、射线、线段 2 知识点2 画线段、延长线以及反向延长线 2 题型精讲1直线、射线、线段的联系与区别 5 题型精讲2画出直线、射线、线段 6 题型精讲3点与线的位置关系 7 题型精讲4直线、线段、射线的数量问题 7 题型精讲5直线相交的交点个数问题 8 题型精讲6线段的应用 9 题型精讲7两点确定一条直线 11 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解直线、射线、线段的定义及区别（端点数量、延伸性、表示方法），掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短的性质。 2. 素养能力：通过画图、比较三者特征，发展几何直观与抽象思维，对接中考对图形概念辨析、性质应用的基础考查要求。 3. 情感应用：联系生活实例（如笔直的公路、手电筒光束）理解三者，感受几何与生活的联系，为后续线段计算、角的学习奠定基础。 【新知学习】 【知识点1】直线、射线、线段 直线： 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简单说成，两点确定一条直线。 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示. 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量.“延长直线”的说法是错误的. 射线： 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的西个大写字母来表示，也可以用一个少写字母来表示. 2. 射线只有二个端点，没有长度，不可度量，如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”. 线段： 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a. 边学边练以下说法正确的是（    ） A．直线a上有两个端点 B．经过A，B两点的线段只有一条 C．延长线段到C，是 D．反向延长线段至A，使 【答案】D 【详解】解：A、直线没有端点，原说法错误，故不符合题意； B、经过A，B两点的线段可以有无数条，原说法错误，故不符合题意； C、延长线段到C，是，无法得到，原说法错误，故不符合题意； D、反向延长线段至A，使，原说法正确，故符合题意； 故选：D． 【知识点2】画线段、延长线以及反向延长线 1. 画线段、延长线及反向延长线 文字语言 作法 图示 连接AB 画出一A、B为端点的线段 延长线段AB 按照从端点A到B的方向延长 反向延长线段AB 按照从端点B到A的方向延长 边学边练已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【详解】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 题型精讲 题型精讲1直线、射线、线段的联系与区别 【例题1】如图：同一平面上有直线和射线，那么这两条线（   ）． A．一定相交 B．一定不相交 C．可能相交，可能不相交 【答案】B 【分析】本题考查直线和射线的延伸特点及它们在同一平面内的位置关系，熟练掌握直线没有端点可以向两端无限延伸、射线有一个端点，只能向另一端无限延伸是解题的关键．直线可向两端无限延伸，射线以点C为端点，沿方向无限延伸，所以这两条线一定不相交． 【详解】解：根据分析可知，这两条线一定不相交， 故选：B． 【变式训练1】如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 【变式训练2】如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，解题的关键是明确同一条射线需满足端点相同且延伸方向一致． 根据射线的端点和延伸方向，判断各选项射线与射线的端点、方向是否一致． 【详解】解：A、射线的端点是B，延伸方向与射线相反，此选项不符合题意； B、射线的端点是A，延伸方向与射线一致，此选项符合题意； C、射线的端点是B，与射线的端点不同，此选项不符合题意； D、射线的端点是C，延伸方向与射线相反，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练3】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 题型精讲2画出直线、射线、线段 【例题1】如图，在平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图． (1)画直线、交于点E； (2)画线段、交于点F； (3)画射线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查题作图的知识，需要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟练使用基本工具． （1）连接、并向两方无限延长即可得到直线、的交点； （2）连接、可得线段、，交点处标点； （3）连接，并且以为端点向方向延长． 【详解】（1）解：如图：直线、直线即为所求； （2）如图：线段、线段即为所求； （3）如图：射线即为所求． 【变式训练1】如图，平面内有A，B，C三点． (1)按下列语句作出图形： ①作直线AB；②作射线AC；③作线段BC． (2)指出图中有哪几条线段． (3)指出图中有几条射线，并写出能用图中字母表示的射线． 【答案】(1)作图见解析 (2)线段 (3)6条，见解析 【分析】本题主要考查了作直线，射线，线段， 对于（1），根据直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸，线段有两个端点画出图形即可； 对于（2），根据线段有两个端点解答； 对于（3），根据射线是向一方无限延伸的解答，并表示出来． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：线段 （3）解：一共有6条射线，射线射线，射线． 【变式训练2】如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查线段、射线、直线 （1）根据直线的定义可进行作图； （2）根据射线的定义可进行作图； （3）根据线段的定义可进行作图． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2） 解：所作图形如图所示； （3）解：所作图形如图所示． 【变式训练3】按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 题型精讲3点与线的位置关系 【例题1】如图，点A在直线l ，点B在直线l ． 【答案】 上 外 【分析】此题考查了点和直线的位置关系，根据点A和点B的位置判断即可． 【详解】解：点A在直线l上，点B在直线l外． 故答案为：上，外． 【变式训练1】如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 【变式训练2】下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 【变式训练3】（1）经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？ （2）由此你能得到什么结论？ （3）点和直线有哪些关系？ （4）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ （5）直线、射线和线段之间有什么区别和联系？ 【答案】（1）无数条，一条；（2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【分析】本题考查直线、射线和线段的特点，直线、射线和线段之间的区别和联系，以及直线的基本事实，解题的关键在于掌握直线、射线和线段的特点． （1）根据题意画出草图，即可回答问题； （2）根据（1）中图形给出结论即可； （3）根据题意画出草图，即可回答问题； （4）根据线段与射线，线段与直线之间联系回答，即可解题； （5）根据线段，射线，直线的特点进行回答，即可解题． 【详解】解：（1）由下图可知， 经过一个点能画无数条直线，经过两个点能画一条直线； （2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线； （3）由下图可知， 点和直线的关系为：点在线上，点在线外； （4）把一条线段向一方延伸，或反向延伸便可得到射线， 把一条线段向两方无限延伸便可得到直线； （5）区别：直线没有端点，射线只有1个端点，线段有2个端点， 直线可以向两边无限延伸，射线可以向一边无限延伸，线段不能延伸， 直线不能度量，射线不能度量，线段能度量． 联系：射线和线段都是直线的一部分． 题型精讲4直线、线段、射线的数量问题 【例题1】如图，在直线AD上有四个不同的点，图中线段条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的定义，熟练掌握按顺序数线段的方法是解题的关键． 按照线段的定义，依次找出以每个点为端点的线段，最后统计总数． 【详解】解：以为端点的线段：、、， 以为端点的线段：、， 以为端点的线段：， 线段总数：， 故选：. 【变式训练1】下图中一共有 条线段． 【答案】10 【分析】此题考查线段的定义，解题关键在于在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．根据线段的含义： 线段两头都有端点，有限长；据此列举即可． 【详解】解：线段有10条： 故答案为：10． 【变式训练2】如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，理解题意，结合图中信息，以及线段和射线定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，观察图中， 则有线段，线段，线段，射线，射线，射线，射线，射线，射线， ∴图中共有线段、射线条数分别是3，6 故选：C 【变式训练3】平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解． 【详解】解：如图，共有8条直线． 故选：B． 题型精讲5直线相交的交点个数问题 【例题1】如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是相交线的运用，关键是理解题意并能把实际问题转化成数学问题来解决． 【详解】条直线最多有个交点， 在5条相交的笔直小道的所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，最多需要10个垃圾桶，即最多应增加的环保垃圾桶的数量为， 故选B． 【变式训练1】下列说法错误的是（    ）． A．经过一点的直线有无数条 B．经过两点的直线只有一条 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线相交，只有一个交点 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义与性质，掌握直线定义与性质是解题关键． 根据直线定义与性质进行解答即可． 【详解】解：A、经过一点的直线有无数条，正确，不符合题意； B、经过两点的直线只有一条，正确，不符合题意； C、一条直线上有无数个点，选项错误，符合题意； D、两条直线相交，只有一个交点，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸即可得出答案． 【详解】解：A、射线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； B、射线和延伸后不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意； D、直线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练3】平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 题型精讲6线段的应用 【例题1】如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解．本题考查了正方形的性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长，的长度大于正方形的边长但小于d的长度， 所以长度最长的是d． 故选：D． 【变式训练1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 【变式训练2】（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 【答案】（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的． （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 【分析】本题考查了线段的认识及线段长短的比较，注意刻度尺的使用． （1）用直尺验证即可； （2）用直尺直接量出两线段的长度，比较即可． 【详解】解：（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的； （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 【变式训练3】已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查线段长短比较的叠合法．通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短． 【详解】 将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上， 点位于点和点之间， ． 选项A观察可能不准确；选项B量得、，表明；选项D点在延长线上，表明．故只有C能说明比短． 故选：C． 题型精讲7两点确定一条直线 【例题1】如图，小强的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，这其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查两点确定一条直线的公理．根据“两点确定一条直线”解答即可． 【详解】解：只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， 其中的数学原理是：两点确定一条直线， 故选：D． 【变式训练1】值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了几何公理，掌握“两点确定一条直线”是解题关键．小亮先摆好第一张和最后一张桌子，相当于确定一条直线的两个端点，从而确定一条直线，然后中间的桌子沿这条直线摆放，确保整齐． 【详解】解：根据几何公理，两点确定一条直线．小亮先摆好两端桌子，就确定了桌子的摆放直线，再摆中间桌子，使所有桌子在一条直线上， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式训练2】下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，过两点有且只有一条直线，比较简单。由题意根据直线、射线和线段的概念利用排除法即可求解． 【详解】解：①经过两点，有且只有一条直线，故①说法正确，符合题意； ②经过两点，能画两条射线，故②说法不正确，不符合题意； ③过两点只能画一条线段，故③说法正确，符合题意； ④经过两点只能画两条射线，故④说法正确，符合题意； 其中正确的有①③④，有个， 故选： C． 【变式训练3】如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 【拓展培优】 【典例1】如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【答案】10 【知识点】数轴上两点之间的距离、直线、线段、射线的数量问题、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、线段等知识点，发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报是解题的关键． 先发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，再确定线段的条数即可解答． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，因为图中有线段、、、、、、、、、共10条，所以发出警报的点P位置最多有10个． 故答案为：10． 【典例2】探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 【答案】交点最多为个 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查多条直线相交的交点问题，解题的关键是根据条、条、条、条、条直线相交时最多的交点个数发现规律．然后根据规律解答即可． 【详解】解：条直线相交最多有交点：个； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； ∴条直线相交最多有个交点， 当时，交点个数为（个）． ∴它们的交点最多为个． 【变式训练1】【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 【变式训练2】李华同学通过七年级上学期的学习，得出如下结论：①对于任意有理数，代数式有最大值1；②10条直线两两相交，最多有90个交点；③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或；④规定，如果，，，那么．上述结论中正确的有 ． 【答案】①③④ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查的是绝对值的非负性的应用、直线相交交点个数、新定义运算等知识点，灵活运用新定义运算成为解题的关键． 由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义判断④即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，即a、b、c中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴a、b异号，且， ∴， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 【典例3】一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段条数计算、角的个数计算及其拓展等知识，注意数数时要不重不漏． 当直线上有4个点时，以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，所有线段都重复了一次，则可得线段为；直线上有5个点时，同理得线段条数；同理有个点时，得线段条数； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，由上步所求即可求解； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花时间的最短；有个机器人，分n是偶数与奇数两种情况考虑即可； （3）仿照一条直线4个点的线段条数分析即可； （4）横向每行仿照一条直线上6个点的线段条数有15个长方形，纵向列仿照一条直线上5个点的线段条数共有10个长方形，从而由即可求得长方形的个数． 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条； 故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 【变式训练1】（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【答案】（）；（）；（）；（）①种；②种 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】（）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据（）、（）的结果找到规律即可求解； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题，据此即可求解；②根据火车往返是双向的，结合票价数量解答即可求解； 本题考查了线段的定义及其应用，找到规律是解题的关键． 【详解】解：（）图中有条线段， 故答案为：； （）图中有条线段， 故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段， 故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 【变式训练2】一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)99套 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查线段的数量问题： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）根据给定的方法，进行求解即可； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，根据甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，确定的范围，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，5人参与游戏时使用密码的总套数为10，即：； （2）2人参与游戏时，每人使用1套密码，共1套密码； 3人参与游戏时，每人使用2套密码，共有套密码； 4人参与游戏时，每人使用3套密码，共有套密码； 5人参与游戏时，每人使用4套密码，共有套密码； ， ∴当有个人参与游戏时，每个人使用套密码，共有套； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，（为正整数） ∵甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备， ∴， ∴， ∵甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差最大， ∴， ∴甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值为（套） 【变式训练3】已知一个直角以O为端点在的内部画条射线，以、以及这些射线为边构成的锐角的个数是（   ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、直线、线段、射线的数量问题 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键．在各图中作出一条、两条、三条射线，求出有多少个角，根据角的数量总结出规律即可求出n条时有多少个角． 【详解】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有个角； 即内部有一条射线时，有个角； 内部有两条射线时，有个角； 内部有三条射线时，有个角； … 内部有条射线时，有个角； 即（个）， 去掉一个直角，锐角有个． 故选：D． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据语句作图，熟记作图方法及准确读懂几何语言是解题的关键．利用几何语言对各选项进行判断即可． 【详解】解：直线与直线相交，交点为， 点A既在直线a上，也在直线b上，如图所示：   ，   故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点O在线段的延长线上 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的相关概念，根据直线、射线、线段的相关概念逐项分析即可得出答案． 【详解】解：射线和射线是同一条射线，故A选项说法正确； 直线和直线是同一条直线，故B选项说法错误； 线段和线段是同一条线段，故C选项说法错误； 点O在线段的延长线上，故D选项说法错误； 故选A． 4．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 6．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，那么10条直线相交，最多可以将平面分成（   ）部分 A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的几何规律，先总结规律，再求解是解题的关键．先分别求得1条、2条、3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的部分个数，总结规律，进而求解． 【详解】解：1条直线，将平面分为2个部分； 2条直线，较之前增加1条直线，平面最多增加了2个部分； 3条直线，与之前两条直线均相交，平面最多增加了3个部分； 4条直线，与之前三条直线均相交，平面最多增加了4个部分； … 以此类推，n条直线，与之前条直线均相交，平面最多增加n个部分， 所以n条直线相交，最多可以将平面分成的总数为 ， 把代入，则， 即10条直线相交，最多可以将平面分成56个部分． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25六年级下·山东淄博·期末）可以用来解释木匠弹墨线的基本事实是 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线．根据两点确定一条直线，即可求解． 【详解】解：可以用来解释木匠弹墨线的基本事实是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 10．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了点动成线，射线的定义，单项式的次数，有理数的分类，根据点动成线，射线的定义，单项式的次数，有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线，正确； ②射线是以A为端点，向无限延伸，射线是以点B为端点，向无限延伸， ∴射线和射线表示的不是同一条射线，故②错误； ③单项式的次数是3，正确； ④有理数分为正有理数，0和负有理数，错误； 综上所述，其中正确的说法有①③． 故答案为：①③． 11．（25-26七年级上·全国·期末）如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 12．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了画直线、射线； （1）根据要求画图即可求解； （2）根据要求画图即可求解； （3）根据要求画图即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 14．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点A，B，C，D，按要求画图： (1)画直线、射线相交于点M； (2)连接，相交于点N； (3)画线段，并延长线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段． （1）根据直线，射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义，画出图形； （3）根据线段的定义，画出图形． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示； 15．（24-25七年级上·河北保定·期末）根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了直线、射线、线段．分别分局直线、线段、射线的特征画图即可． 【详解】解：如图： 16．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380 【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． （4）从上述问题得出结论即可求解，注意火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关． 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； （2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． （4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $